初中几何知识总结

时间:2024.3.23

初中几何知识总结

一、线与角

1.两点之间,线段最短。

2.经过两点有一条直线,并且只有一条直线。

3. 等角的补角相等,等角的余角相等。

4.对顶角相等

5. 经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。

6. (1)经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。

(2)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行.

7. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

8. 平行线的判定:

(1)同位角相等,两直线平行;

(2)内错角相等,两直线平行;

(3)同旁内角互补,两直线平行;

(4)垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.

9. 平行线的特征:

(1)两直线平行,同位角相等。

(2)两直线平行,内错角相等。

(3)两直线平行,同旁内角互补。

10. 角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

11. 线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

二、三角形、多边形

12. 三角形中的有关公理、定理:

(1)三角形外角的性质:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;③三角形的外角和等于360°.

(2)三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

(3)三角形的任何两边的和大于第三边

(4)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

13. 多边形中的有关公理、定理:

(1)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于( n-2)×180°.

(2)多边形的外角和定理:任意多边形的外角和都为360°.

14.(1)如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.

(2)轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

15. 等腰三角形中的有关公理、定理:

(1)等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)

(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)

(3)等腰三角形的“三线合一”定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称“三线合一”.

(4)等边三角形的各个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.

(5)三个角都相等的三角形是等边三角形。

(6)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

16. 直角三角形的有关公理、定理:

(1)直角三角形的两个锐角互余;

(2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

(3)勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.

(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(5)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

三、特殊四边形

17. 平行四边形的性质:

(1)平行四边形的对边平行且相等;

(2)平行四边形的对角相等;

(3)平行四边形的对角线互相平分.

18. 平行四边形的判定:

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

19. 矩形的性质:

(1)矩形的四个角都是直角;

(2)矩形的对角线相等且互相平分.

20. 矩形的判定:

(1)有三个角是直角的四边形是矩形.

(2)有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(3)对角线相等的平行四边形是矩形。

21. 菱形的性质:

(1)菱形的四条边都相等;

(2)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.

22. 菱形的判定:四条边相等的四边形是菱形.

(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

23. 正方形的性质:

(1)正方形的四个角都是直角;

(2)正方形的四条边都相等;

(3)正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.

24. 正方形的判定:

(1)有一个角是直角的菱形是正方形;

(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.

25. 等腰梯形的判定:

(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;

(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形.

26. 等腰梯形的性质:

(1)等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等;

(2)等腰梯形的两条对角线相等.

27. 梯形的中位线平行于梯形的两底边,并且等于两底和的一半.

四、相似形与全等形

28. 相似多边形的性质:

(1)相似多边形的对应边的比相等;

(2)相似多边形的对应角相等;

(3)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.

29. 相似三角形的判定:

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似;

(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;

(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.

(4)平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。

30. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.

31. 全等三角形的判定:

(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等(S.S.S.).

(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.(S.A.S.)

(3)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等(A.S.A.).

(4)有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(A.A.S.)

(5)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.(H.L.)

五、圆

32.(1)圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

(2)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

(4)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

33.(1)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角);

(2)90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

34. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧相等.

35. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

36. 切线的判定(1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线的性质(2)圆的切线垂直于过切点的半径。

37. 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.


第二篇:初中几何知识点总结


几何部分知识点汇总

直线、线段与角

2、两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点间线段的长度叫两点间的距离。

3、平面内两条直线的位置关系有:相交、平行,其中

3、垂线的性质:①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。②垂线段最短。

点到直线的距离:从直线外一点向已知直线作垂线,这一点和已知直线之间线段的长度叫做点到直线的距离。

4、线段的垂直平分线及其性质:

(1)垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。

(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

5、1周角=360°,1平角=180°,1直角=90°,1周角=2平角=4直角

6、若两个角的和为90°,则这两个角互为余角,同角或等角的余角相等;

若两个角的和为180°,则这两个角互为补角,同角或等角的补角相等

7、一个角是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等。

8、角平分线的点,到角两边的距离相等,反之,到角两边距离相等的点,在这个角的角平分线上。

9、平行线的性质:若两条直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。

10、平行线的判定:

①在同一平面内,不相交的两条直线互相平行。

②同位角相等,两直线平行。③内错角相等,两直线平行。④同旁内角互补,两直线平行。 ⑤如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

⑥如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行。

三角形

1、三角形定义:三条线段顺次首尾连结所得到的图形叫三角形。

2、三角形的分类:(1)按角分:锐角三角形、钝角三角形、直角三角形

(2)按边分:不等边三角形、等腰三角形;等腰三角形分为底与腰不相等的三角形和底与腰相等的

三角形。

3、三角形三边关系:三角形两边之和大于第三边;三角形两边之差小于第三边。

4、三角形内角和、外角与内角关系

三角和内角和等于180°;一个外角大于和它不相邻的一个内角,等于和它不相邻的两个内角的和。 如图所示,∠A=180°-∠B-∠ACB;∠ACD>∠A;∠ACD>∠B;

∠ACD=∠A+∠B

5、三角形中位线

(1)定义:连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

(2)性质:三角形 中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

6、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等,对应角相等。

7、全等三角形的判定

①三条边对应相等两个三角形全等,简写成SSS。

②两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等,简写成SAS。

③两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等,简写成ASA。

④两个角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成AAS。

⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成HL。

8、三角形的中位线、高线、角平分线都是线段。

9、三角形的中线与中位线的区别是:

连结一个顶点和它对边中点的线段叫中线。连接两条边中点的线段叫中位线。

10、三角形的三条角平分线的交点是它的内心;三条角平分线的交点是它的外心;三条中线的交点是它的重心。

等腰三角形与直角三角形

1、等腰三角形的性质:①两底角相等;②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;③等边三角形各角都相等,并且都等于60°。

2、等腰三角形的判定:①等角对等边;②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;③三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半;

如果一个三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2,则此三角形为直角三角形。

4、角平分线上的点到这个角两边的距离相等;反之,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

5、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;反之,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

多边形与平行四边形

1、n边形的内角和为(n-2)×180°,外角和为360°

D

2、在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形。

3、在多边形中,连结互不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

4、镶嵌的条件是:围绕在一点处各个内角的和是360°时才能镶嵌。

5、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

6、平行四边形的性质:(1)平行四边形的两组对边平行且相等;(2)平行四边形的两组对角相等;

(3)平行四边形的对角线互相平分。

7、平行四边形的判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

8、正三边形的一个内角是60°,正四边形的一个内角是90°,正五边形的一个内角是108°,正六边形的一个内角是120°,正八边形的一个内角是135°,正十边形的一个内角是144°,正十二边形的一个内角是150°。

特殊的平行四边形

1、矩形的性质:(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的两条对角线相等且互相平分;(3)矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。

2、矩形的判定方法:(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形;(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

3、菱形的性质:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形是轴对称图形,菱形也是中心对称图形。

4、菱形的判定方法:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;(3)四条边都相等的四边形是菱形。

5、正方形的判定方法:(1)四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形;(2)有一个角是直角的菱形是正方形;(3)邻边相等的矩形时正方形;(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,设菱形对角线长分别为a、b,则S菱形=1

2ab。

7、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形,其对称中心是对角线的交点,它们也都是轴对称图形,分别有2条、2条、4条对称轴。

梯形

1、一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

2、等腰梯形同一底上的两个角相等,对角线相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是上下两底的中点所连直线。

3、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形,梯形的中位线平行于上下底,且等于上下底和的一半。

4、梯形中作辅助线的方法:①平移一腰,将梯形分为一个平行四边形和一个三角形;平移对角线,

将梯形转化为三角形;③延长梯形的两腰交于一点,构造三角形和梯形;④从一底的两端,向另一底作垂线段,构造矩形和三角形;⑤连结一个顶点与另一腰中点并延长交于另一底的延长线。

① ② ③

④ ⑤ 备用

相似三角形

1、在同一单位长度下,两条线段的长度之比叫做两条线段的比。

2、在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。

3、若a:b=b:c或abbc

ab=,则b叫做a,c的比例中项。 =cd

b4、比例的基本性质:5、合比性质:ab?ad=bc =c?dd=cd?a?b

BPAP6、若线段AB上的一点P,把线段AB分为AP、BP两部分,并且使

分割,点P叫做线段AB的黄金分割点。 =APAB,则这种分割叫黄金

7、如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。

8、相似三角形的判定:

(1)相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似

(2)相似三角形的判定定理2:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似

(3)相似三角形的判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似

(4)直角三角形相似的判定定理:若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

9、相似三角形的性质:(1)对应角相等;(2)对应边成比例(即相似比);(3)周长之比、对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比;(4)面积之比等于相似比的平方

10、如果两个图形相似,并且它们的对应点所在直线交于一点,那么这两个图形叫做位似图形。这一点叫做位似中心,对应边的比叫位似比,位似比等于相似比。

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