20xx年天津市普通高校大学数学竞赛我校获奖情况

20xx年天津市普通高校大学数学竞赛于5月29日在天津理工大学、天津科技大学和天津商学院同时举行。此次比赛，我校获得了组织工作先进集体奖，蔡兵、刘保泰、薛方津三位老师获组织工作先进个人奖。在这次比赛中，我校共有11名同学获奖，获奖名单如下：

本科理工类

二等奖

左世伟 男

问虎龙 男

三等奖

张 健 男

姚惠梓 女

涂君兰 女

龚敏溪 女

本科经济管理类

一等奖

苏晓宁 女

二等奖

周兴伟 男

三等奖

苑英华 女

陈良书 男

韩智华 女

2004级 化学工程与工艺 2004级 电气工程及其自动化 2004级 材料成型及控制工程 2004级 应用物理 2004级 计算机科学与技术 2004级 化学工程与工艺 2004级 工业工程 2004级 保险学 2004级 信息管理与信息系统 2004级 信息管理与信息系统 2004级 工程造价 天津理工大学教务处 20xx年9月12日

第二篇：天津市大学数学竞赛历年试题及答案

天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）

 (人文学科及医学等类)

一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．                  .

2．                

3．=                      .

4．                   

5．切线方程为                  .

1．3  2. -1/ln2  3.2e²  4.    5．

二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1．设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是(    A   ).

(A)；     (B)； 

(C)；             (D).

   2. D  3. B   4. B   5. C 

解：令

2．设函数具有一阶导数，下述结论正确的是(  D     )。

(A)若只有一个零点，则必至少有两个零点；反例：y=2x

 (B) 若至少有一个零点，则必至少有两个零点；反例：y=x²

 (C) 若没有零点，则至少有一个零点；反例：y=2+sinx

 (D) 若没有零点，则至多有一个零点。    罗尔定理

3. 设是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf' （x）-f（x）>0恒成立，若a>b>0，则必有

(A) af(a)<bf(b)               (B) bf(a)<af(b)

(C) af(b)<bf(a)               (D) bf(b)<af(a)

3．设非负函数在区间(0,+∞)具有二阶导数，满足则当时恒有(    B   ).

(A) ；       (B) ；

(C) ；       (D) 。

又

4．函数 (  B    ).

(A) –π/2；    (B) 0；    (C) 1；    (D) π/2。

注：如果 x₀ 是函数 f(x) 的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x₀ 为函数 f(x) 的第一类间断点(discontinuity point of the first kind)。

　　在第一类间断点中，左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。

　　非第一类间断点即为第二类间断点(discontinuity point of the second kind)。

，x=0为第一类间断点

 

5．设函数具有一阶导数，是曲线的拐点，则(   C    ).

(A) 必是 的驻点；      考虑函数 

(B)   必是的拐点；考虑函数 

(C) 必是的拐点；可结合图形考虑, 如

(D)对任意与， 的凹凸性相反。凹凸性仅在x0的某个领域内考虑

三、

四、已知曲线与曲线在点(0,0)处具有相同的切线,

写出该切线方程,并求极限

五、设函数在区间(0,+∞)内有定义，且对任意x,y∈(0,+∞)都有，又存在且等于，试讨论在任意

x∈(0,+∞)时的可导性，并求。

六、设

七、设当时，且试确定常数的值，使在 点处可导，并求此导数。

八、求抛物线弧段上一点，使此点的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，并求此最小面积值。

九、设函数连续，且当时，求。

十、证明：

十一、证明：当时，

天津市大学数学竞赛历年试题（1）

（人文学科及医学等类）

一、填空：

1．3  2. -1/ln2  3.2e²  4.    5．

二、选择题：

1. A     2. D  3. B   4. B   5. C 

三、 由积分中值定理有

于是  

四、由已知,显然有且在点(0，0)处

因此，所求切线方程为y=x。

五、 命：，则由  得。

      故当时，有

         

六、利用牛顿—莱布尼兹公式：   

     设 

注意到

      

故 

          于是有

七、首先写出在附近的表达式：

时，。由知，

  故有

         

  显然，在点处连续，且，

       

       因在点处可导的冲要条件为：，

即    

八、过抛物线上的点的切线方程为：

  当时，切线在y轴上的截距为：

当时，切线在x轴上的截距为：

为求题目所述面积最小，只需求上述切线与二坐标轴所围直角三角形面积最大，而此三角形面积故设

命：

是的唯一驻点，从而也是唯一最大值点，即过点的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，其最小面积为    

九、命，则，故原等式左端为，即，

对上式两边积分得

注意到: ，故。

即，

两边求导，得

 .

十、利用分部积分公式，有

由此可见，由夹逼定理即得所证。

十一、  设，

，

。

又设：，则。

由拉格朗日中值定理知，存在，使，

而，又，故。从而，当时，

，

即单调减少，从而。命题得证。