七年级数学上册第一章有理数知识归纳
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数:比0___的数 正数:比0___的数 0既不是___,也不是___
注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是______;当a表示负数时,-a是______;当a表示0时,-a仍是0。(判断:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是______的) ②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则______可以表示具有与该正数相反意义的量。“量”不仅包括“数”,还要带单位。 3.0的意义
⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人; ⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数
⑶______和______统称为有理数。______、______和______统称为有理数。
理解:①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8?也是偶数,-1,-3,-5?也是奇数。
2.有理数的分类
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点、正方向、单位长度的______叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的______;⑵______、______和______是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一,画数轴时单位长度选取要合适。 2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的______都可以用数轴上的点来表示,______可用原点右边的点表示,______可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数) 3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,____边的数总比____边的数大; ⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是____,无最大的自然数; ⑵最小的正整数是____,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是____,无最小的负整数 5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数; a是正数,则a>0; ⑵a<0表示a是负数; a是负数,则a<0 ⑶a=0表示a是0; a是0,,则a=0 6.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有______不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数只有符号不同,若一个为____,则另一个为负;若一个为____,则另一个为正; ⑶0的相反数是它____;相反数为本身的数只有____。 2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个; ⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为____,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0 3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离______的两点表示的两个数,互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离______。0的相反数对应原点;原点表示____的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上______即可求得(如:5的相反数是-5); ⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如:5a+b的相反数是__________。化简得-5a-b);求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是______,化简得5) 5.相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是____ ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。 当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数) 当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a=0,(0的相反数是0) 6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的______叫做a的绝对值,记作|a|。 2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。) ②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。) 3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是______,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;⑷绝对值是同一个正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;⑸互为相反数的两数的______相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;⑹绝对值相等的两数______或互为______。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,
则a=0且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0) 4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。 5.绝对值的化简
①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a 6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有____个,它们互为______,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。______的绝对值是本身。
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把______相加; +12+(+2)= ____ -12+(-2)= ____
⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值______加数的符号,并用较大的绝对值______较小的绝对值;
-2+(+12)=+(____ - 2)=____ +2+(-12)=-(____ - 2)=____ ⑶互为相反数的两数相加,和为零; ⑷一个数与零相加,仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律:a+b=b+a
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
计算:25.3+(-7.3)+(-13.7)+7.3
3.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的_______。 用字母表示为:a-b=a+(-b)。
+12-(+2)= __________ =________ -12-(-2)= __________ =________ 4.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法 法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如: (-8)+(-7)+(-6)+(+5)= __________________ 和式的读法:
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5” 计算:(-4.6)+(8.4)=_______
(-9)+(—6)=_______ -2-7=_______ (-2)+(—16)=_______ 3.6 - (-6.4)= _________ (-5.93)-|-5.93|=_________
5.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=
Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合)-
35-12+32174-5+2-8
原式=
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要先统一再结合 (+0.125)-(-3
34)+(-312
8)-(-103
)-(+1.25) 原式=
Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
-3
15+10611-12122+4715
原式=(-3+10-12+4)+(-1761
5+15)+(11-22
)
=
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9?+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+?+(66-67-68+69)
=0+0+?+0 =0 计算:(3.1+4.2)-(4.2-1.9)
(-1.5)-(-9.4)-(+3.6)+(-4.3)-(+5.2)
第二篇:七年级数学第一章有理数知识要点
七年级数学第一章有理数知识要点(一)
1、大于0的数叫做正数,在正数前面添上一个负号“-”的数叫做负数。
2、正数都大于0,负数都小于0, 0既不是正数也不是负数。
3、整数和分数统称有理数。
4、有理数的分类:
第一种分法:(按结构分) 第二种分法: (按性质分)
正整数 正整数
整数 0 正有理数
负整数 正分数
有理数 有理数 0
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
5、因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数,而无限且不循环小数不能化为分数,所以无限且不循环小数不是有理数。如:,0.1010010001…。
6、正数和 0 统称非负数,负数和 0 统称非正数。1是最小的正整数,0是最小的自然数,-1是最大的负整数.
7、规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。注意:同一条数轴上单位长度(每一小格长)必须一致。
8、只有符号不同的两个数叫做相反数,正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是 0 。
9、相反数的性质:互为相反数的两数和为0,若、表示两个互为相反数的有理数,则: 。
10、化简一个有理数前面的多重符号的规律:看这个数前面的所有负号“-”的个数,“-”的个数为奇数时,该数的化简结果符号为“-”;该数前面“-”的个数为偶数时,该数的化简结果符号为“+”。
11、不一定表示负数,若,则;若,则;若,则。
12、数轴上表示有理数的点与原点的距离叫做的绝对值。用
“∣∣”表示。
13、正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是 0 。即任何有理数的绝对值都不可能为负数。
14、有理数的绝对值可表示为:
∣∣= 0 (=0) 或 ∣∣=
(<0)
15、任何有理数的绝对值都表示非负数,即 :。
16、有理数的大小比较:① 正数大于0,负数小于0,正数都大于负数。
② 两个负数,绝对值越大的值反而越小。