小学奥数分数求和专题归纳与总结

时间:2024.3.19

分数求和

分数求和的常用方法

1、公式法,直接运用一些公式来计算,如等差数列求和公式等。

2、图解法,将算式或算式中的某些部分的意思,用图表示出来,从而找出简便方法。

3、裂项法,在计算分数加、减法时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以互相抵消,从而使计算简便。

4、分组法,运用运算定律,将原式重新分组组合,把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。

5、代入法,将算式中的某些部分用字母代替并化简,然后再计算出结果。

典型例题

一、公式法:

计算:++++…++

分析:这道题中相邻两个加数之间相差,成等差数列,我们可以运用等差数列求和公式:(首项+末项)×项数÷2来计算。

++++…++

=()×20##÷2

=

二、图解法:

计算: +

分析:解法一,先画出线段图:

从图中可以看出: +=1-=

解法二:观察算式,可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此,只要添上一个加数,就能凑成,依次向前类推,可以求出算式之和。

 +

= ++()-

= ++(+)-

……

= ×2-

=

解法三:由于题中后一个加数总是前一个加数的一半,根据这一特点,我们可以把原式扩大2倍,然后两式相减,消去一部分。

设x= +                             

那么,2x=( +)×2                 

=1+ +                             ②

用②-①得

2x-x=1+ +-( +

x=

所以, +=

三、裂项法

1、计算:++……+

分析:由于每个分数的分子均为1,先分解分母去找规律:2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,……110=10×11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。

再变数型:因为==1-====,……,==-。这样将连加运算变成加减混合运算,中间分数互相抵消,只留下头和尾两个分数,给计算带来方便。

++……+

=1-+……+-

=1-

=

2、计算:+……+

分析:因为=1-==……==。所以,我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后,再分裂成两个数的差进行简便计算。

+……+

=(+……+)÷4

=(1-+……+)÷4

=(1-)÷4

=

3、计算:21-

分析:因为=4×=4×=4×(1-)×,

         =4×=4×=4×(,

         =4×=4×=4×(,

……

=4×=4×=4×(.

所以,先用裂项法求出分数串的和,使计算简便。

21

=21-4×(1-+++……+)×

=21-2×(1-)

=19

4、计算:+……+

分析:仔细观察后发现,每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为:=1-=1-=1-=1-=1-=1- =1-=1-,……,=1-=1-.然后再裂项相消。

+……+

=(1-)+(1-)+(1-)+(1-)+……+(1-)

=1×99-(+……+)

=99-(+……+)

=99-(1-)

=99

5、计算:1++……+

分析:可以看出,第一项的分母为1,第二项的分母为两个数相加,依此类推,最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样,利用等差数列求和公式,或利用分数基本性质,变分母为两个数相乘。再裂项求和。

解法一:1++……+

=+

=

=2×(1-

=

解法二:原式=

=

=2×(

=2×(1-

=

6、计算…+

分析:可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差:

,……

,此时,可消中间,留两头进行巧算。

原式=×()+×()+……+×(

=×(+……+

=×(

=

四、分组法:计算,+-……-

分析:算式中共有2002个分数,从第二个分数开始依次往后数,每四个分数为一组,到为止,共有500组,每组计算结果都是0.

原式=+()+()+-……+()+

=+

=

五、代入法计算(1+)×()-(1+)×(

分析:可以把算式中相同的一部分式子,设字母代替,可化繁为简,化难为易。

=A,=B,则

原式=(1+A)×B-(1+B)×A

=B+AB-A-AB

=B-A

=()-()

=

热点习题

计算:

1、【1】

2、

3、

4、

5、

6、2+【41

7、

8、

9、

【原式=1-+-++

=1-()+()-()+…-(

=1-()+()-()+…-()

=1-=

10、++++…+

【从第三个分数开始依次往后数,每8个分数为一组,到最后一个分数为止,共有250组,每组计算结果都是0.所以,原式=+=

11、(1+)×()-(1+)×()

【设1+=A,=B,原式=A×(B+)-(A+)×B=

12、+…+(

【原式=+1++2+2+…+9=(+9)×19÷2=95】

13、20##年是中国共产党建党80周年,是个有特殊意义的分数。如果下式大于,那么n最小等于多少?

【1-,n>

14、-……-

【先对分母用等差数列求和,再整体裂项求和。

原式=1--…-

=1-4×[×()+×()+…+×(

=1-4××()=

15、

【利用公式变形各项。原式==

16、

【利用变形,分母=100,分子=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+…+(100+99)(100-99)=3+7+11+…+199=101×50,原式==


第二篇:小学奥数分数求和专题总结


分数求和

分数求和的常用方法

1、公式法,直接运用一些公式来计算,如等差数列求和公式等。

2、图解法,将算式或算式中的某些部分的意思,用图表示出来,从而找出简便方法。

3、裂项法,在计算分数加、减法时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以互相抵消,从而使计算简便。

4、分组法,运用运算定律,将原式重新分组组合,把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。

5、代入法,将算式中的某些部分用字母代替并化简,然后再计算出结果。

典型例题

一、公式法:

计算:++++…++

分析:这道题中相邻两个加数之间相差,成等差数列,我们可以运用等差数列求和公式:(首项+末项)×项数÷2来计算。

++++…++

=()×20##÷2

=

二、图解法:

计算: +

分析:解法一,先画出线段图:

从图中可以看出: +=1-=

解法二:观察算式,可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此,只要添上一个加数,就能凑成,依次向前类推,可以求出算式之和。

 +

= ++()-

= ++(+)-

……

= ×2-

=

解法三:由于题中后一个加数总是前一个加数的一半,根据这一特点,我们可以把原式扩大2倍,然后两式相减,消去一部分。

设x= +                             

那么,2x=( +)×2                  

=1+ +                             ②

用②-①得

2x-x=1+ +-( +

x=

所以, +=

三、裂项法

1、计算:++……+

分析:由于每个分数的分子均为1,先分解分母去找规律:2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,……110=10×11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。

再变数型:因为==1-====,……,==-。这样将连加运算变成加减混合运算,中间分数互相抵消,只留下头和尾两个分数,给计算带来方便。

++……+

=1-+……+-

=1-

=

2、计算:+……+

分析:因为=1-==……==。所以,我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后,再分裂成两个数的差进行简便计算。

+……+

=(+……+)÷4

=(1-+……+)÷4

=(1-)÷4

=

3、计算:21-

分析:因为=4×=4×=4×(1-)×,

         =4×=4×=4×(,

         =4×=4×=4×(,

……

=4×=4×=4×(.

所以,先用裂项法求出分数串的和,使计算简便。

21

=21-4×(1-+++……+)×

=21-2×(1-)

=19

4、计算:+……+

分析:仔细观察后发现,每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为:=1-=1-=1-=1-=1-=1- =1-=1-,……,=1-=1-.然后再裂项相消。

+……+

=(1-)+(1-)+(1-)+(1-)+……+(1-)

=1×99-(+……+)

=99-(+……+)

=99-(1-)

=99

5、计算:1++……+

分析:可以看出,第一项的分母为1,第二项的分母为两个数相加,依此类推,最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样,利用等差数列求和公式,或利用分数基本性质,变分母为两个数相乘。再裂项求和。

解法一:1++……+

=+

=

=2×(1-

=

解法二:原式=

=

=2×(

=2×(1-

=

6、计算…+

分析:可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差:

,……

,此时,可消中间,留两头进行巧算。

原式=×()+×()+……+×(

=×(+……+

=×(

=

四、分组法:计算,+-……-

分析:算式中共有2002个分数,从第二个分数开始依次往后数,每四个分数为一组,到为止,共有500组,每组计算结果都是0.

原式=+()+()+-……+()+

=+

=

五、代入法计算(1+)×()-(1+)×(

分析:可以把算式中相同的一部分式子,设字母代替,可化繁为简,化难为易。

=A,=B,则

原式=(1+A)×B-(1+B)×A

=B+AB-A-AB

=B-A

=()-()

=

热点习题

计算:

1、【1】

2、

3、

4、

5、

6、2+【41

7、

8、

9、

【原式=1-+-++

=1-()+()-()+…-(

=1-()+()-()+…-()

=1-=

10、++++…+

【从第三个分数开始依次往后数,每8个分数为一组,到最后一个分数为止,共有250组,每组计算结果都是0.所以,原式=+=

11、(1+)×()-(1+)×()

【设1+=A,=B,原式=A×(B+)-(A+)×B=

12、+…+(

【原式=+1++2+2+…+9=(+9)×19÷2=95】

13、20##年是中国共产党建党80周年,是个有特殊意义的分数。如果下式大于,那么n最小等于多少?

【1-,n>

14、-……-

【先对分母用等差数列求和,再整体裂项求和。

原式=1--…-

=1-4×[×()+×()+…+×(

=1-4××()=

15、

【利用公式变形各项。原式==

16、

【利用变形,分母=100,分子=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+…+(100+99)(100-99)=3+7+11+…+199=101×50,原式==

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