一元二次方程知识点的总结
知识结构梳理
知识点归类
考点一 一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意:一元二次方程必须同时满足以下三点:①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时,需将方程化成一般形式。
例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程?
⑴;⑵;(3);(4);(5)
考点二一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为(a,b,c是已知数,)。其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意:(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。
(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
(3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1); (2); (3)
例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则
考点三 解一元二次方程的方法
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如:当时,所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
法一 直接开平方法解一元二次方程
若,则叫做a的平方根,表示为,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
(1)的解是;(2)的解是;(3)的解是。
例 用直接开平方法解下列一元二次方程
(1); (2); (3)
法二 配方法
解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意:用配方法解一元二次方程,当对方程的左边配方时,一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,还要再减去这个数。
例 用配方法解下列方程:
(1); (2)
法三 因式分解法
如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时,则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
关键点:(1)要将方程右边化为0;(2)熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:提公式法,公式法(平方差公式,完全平方公式)等。
例 用因式分解法解下列方程:
(1); (2); (3)。
法四公式法
一元二次方程的求根公式是:
用求根公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为的形式,确定的值(注意符号);(2)求出的值;(3)若,则把及的值代人求根公式,求出。
例 用公式法解下列方程
(1); (2); (3)技巧选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式;
公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简单。
注意:一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法,不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,因为配方法解题比较麻烦。
例 用适当的方法解下列一元二次方程:
(1);(2);(3)
考点四 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式 △=
运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情况:
(1) △=﹥0方程有两个不相等的实数根;
(2) △==0方程有两个相等的实数根;
(3) △=﹤0方程没有实数根;
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:①把所有一元二次方程化为一般形式;②确定的值;③计算的值;④根据的符号判定方程根的情况。
例 不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:
(1);(2);(3)
考点五 根的判别式的逆用
在方程中,
(1)方程有两个不相等的实数根﹥0
(2)方程有两个相等的实数根=0
(3)方程没有实数根﹤0
注意:逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例 为何值时,方程的根满足下列情况:
(1)有两个不相等的实数; (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根;
考点六 一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根,则有,
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系:
(1) (2)
(3);
(4)││==
例 已知方程的两根为,不解方程,求下列各式的值。
(1); (2)。
考点七 根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题中的数量关系(即列出方程),然后将方程整理成一般形式求解,最后作答。
例 当取什么值时,代数式与代数式的值相等?
强化练习
一、选择题
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A、x=2 B、x=0 C、x1=0,x2=2 D、x1=0,x2=﹣2
2.将代数式x2+4x-1化成(x+p)2+q的形式( )
A、(x-2)2+3 B、(x+2)2-4 C、(x+2)2-5 D、(x+2)2+4
3.方程x2﹣4=0的解是( )
A、x=2 B、x=﹣2 C、x=±2 D、x=±4
4.小华在解一元二次方程x2﹣x=0时,只得出一个根x=1,则被漏掉的一个根是( )
A、x=4 B、x=3 C、x=2 D、x=0
5.若方程式(3x﹣c)2﹣60=0的两根均为正数,其中c为整数,则c的最小值为何?( )
A、1 B、8 C、16 D、61
6.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根,则的值为( )
A. B. C.﹣1 D.1
7.已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是( )
A.1<L<5 B.2<L<6 C.5<L<9 D.6<L<10
8.方程(x+1)(x﹣2)=x+1的解是( )
A、2 B、3 C、﹣1,2 D、﹣1,3
9.分三角形两边长分别为3和6,第三边是方程x2﹣6x+8=0的解,则这个三角形的周长是( )
A、11 B、13 C、11或13 D、不能确定
10.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为( )
A、3,-5 B、-3,-5 C、-3,5 D、3,5
二、填空题
1. (2011江苏淮安,13,3分)一元二次方程x2-4=0的解是 .
2. (2011江苏南京,19,6分)解方程x2﹣4x+1=0.
3. (2011山东济南,18,3分)方程x2﹣2x=0的解为 .
4. (2011泰安,21,3分)方程2x2+5x-3=0的解是___________.
5. (2011山东淄博14,4分))方程x2﹣2=0的根是 .
6.(2011四川达州,10,3分)已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3,则m= ,n= .
7. (2011浙江衢州,11,4分)方程x2﹣2x=0的解为 .
8. (2011黑龙江省黑河, 7,3分)一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为( )。
三、解答题
1. (2011江苏无锡,20,8分)(1)解方程:x2+4x﹣2=0;
2. (2011山东烟台,19,6分)先化简再计算:
,其中x是一元二次方程的正数根.
3. (2011清远,18,5分)解方程:x2-4x-1=0.
4. (2011湖北武汉,17,6分)解方程:x2+3x+1=0
5、已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.
(1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;
(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.
6、已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设方程的两实根分别为x1与x2,求代数式x1•x2-x12-x22的最大值.
第二篇:1一元二次方程知识点总结
第二十章 一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式:ax2?bx?c?0(a?0),其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知,x?a是b的平方根,当b?0时,x?a??b,x??a?b,当b<0时,方程没有实数根。
2、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有x2?2bx?b2?(x?b)2。
配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式:
x??b?b2?4ac2(b?4ac?0) 2a
公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式
5、韦达定理
利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用
三、一元二次方程根的判别式
根的判别式
一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中,b?4ac叫做一元二次方程2
ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式,通常用“?”来表示,即??b2?4ac I当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
II当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;
III当△<0时,一元二次方程没有实数根
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1,x2,那么x1?x2??2b,ax1x2?c。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次a
项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
五、一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
一元一次方程:①在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式,所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。
二元一次方程:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组:两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法:代入消元法/加减消元法。
一元二次方程:只有一个未知数,并且未知数的项的最高系数为2的方程
1)一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X轴的交点。也就是该方程的解了
2)一元二次方程的解法
大家知道,二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a),这大家要记住,很重要,因为在上面已经说过了,一元二次方程也是二次函数的一部分,所以他也有自己的一个解法,利用他可以求出所有的一元一次方程的解
(1)配方法
利用配方,使方程变为完全平方公式,在用直接开平方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式,套用公式法,和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样,利用这点,把方程化为几个乘积的形式去解
(3)公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了,方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a,X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a
3)解一元二次方程的步骤:
(1)配方法的步骤:
先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式
(2)分解因式法的步骤:
把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式
一.一元二次方程的根:
2.一元二次方程根与系数的关系:
(4)根与系数的关系的应用:
①验根:不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根; ②求根及未知数系数:已知方程的一个根,可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.
③求代数式的值:在不解方程的情况下,可利用根与系数的关系求关于 和 的代数式的值,如
④求作新方程:已知方程的两个根,可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用:方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
二.解一元二次方程应用题:
它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。其一般步骤为:
1.设:即适当设未知数(直接设未知数,间接设未知数),不要漏写单位名称,会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量;
2.列:根据题意,列出含有未知数的等式,注意等号两边量的单位必须一致;
3.解:解所列方程,求出解来;
4.验:一是检验是否为方程的解,二是检验是否为应用题的解;
5..答:怎么问就怎么答,注意不要漏写单位名称。