注：本处方为白色纸黑字，纸张大小：130×193mm。
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第二篇：(完整版)20xx--20xx年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题(设好格式,A4打印即可)
20xx年“新知杯”上海市初中数学竞赛
一、填空题：
1、如图：在正?ABC中，点D、E分别在边BC、CA上，使得
EPA
D
CD?AE，AD与BE交于点P，BQ?AD于点Q.则
QP
?_____________. QB
B
2、不等式x2?2x?6?a对于一切实数x都成立.则实数a的最大值为_____________. 3、设an表示数n4的末位数.则a1?a2???a2008?_____________.
4、在菱形ABCD中，?A?60?，AB?1，点E在边AB上，使得AE:EB?2:1，
P为对角线AC上的动点.则PE?PB的最小值为_____________.
ax2
?2a?a2?1的解为_____________. 5、关于x的方程
x?1
6、如图：设P是边长为12的正?ABC内一点，过P分别作三条边
A
BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.已知PD:PE:PF?1:2:3.那么，四边形BDPF的面积是
_____________.
7、对于正整数n，规定n!?1?2???n.则乘积1!?2!???9!的所有约数中，是完全平方数的共有_____________个.
FB
D
EC
8、已知k为不超过2008的正整数，使得关于x的方程x?x?k?0有两个整数根.则所有这样的正整数k的和为_____________.
9、如图：边长为1的正?A1B1C1的中心为O，将正?A1B1C1绕中心O旋转到?A2B2C2，使得A2B2?B1C1.则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为_________.
2
A2A1C2C1
A
B1
C
B2
BDC
E
第9题图 第10题图
10、如图：已知?BAD??DAC?9?，AD?AE，且AB?AC?BE.则?B? _____________.
二、如图：在矩形ABCD内部（不包括边界）有一点P，它到顶点A及边BC、CD的距离都等于1，求矩形ABCD面积的取值范围.
DFCEB?x?2y?0?三、已知实数x、y满足如下条件：?x?2y?0，求x?y的最小值.
??x?2y??x?2y??4?
AP
四、如图：在凹六边形ABCDEF中，?A、?B、?D、?E均为直角，p是凹六边形ABCDEF内一点，PM、PN分别垂直于AB、DE，垂足分别为M、N，图中每条线段的长度如图所示（单位是米），求折线MPN的长度（精确到0.01米）.
五、求满足不等式????????????n的最大正整数n，其中x表示不超过实231113
数x的最大整数.
?n????n????n????n?????
20xx年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题（第1－5小题每题8分，第6－10小题每题10分，共90分）
1、对于任意实数a,b，定义,a?b＝a(a＋b)＋b, 已知a?2.5＝28.5，则实数a的值是 。
2、在三角形ABC中，AB?b2?1,BC?a2,CA?2a，其中a,b是大于1的整数，则b－a＝。
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4、已知关于x的方程x4?2x3?(3?k)x2?(2?k)x?2k?0有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。
5、如图，直角三角形ABC中, AC＝1，BC＝2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。
B
第五题图
A
226、设a，b是方程x?68x?1?0的两个根，c，d是方程x?86x?1?0的两个根，则(a
＋c)( b＋c)( a－d)( b－d)的值 。
7、在平面直角坐标系中有两点P(－1,1) , Q (2,2)，函数y＝kx－1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是___________ 。
8、方程xyz＝2009的所有整数解有________ 组。
9、如图，四边形ABCD中AB＝BC＝CD，∠ABC＝78°，∠BCD＝162°。设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB＝ 。
BE
第九题图
10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝ 90°，AB＝BC＝10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。
C
M
A
第十题图
B
二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB＝90°，点D在CA上，使得CD＝1, AD＝3，并且∠BDC＝3∠BAC，求BC的长。
CA
D
第二大题图
E
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，abcd?(ab?cd)2其中数字c可以是0。
四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。
五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,a?b与a?b都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。 ①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；
②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；
③证明：若(a，b)是和谐的，且
22a是有理数，则a,b都是有理数； b
20xx年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
（20xx年12月12日 上午9:00~11:00）
解答本试卷可以使用计算器
一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）
111105
1.
已知x??3，则x?x?5?10?。
xxx
2. 满足方程?x?3??y2??x?y??3的所有实数对?x，y?为__________。
2
2
3. 已知直角三角形ABC中，?C?90，BC?6，CA?3，CD为?C的角平分线，则。
4. 若前2011个正整数的乘积1?2???2011能被2010整除，则正整数k的最大值为。
5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。
k
?
6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。
7. 整数p，q满足p?q?2010，且关于x的一元二次方程67x2?px?q?0的两个根均为正整数，则p?________。
8. 已知实数a，b，c满足a?b?c，a?b?c?0且a?0。设x1，x2是方程
B
AE
O
F
GC
H
D
ax2?bx?c?0的两个实数根，则平面直线坐标系内两点A?x1，x2?，B?x2，x1?之间的距
离的最大值为_______。
9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。
B
E
10. 设a，b，c是整数，1?a?b?c?9，且abc?bca?cab?1能被9整除，则a?b?c的最小值是_________，最大值是__________。
二、 解答题（每题15分，共60分）
11. 已知面积为4的?ABC的边长分别为BC?a，CA?b，AB?c，c?b，AD是?A的角平分线，点C'是点C关于直线AD的对称点，若?C'BD与?ABC相似，求?ABC的周长的最小值。
12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数ABDCabc ， def ， ghi ， beh ， cfi 和aei都能被11整除，求三位数ceg的最大值
abcdefghi
13. 设实数x，y，z满足x?y?z?0，且?x?y???y?z???z?x??2，求x的最大222
值和最小值
b形式的数为“好数”，其中a，b都是整数 14. 称具有a?161
（1）证明：100，2010都是“好数”。
（2）证明：存在正整数x，y，使得x161?y161是“好数”，而x?y不是“好数”。
22
20xx年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题:（每题10分，共80分）
1、已知关于x的两个方程：x2?x?3m?0…①，x2?x?m?0…②，其中m?0.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是___________.
2、已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC＝90°，BD⊥AD，BC＝5，BD＝13，则梯形ABCD的面积为___________.
3、从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为___________.
4、将8个数，－7，－5，－3，－2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得 ?a?b?c?d?2??e?f?g?h?2的值最小，则这个最小值为___________.
5、已知正方形ABCD边长为4，E、F分别在AB，BC上，AE＝3，BF＝2，AF，DE交于G，则四边形DGFC的面积为___________.
6、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，P是△ABC内一点，使得PA＝11，PB＝7，PC＝6，则AC边长为___________.
7、有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的则第二名选手得分是___________.
8、已知a，b，c，d都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则a?b?c?d的最小值为___________.
4，5
二、解答题：（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）
9、如图：矩形ABCD的对角线交点为O，已知∠DAC＝60°，∠DAC的平分线与边DC交于S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M.求证：SM‖LC.
LDA
10、对于正整数n，记n!?1?2???n.求所有的正整数组（a，b，c，d，e，f），使得a!?b!?c!?d!?e!?f!，且a＞b≥c≥d≥e≥f.
11、（1）证明：存在整数x，y，满足x2?4xy?y2?2022；
（2）问：是否存在整数x，y，满足x2?4xy?y2?2011？证明你的结论.
12、对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的素因子为p1，p2，……pk，对于每个pi（1≤i≤k），存在正整数ai，使得pi
例如：p?100??26?52?89.
（1）找出一个正整数n，使得p?n??n；
（2）证明：存在无穷多个正整数n，使得p?n??1.1n.
ai?n?piai?1，记p?n??p1a1?p22???pkk.aa