高数论文

发表于:2021.9.20来自:www.fanwen118.com字数:2452 手机看范文

高数论文

多元函数微分学是高等数学中的一个重点,它涉及的内容是微积分学内容在多元函数中的体现,其中有关多元函数的连续性,偏导存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。

当前,多元函数的连续性,偏导存在及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果,但是,在一些学术性论文中只是对二元函数的连续性、偏导存在及可微性的个别关系做了具体的说明,因此,想要达到对这方面知识能做到全面的掌握对学生来说仍是一大难题。 本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间进行分析讨论,主要研究二元函数的连续性,偏导存在性,可微性等概念及它们之间因果关系. 然后推广到多元函数,由此来总结有关多元函数的连续性、偏导存在及可微性之间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立它们之间的关系图,这样对有效理解和掌握多远函数微分学知识将起到重要作用。

一、函数连续

一个一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续.但对于二

p(x,y)f(x,y)元函数f(x,y)来说,即使它在某点000既存在关于x的偏导数x00,又存在

关于y的偏导数

域fy(x0,y0),f(x,y)也未必在p0(x0,y0)连续。甚至,在p0(x0,y0)的某邻U(p0)存在偏导数fx(x,y)(或fy(x,y))f(x,y)(或fy(x,y))在点,而且x

p0(x0,y0)连续,也不能保证f(x,y)在p0(x0,y0)连续.如函数

??21?y?0?sin?x??,y?????

0,y?0f(x,y)???

关于具体验算步骤不难得出。过,我们却有如下的定理。

定理1 [1]设函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的某邻域U(p0)内有定义,若f(x0,y)作为y的一元函数在点y=y0连续,fx(x,y)在U(p0)内有界,则f(x,y)在点p0(x0,y0)连续。

p(x,y)U(p0)有定义,fy(x,y)在U(p0)定理2 [4]设函数f(x,y)在点000的某邻域

有界,f(x,y0)作为x的一元函数在点x?x0连续,则f(x,y)在点p0(x0,y0)连续。 定理1和定理2可推广到更多元的情形中去。

000f(x,x,???,x)p(x,x,???,x12n在点012n)的某邻域U(p0)内有定义, 定理 3[5] 设函数

fxi(x1,x2,???xn)U(p0)有界(i??1,2,???n?),f(x1,???xi?1,xi,xi?1,???xn)作为 在0

00x1,???xi?1,xi?1,???xn的n-1元函数在点(x1,???xi0?1,xi0?1,???xn)连续,则 f(x1,x2,???,xn)在

000p(x,x,???,xn)连续。 点012

二、多元函数的偏导数

我们知道高等数学及数学分析教材中有:

偏导数//fxy////fxy(x0,y0)?fyx(x0,y0)此式成立的条件为:和//fyx在(x0,y0)都连续。

下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件。

//////fffp(x,y)ff(x,y)yyxyx定理4 [6]若函数在000的某邻域内偏导数x,及存在,且

//////fxyfxy(x0,y0)?fyx(x0,y0)pp00在对y连续,则偏导数在存在,且

三、多元函数的可微性

考察函数的可微性时,如果知道偏导数连续,则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足,或不易判断。知函数在点p0可微的必要条件是各个偏导数在p0处存在.如果

p函数z?f(x,y)在0处的全增量可表示为: z=A则常数A与B一定为A=x+By+?(?) fx(p0) B=fy(P0) 且函数在P0处可微。[7]

limZ

??0?p定理5[2] 设n元函数z?f(p)在0的某个邻域内有定义,且极限存在,记

为?

p(1) 若??0,则函数z?f(p)在0处不可微;

??dzp?

高数论文

0p0(2) 若?=0,则函数在0处可微且,其中。

我们以二元函数为例证明。

定理6[3] 若n+1元函数

可微(即把f(x1,???xn,y)关于y的偏导数对n+1个变量连续,x,???xn关于1f(x1,???xn,y)可微。 f(x1,???xn,y)中的y看成常数后可微),则n+1元函数

推论 若n(n≥2)元函数f(x1,???xn,)的偏导数存在,且至多有一个偏导不连续,则f(x1,???xn,)可微。

1、 若函数在点P可微?该函数在点P连续;若函数在点P可微?该函数在P

点处存在偏导数;若函数在点P可微?该函数在点P处的一切方向导数都存

在。

2、

3、 若函数在P点处连续???函数在点P处存在偏导数。 若函数在P点处偏导数存在??该函数在点P处的一切方向导数存在(仅有

/fx这种关系:函数在点P处偏导数存在?该函数在P处沿X轴方向的导数存

在),函数在P处的一切方向导数存在??该函数在P处偏导存在。

4、

5、 函数在P处的一切方向导数都存在???该函数在P处连续。 函数在P处的一切方向导数都存在??该函数在点P处可微。[11]

多元函数在点P可微,那么函数在P点的偏导数必存在。即偏导数存在时可微的必要但不充分条件。而多元函数偏导数在点P连续是函数在该点可微分的充分条件,但不是必要条件。但是,多元函数在一点连续在该点其偏导数不一定存在,也不一定可微;多元函数在一点偏导数存在而在该点不一定连续;多元函数在一点可微在该点也不一定连续。[12]

若n+1元函数f(x1,???xn,y)关于y的偏导数对n+1个变量连续,关于

x1,???xi?1,xi?1,???xn可微(即把f(x1,???xn,y)中的y看成常数后可微),则n+1元函数

f(x1,???xn,y)可微。[13]




第二篇:高数论文 大一第二学期 5200字

学习高数心得和体会

摘要:

1、数学学习方法:一、摒弃中学的学习方法;二、 把握三个环节,提高学习效率;三、 阶段复习与全面巩固相结合;四、学习方法五原则。

2、如何看书:第一,“学思习”是学习高等数学大的模式;第二,狠抓基础,循序渐进;第三,归类小结,从厚到薄;第五,注意学习效率。

3、处理数学问题的基本方法

4、学习心理的调整:确定目标,树立信心,制定计划,重在落实”以上十六个字不仅是学好高等数学也是学好任何一门课程,做好任何一件事情的关键所在。

目前,每当一年高考结束,数百万高中学生通过自己的奋力拼搏,在同龄人中脱颖而出,升入自己梦寐以求的各类高等院校开始在新的环境进行学习的时候,社会上各大媒体都会不断地重复一个话题:一个高中生怎样尽快地从心理上、生理上等方面溶入新的环境,成为一名合格的大学生?而且不时的在电视新闻或报刊出现大一的学生在新的环境中沉眠于网络或电子游戏,而跟不上大学的学习进度而退学的例子。我认为:一个高中生升入大学学习后,不仅要从环境上、心理上适应新的学习生活,同时学习方法的改变也是一个不容忽视的方面。高等数学在工科院校的教学计划中是一门基础理论课程,是大一新生必修的课程,它对于各专业后继课程的学习,以及大学毕业后这类工程技术人员的工作状况,高等数学课程都起着奠基的作用。如在校的继续学习中只有掌握高等数学的知识以后,才能比较顺利地学习其他专业基础课程,如物理、工程力学、电工电子学……等等,也才能学好自己的专业课程。又如当毕业走向工作岗位后,要很好地解决工程技术上的问题,势必要经常应用到数学知识。因为在科学技术不断发展的今天,数学方法已广泛渗透到科学技术的各个领域之中。因此,工科类的大一新生在学习上一个很明确的任务就是要学好高等数学这门课程,为以后的学习和工作打下良好的基础。

数学学习方法:

那么,怎样才能学好高等数学呢?我想就自己这将近一学年的学习经验与体会,谈几点肤浅的看法。

一、摒弃中学的学习方法

从中学升入大学学习以后,在学习方法上将会遇到一个比较大的转折。首先是对大学的教学方式和方法感到很不适应,这在高等数学课程的教学中反应特别明显,因为它是一门对大一新生首当其冲的理论性比较强的基础理论课程,而学生正是习惯于模仿性和单一性的学习方法,这是在从小学到中学的教育中长期养成的,一时还难以改变。

中学的教学方式和方法与大学有质的差别。突出表现在:中学的学习,学生是在教师的直接指导下进行模仿和单一性的学习,大学则要求学生在教师的指导下进行创造性的学习。例如:中学的数学课的教学是完全按照教材进行的,在课堂上只要求教师讲、学生听,不要求作笔记,教师教授慢、讲得细、计算方法举例也多,课后只要求学生能模仿课堂上教师讲的内容作些习题就可以了,根本没有必要去钻研教材和其他参考书(为了高考增强考生的解题能力而选择一些其他参考书仅是训练解题能力的需要),而大学的高等数学课程则恰好不一样,教材仅是作为一种主要的参考书。要求学生以课堂上老师所讲的重点和难点为线索,通过大量地阅读教材和同类的参考书,以充分消化和掌握课堂上所讲授内容,然后做课后习题巩固所掌握知识,这就是进行反复地创造性的学习。这是一种艰苦的脑力劳动,它不仅要

求学生主动地、自觉地进行学习,同时还要在松散地环境下能约束自己,并且要掌握较好的学习方法,才能把所要学习的知识学得扎实,为专业课程的学习打下良好基础。

二、 把握三个环节,提高学习效率

什么是学习高等数学的最好方法呢?这根据每个人的学习时的习惯和理解问题的能力不同而异,但就一般说来,均应抓好以下三个环节。其一是课前预习。这一过程很重要,因为只有课前预习过,才会在听课时做到心中有数,即老师所讲的内容哪些是属于难以理解的,什么是重点等,这样带着一些问题去听老师讲课,效果就很明显了,同时预习的过程中也就培养了你的自学能力,这对自己来说将是终身受益的。预习的过程也不需要花太多时间,一般地一次课内容花三、四十分钟左右时间就可以了。在预习时不必要把所有问题弄懂,只要带着这些不懂的问题去听课就行。其二是上课用心听讲,并且要记好课堂笔记。

三、 阶段复习与全面巩固相结合。

具体步骤如下:

(一)课前预习:了解老师即将讲什么内容,相应地复习与之相关内容。

(二)认真上课:注意老师的讲解方法和思路,其分析问题和解决问题的过程,记好课堂笔记,听课是一个全身心投入----听、记、思相结合的过程。

(三)课后复习:当天必须回忆一下老师讲的内容,看看自己记得多少,然后打开笔记、教材,完善笔记,沟通联系;最后完成作业。

(四) 在记忆的基础上理解,在完成作业中深化,在比较中构筑知识结构的框架。

(五)按"新=陈+差异"思路理解深化学习知识。

(六) "三人行,则必有我师",参加老师的辅导,向同学请教并相互讨论。

四、学习方法五原则

学习方法与学习的过程、阶段、心理条件等有着密切的联系,它不但蕴含着对学习规律的认识,而且也反映了对学习内容理解的程度。在一定意义上,它还是一种带有个性特征的学习风格。学习方法因人而异,但正确的学习方法应该遵循以下几个原则:循序渐进、熟读精思、自求自得、博约结合、知行统一。

1."循序渐进"──就是人们按照学科的知识体系和自身的智能条件,系统而有步骤地进行学习。它要求人们应注重基础,切忌好高骛远,急于求成。循序渐进的原则体现为:一要打好基础。二要由易到难。三要量力而行。

2."熟读精思"──就是要根据记忆和理解的辩证关系,把记忆与理解紧密结合起来,两者不可偏废。我们知道记忆与理解是密切联系、相辅相成的。一方面,只有在记忆的基础上进行理解,理解才能透彻;另一方面,只有在理解的参与下进行记忆,记忆才会牢固,"熟读",要做到"三到":心到、眼到、口到。"精思",要善于提出问题和解决问题,用"自我诘难法"和"众说诘难法"去质疑问难。

3."自求自得"──就是要充分发挥学习的主动性和积极性,尽可能挖掘自我内在的学习潜力,培养和提高自学能力。自求自得的原则要求不要为读书而读书,应当把所学的知识加以消化吸收,变成自己的东西。

4."博约结合"──就是要根据广搏和精研的辩证关系,把广博和精研结合起来,众所周知,博与约的关系是在博的基础上去约,在约的指导下去博,博约结合,相互促进。坚持博约结合,一是要广泛阅读。二是精读。

5."知行统一"──就是要根据认识与实践的辩证关系,把学习和实践结合起来,切忌学而不用。"知者行之始,行者知之成",以知为指导的行才能行之有效,

脱离知的行则是盲动。同样,以行验证的知才是真知灼见,脱离行的知则是空知。因此,知行统一要注重实践:一是要善于在实践中学习,边实践、边学习、边积累。二是躬行实践,即把学习得来的知识,用在实际工作中,解决实际问题。

如何看书:

学习高等数学要有一种精神,用大数学家华罗庚的话来说,就是要有“学思契而不舍”的精神。由于高等数学自身的特点,不可能老师一教,学生就全部领会掌握。一些内容如函数的连续与间断,积分的换元法,分步积分法等一时很难掌握,这需要每个同学反复琢磨,反复思考,反复训练,契而不舍。通过正反例子比较,从中悟出一些道理,才能从不懂到一知半解到基本掌握。这里仅结合一般学习方法,介绍一点学习高等数学的做法,供同学们参考。

第一,“学思习”是学习高等数学大的模式。所谓学,包括学和问两方面,即向教师,向同学,向自己学和问。惟有在学中问和问中学,才能消化数学的概念,理论。方法。所谓思,就是将所学内容,经过思考加工去粗取精,抓本质和精华。华罗庚“抓住要点”使“书本变薄”的这种勤于思考,善于思考,从厚到薄的学习数学的方法,值得我们借鉴。所谓习,就高等数学而言,就是做练习。这一点数学有自身的特点,练习一般分为两类,一是基础训练练习,经常附在每章每节之后。这类问题相对来说比较简单,无大难度,但很重要,是打基础部分。知识面广些不局限于本章本节,在解决的方法上要用到多种数学工具。数学的练习是消化巩固知识极重要的一个环节,舍此达不到目的。

第二,狠抓基础,循序渐进。任何学科,基础内容常常是最重要的部分,它关系到学习的成败与否。高等数学本身就是数学和其他学科的基础,而高等数学又有一些重要的基础内容,它关系的全局。以微积分部分为例,极限贯穿着整个微积分,函数的连续性及性质贯穿着后面一系列定理结论,初等函求导法及积分法关系到今后个学科。因此,一开始就要下狠功夫,牢牢掌握这些基础内容。在学习高等数学时要一步一个脚印,扎扎实实地学和练,成功的大门一定会向你开放。

第三,归类小结,从厚到薄。记忆总的原则是抓纲,在用中记。归类小结是一个重要方法。高等数学归类方法可按内容和方法两部分小结,以代表性问题为例辅以说明。在归类小节时,要特别注意有基础内容派生出来的一些结论,即所谓一些中间结果,这些结果常常在一些典型例题和习题上出现,如果你能多掌握一些中间结果,则解决一般问题和综合训练题就会感到轻松。

第四,精读一本参考书。实践证明,在教师指导下,抓准一本参考书,精读到底,如果你能熟读了一本有代表性的参考书,再看其他参考书就会迎刃而解了。

第五,注意学习效率。数学的方法和理论的掌握,就实践经验表明常常需要频率大于4否则做不到熟能生巧,触类旁通。人不可能通过一次学习就掌握所学的知识,需要有几个反复。所谓“学而时习之”温故而知新”都有是指学习要经过反复多次。高等数学的记忆,必建立在理解和熟练做题的基础上,死记硬背无济于事。在学习的道路上是没有平坦大道的,可是“学习有险阻,苦战能过关“。”人生能有几回搏?“人生总能搏几回!”每个学子应当而且能与高等数学“搏一搏”。

处理数学问题的基本方法:

㈠分割求和法;

㈡以直求曲法;

㈢恒等变形法:

①等量加减法;②乘除因子法; ③积分求导法;

④三角代换法; ⑤数形结合法;⑥关系迭代法;

⑦递推公式法;⑧相互沟通法; ⑨前后夹击法;

⑩反思求证法;⑾构造函数法;⑿逐步分解法。

学习心理的调整:

确定目标,树立信心,制定计划,重在落实”以上十六个字不仅是学好高等数学也是学好任何一门课程,做好任何一件事情的关键所在。

(一) 确定目标: 除了有一个长远的奋斗目标外,可根据自己的实际情况确定一个近期目标。

(二)树立信心: 信心来源于是否敢于挑战自己,表现在是否能吃苦耐劳,排除各种干扰与诱惑,为实现长远目标与近期目标而奋进。

(三)制定计划: 有一个一周至二周的学习计划,精细到每个小时,明确应该完成的任务,每天留下半个小时的机动余地作为未完成任务的补遗。每周根据执行情况适当调整。

(四)重在坚持: 计划能否实施,重在坚持,切忌虎头蛇尾,半途而废。

关于学习高等数学课程的几点建议

(五)自学:本课程特别强调自学,包括课前、课后的预习、复习、练习、小结。这些都是在教师的视线之外,在自习时间之内学生必须去做的事。没有良好的自觉的自学习惯,谈不上能学好高等数学。

(六)听课:提高听课的效率,课前做好准备,根据教学进度表预习(粗读)内容,听课中特别注意老师指出的难点与重点,注意为加深概念与应用所举的例题,适当记笔记。

(七)习题课:高等数学特别强调做习题。概念的理解与深化,方法的灵活应用都反映在做习题上。上黑板板演固然是锻炼的好机会,而在下面做题,应看作是一种实战演习,是对自己学习的检验,而老师对每题的讲评往往是概念与方法的深化,是某种经验的总结。因此习题课绝不可光听而不动手,也不可光动手而不听,要有完整的习题课的记录。

(八)作业:作业不是任务,而是对学习内容的进一步巩固。通过练习使概念与方法真正为自己所掌握。每次作业后,要认真总结,本次作业用到哪些新概念、新知识、新方法,用在哪些地方,这些概念方法与原先掌握的概念方法有哪些相同点。作业必须认真,字迹力求工整,减少涂改。较长的分号(直线)不可信手画出,应该使用直尺去划。作业不仅是给自己看,而且是给老师批阅的,在整体上要注意美感,特别对工科学生,这是工程技术人员的必备素质,应从作业开始培养。

(九)阶段小结:每周进行一次学习小结,善于总结才有提高。

(十)关于参考读物:高等数学的参考读物很多,但良莠不齐,特别是一些题解往往贻误学子,因此参考读物的选择要慎重。

以上所谈并不全面,只有身在其中正在学习,通过实践才能悟出适合自己的好方法

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