数学建模论文范文xxx

时间：2024.4.14

1 问题的提出

位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。20##年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。

为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。铺设管道的费用为（万元），其中表示每年的可供水量（万吨/年），表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。

政府从20##年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至20##年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从20##年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。

表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨）

表2 8个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）

2 问题的分析

题中要求制定一个总费用（决策目标）最小的抗旱（打井，铺设管道）方案，属于优化问题，并且使得该村从2010至20##年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，每年费用不超过60万元。（此两点为主要约束条件）

其他的约束条件有：

a.每口井只能在20##年开始，连续三年中的其中一年施工

b.铺设管道费用为万元整数倍

c.由于河位于与该村相隔20公里外的地方,所以管道总长度不小于20公里

d.铺设管道需要3年时间,故前3年管道供水量为0,而第4,5年供水量不小于100万吨。

故此模型即为基于以上约束条件的整数规划（最优决策目标）问题。

3 模型的假设

a．忽略小蓄水池的作用和利息因素

b．不考虑意外情况导致所需经费增加

c．假设井在年初修建且时间很短，修完之后即可利用，管道铺好后即可用于供水

d．假设这五年之内村民需水量基本稳定

e．假设井供水量呈稳定规律变化，不考虑其他因素对产水量的影响

f．从长远利益考虑，打井和铺设管道两个方案应同时协调进行

4 符号说明

X_ij0—1变量，表示第i号井在第j年的施工情况，X_ij=1第i号井在第j年施工，X_ij=0表示不施工

Z_j 第j年的总费用

P_j 第j年的铺管道费用

L_j 第j 年铺管道公里数

W_j 第j 年的水量

Q 管道供水量

N_j 所有新建的水井在第j年的产水量

5 模型建立

决策变量为三年间铺设管道和打井的总费用。0—1变量X_ij表示i号井j 年是否施工，为1则施工,产生费用，P_j表示第j年的铺路费用。所以第j年的总费用Z_j=5*X_1j+7*X_2j+5*X_3j+4*X_4j+6*X_5j+5*X_6j+5*X_7j+3*X_8j+P_j

三年费用min Z=Z₁+Z₂+Z₃

=5*X₁₁+7*X₂₁+5*X₃₁+4*X₄₁+6*X₅₁+5*X₆₁+5*X₇₁+3*X₈₁+P₁+

5*X₁₂+7*X₂₂+5*X₃₂+4*X₄₂+6*X₅₂+5*X₆₂+5*X₇₂+3*X₈₂+P₂+

5*X₁₃+7*X₂₃+5*X₃₃+4*X₄₃+6*X₅₃+5*X₆₃+5*X₇₃+3*X₈₃+P₃

约束条件：

1）由于第i号井只能在三年中的某一年打造或者不打造，故应有

<=1;

2) 每年的费用不能超过计划即

Z₁=5*X₁₁+7*X₂₁+5*X₃₁+4*X₄₁+6*X₅₁+5*X₆₁+5*X₇₁+3*X₈₁+P₁;

Z₂=5*X₁₂+7*X₂₂+5*X₃₂+4*X₄₂+6*X₅₂+5*X₆₂+5*X₇₂+3*X₈₂+P₂;

Z₃=5*X₁₃+7*X₂₃+5*X₃₃+4*X₄₃+6*X₅₃+5*X₆₃+5*X₇₃+3*X₈₃+P₃;

Z₁〈=60，Z₂〈=60 ， Z₃〈=60

3) 每年的水量应满足要求，水量有三部分构成：现有水井的产水量，新建水井的产水量，管道铺好后的管道水量。

现有水井产水量可根据20##——2009数据拟合出20##——20##年的，程序编码及拟合图见附录1，拟合结果如下图所示：

新建水井产水量：

第一年：

N₁=25*X₁₁+36*X₂₁+32*X₃₁+15*X₄₁+31*_X51+28*X₆₁+22*X₇₁+12*X₈₁;

第二年：

N₂=25*X₁₂+36*X₂₂+32*X₃₂+15*X₄₂+31*X₅₂+28*X₆₂+22*X₇₂+12*X₈₂+25*X₁₁*0.9+36*X₂₁*0.9+32*X₃₁*0.9+15*X₄₁*0.9+31*X₅₁*0.9+28*X₆₁*0.9+22*X₇₁*0.9+12*X₈₁*0.9

第三年：

N₃=25*X₁₃+36*X₂₃+32*X₃₃+15*X₄₃+31*X₅₃+28*X₆₃+22*X₇₃+12*X₈₃+25*X₁₂*0.9+36*X₂₂*0.9+32*X₃₂*0.9+15*X₄₂*0.9+31*X₅₂*0.9+28*X₆₂*0.9+22*X₇₂*0.9+12*X₈₂*0.9+25*X₁₁*0.81+ 36*X₂₁*0.81+32*X₃₁*0.81+15*X₄₁*0.81+31*X₅₁*0.81+28*X₆₁*0.81+22*X₇₁*0.81+12*X₈₁*0.81;

第四年：N₄=N₃*0.9

第五年：N₅=N₃*0.81

管道水量：前三年为0，后两年为Q

故每年的总水量

W₁=43.4754+N₁

W₂=31.7983+N₂

W₃=24.0045+N₃

W₄=20.7178+N₄+Q

W₅=17.4312+N₅+Q

满足，W₁>=150, W₂>=160, W₃>=170, W₄>=180, W₅>=190

4)每年的铺管道费取整且总管道不小20公里即

P_j=0.66Q^0.51*L_i

P_j取整

L₁+L₂+L₃>= 20

6 模型求解

将上述模型输入LINGO可得到【2】

Local optimal solution found.

Objective value: 172.0000

Extended solver steps: 308

Total solver iterations: 10226

Variable Value Reduced Cost

Z1 55.00000 0.000000

Z2 60.00000 0.000000

Z3 57.00000 0.000000

X11 1.000000 5.000000

X21 0.000000 7.000000

X31 1.000000 5.000000

X41 0.000000 4.000000

X51 0.000000 6.000000

X61 1.000000 5.000000

X71 1.000000 5.000000

X81 0.000000 3.000000

P1 35.00000 1.000000

X12 0.000000 5.000000

X22 1.000000 7.000000

X32 0.000000 5.000000

X42 0.000000 4.000000

X52 0.000000 6.000000

X62 0.000000 5.000000

X72 0.000000 5.000000

X82 0.000000 3.000000

P2 53.00000 1.000000

X13 0.000000 5.000000

X23 0.000000 7.000000

X33 0.000000 5.000000

X43 0.000000 4.000000

X53 1.000000 6.000000

X63 0.000000 5.000000

X73 0.000000 5.000000

X83 0.000000 3.000000

P3 51.00000 1.000000

Q 100.0000 0.000000

L1 5.064355 0.000000

L2 7.668880 0.000000

L3 7.379488 0.000000

W1 150.4754 0.000000

W2 164.0983 0.000000

W3 174.0745 0.000000

W4 255.7808 0.000000

W5 238.9878 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 172.0000 -1.000000

2 0.000000 -1.000000

3 0.000000 -1.000000

4 0.000000 -1.000000

5 0.000000 0.000000

6 0.000000 0.000000

7 0.000000 0.000000

8 1.000000 0.000000

9 0.000000 0.000000

10 0.000000 0.000000

11 0.000000 0.000000

12 1.000000 0.000000

13 -0.4462500E-07 0.000000

14 -0.6757500E-07 0.000000

15 -0.6502500E-07 0.000000

16 0.1127226 0.000000

17 5.000000 0.000000

18 55.00000 0.000000

19 60.00000 0.000000

20 0.000000 0.000000

21 3.000000 0.000000

22 57.00000 0.000000

23 0.000000 0.000000

24 0.000000 0.000000

25 0.000000 0.000000

26 0.000000 0.000000

27 0.000000 0.000000

28 0.000000 0.000000

29 0.4754000 0.000000

30 4.098300 0.000000

31 4.074500 0.000000

32 75.78080 0.000000

33 48.98782 0.000000

即最小总费用为172万元

第一年花费20万元打造1,3,6,7号井；花费35万元铺管道5.06公里，共计55万元；

第二年花费7万元打造2号井，花费53万元铺管道7.669公里，共计60万元；

第三年花费6万元打造5号井，花费51万元铺管道7.379公里，共计57

7结果分析

由结果可知第一年打井1，3，6，7号。产生水量150.47万吨。由各井的产水量可知无论是减少井量，或是替换成其他的井，在保证费用不增加的情况下都会使产水量减小，所以第一年只能打井1，3，6，7号。第二年新增水井2号，总水量164.098，可供替换的井为4，5，7号，与2号水量之差分别为21，5，24皆大于4万吨，故也无法满足水量只能打2号井。同理第三年也只能打5号井。这样方案费用是最小的。

8方案评价

1）本文把所解决的问题归结为优化问题，建立的数学模型清晰合理。

2）运用MATLAB和LINGO软件处理数据和进行运算，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性。且所得数据较为合理可靠。

3）运用0—1模型解题，全面可靠

4）但在实际运用本方案中还应考虑自然因素对产水量的影响，还有需水量的变化，根据实际情况进行灵活改变。

9参考资料

1 姜启源谢金星叶俊《数学模型》，2003

2 穆国旺 MATLAB课件 LINGO课件

3 陈綖《决策分析》 1987

4杨启帆《数学建模中的优化问题》 1990

10 附录

附录一：

一号井：

x=1:1:9

y=[32.2,31.3,29.7,28.6,27.5,26.1,25.3,23.7, 22.7]

plot(x,y,'k.','markersize',25)

a=polyfit(x,y,1)

t=1:1:14

s=polyval(a,t)

hold on

plot(t,s,'r-','linewidth',2)

grid

二号井：

x=1:1:9

y=[21.5,15.9,11.8,8.7,6.5,4.8,3.5,2.6, 2.0]

plot(x,y,'k.','markersize',25)

a=polyfit(x,y,3)

t=1:1:14

s=polyval(a,t)

hold on

plot(t,s,'r-','linewidth',2)

grid

三号井：

x=1:1:9

y=[ 27.9,25.8,23.8,21.6,19.5,17.4,15.5,13.3,11.2

]

plot(x,y,'k.','markersize',25)

a=polyfit(x,y,1)

t=1:1:14

s=polyval(a,t)

hold on

plot(t,s,'r-','linewidth',2)

grid

四号井：

x=2:1:9

y=[ 46.2,32.6,26.7,23.0,20.0,18.9,17.5,16.3

]

plot(x,y,'k.','markersize',25)

a=polyfit(x,y,3)

t=2:1:14

s=polyval(a,t)

hold on

plot(t,s,'r-','linewidth',2)

grid

附录二：

min=Z1+Z2+Z3;

Z1=5*X11+7*X21+5*X31+4*X41+6*X51+5*X61+5*X71+3*X81+P1;

Z2=5*X12+7*X22+5*X32+4*X42+6*X52+5*X62+5*X72+3*X82+P2;

Z3=5*X13+7*X23+5*X33+4*X43+6*X53+5*X63+5*X73+3*X83+P3;

X11+X12+X13<=1;

X21+X22+X23<=1;

X31+X32+X33<=1;

X41+X42+X43<=1;

X51+X52+X53<=1;

X61+X62+X63<=1;

X71+X72+X73<=1;

X81+X82+X83<=1;

@bin(X11);@bin(X12);@bin(X13);@bin(X21);@bin(X22);@bin(x23);

@bin(X31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X41);@bin(X42);@bin(X43);

@bin(X51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X61);@bin(X62);@bin(X63);

@bin(X71);@bin(X72);@bin(X73);@bin(X81);@bin(X82);@bin(X83);

P1=0.66*Q^0.51*L1;P2=0.66*Q^0.51*L2;P3=0.66*Q^0.51*L3;

L1+L2+L3>=20;

@gin(P1);@gin(P2);@gin(P3);

Z1<=60;Z1>=0;Z2>=0;Z2<=60;Z3<=60;Z3>=0;

W1=43.4754+25*X11+36*X21+32*X31+15*X41+31*X51+28*X61+22*X71+12*X81;

W2=31.7983+25*X12+36*X22+32*X32+15*X42+31*X52+28*X62+22*X72+12*X82+25*X11*0.9+36*X21*0.9+32*X31*0.9+15*X41*0.9+31*X51*0.9+28*X61*0.9+22*X71*0.9+12*X81*0.9;

W3=24.0045+25*X13+36*X23+32*X33+15*X43+31*X53+28*X63+22*X73+12*X83+25*X12*0.9+36*X22*0.9+32*X32*0.9+15*X42*0.9+31*X52*0.9+28*X62*0.9+22*X72*0.9+12*X82*0.9+25*X11*0.81+36*X21*0.81+32*X31*0.81+15*X41*0.81+31*X51*0.81+28*X61*0.81+22*X71*0.81+12*X81*0.81;

W4=20.7178+（W3-24.0045）*0.9+Q;

W5=17.4312+（W3-24.0046）*0.81+Q;

Q>=100;

W1>=150;W2>=160;W3>=170;W4>=180;W5>=190;

end

附录三：

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