初一数学(下)应知应会的知识点
二元一次方程组
1.二元一次方程:含有两个未知数,并且含未知数项的次数是1,这样的方程是二元一次方程.注意:一般说二元一次方程有无数个解.
2.二元一次方程组:两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.
3.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程,左右两边都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解.注意:一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解).
4.二元一次方程组的解法:
(1)代入消元法;(2)加减消元法;
(3)注意:判断如何解简单是关键.
※5.一次方程组的应用:
(1)对于一个应用题设出的未知数越多,列方程组可能容易一些,但解方程组可能比较麻烦,反之则“难列易解”;
(2)对于方程组,若方程个数与未知数个数相等时,一般可求出未知数的值;
(3)对于方程组,若方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可以求出任何两个未知数的关系.
一元一次不等式(组)
1.不等式:用不等号“>”“<”“≤”“≥”“≠”,把两个代数式连接起来的式子叫不等式.
2.不等式的基本性质:
不等式的基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;
不等式的基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式的基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.
3.不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解;不等式所有解的集合,叫做这个不等式的解集.
4.一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于零的不等式,叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b>0或ax+b<0 ,(a≠0).
5.一元一次不等式的解法:一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似,但一定要注意不等式性质3的应用;注意:在数轴上表示不等式的解集时,要注意空圈和实点.
6.一元一次不等式组:含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组;注意:ab>0 Û Û 或;
ab<0 Û Û 或; ab=0 Û a=0或b=0; Û a=m .
7.一元一次不等式组的解集与解法:所有这些一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集;解一元一次不等式时,应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴确定这个不等式组的解集.
8.一元一次不等式组的解集的四种类型:设 a>b
9.几个重要的判断: , ,
整式的乘除
1.同底数幂的乘法:am·an=am+n ,底数不变,指数相加.
2.幂的乘方与积的乘方:(am)n=amn ,底数不变,指数相乘; (ab)n=anbn ,积的乘方等于各因式乘方的积.
3.单项式的乘法:系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积里.
4.单项式与多项式的乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc ,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
5.多项式的乘法:(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd ,先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
6.乘法公式:
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差;
(2)完全平方公式:
① (a+b)2=a2+2ab+b2, 两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍;
② (a-b)2=a2-2ab+b2 , 两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍;
※ ③ (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,略.
7.配方:
(1)若二次三项式x2+px+q是完全平方式,则有关系式:;
※ (2)二次三项式ax2+bx+c经过配方,总可以变为a(x-h)2+k的形式,利用a(x-h)2+k
①可以判断ax2+bx+c值的符号; ②当x=h时,可求出ax2+bx+c的最大(或最小)值k.
※(3)注意:.
8.同底数幂的除法:am÷an=am-n ,底数不变,指数相减.
9.零指数与负指数公式:
(1)a0=1 (a≠0); a-n=,(a≠0). 注意:00,0-2无意义;
(2)有了负指数,可用科学记数法记录小于1的数,例如:0.0000201=2.01×10-5 .
10.单项式除以单项式:系数相除,相同字母相除,只在被除式中含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.
11.多项式除以单项式:先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.
※12.多项式除以多项式:先因式分解后约分或竖式相除;注意:被除式-余式=除式·商式.
13.整式混合运算:先乘方,后乘除,最后加减,有括号先算括号内.
线段、角、相交线与平行线
几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一 基本概念:
直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明.
二 定理:
1.直线公理:过两点有且只有一条直线.
2.线段公理:两点之间线段最短.
3.有关垂线的定理:
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短.
4.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
三 公式:
直角=90°,平角=180°,周角=360°,1°=60′,1′=60″.
四 常识:
1.定义有双向性,定理没有.
2.直线不能延长;射线不能正向延长,但能反向延长;线段能双向延长.
3.命题可以写为“如果………那么………”的形式,“如果………”是命题的条件,“那么………” 是命题的结论.
4.几何画图要画一般图形,以免给题目附加没有的条件,造成误解.
5.数射线、线段、角的个数时,应该按顺序数,或分类数.
6.几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析.
7.方向角:
(1) (2)
8.比例尺:比例尺1:m中,1表示图上距离,m表示实际距离,若图上1厘米,表示实际距离m厘米.
9.几何题的证明要用“论证法”,论证要求规范、严密、有依据;证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论.
第二篇:初一数学知识点汇总有例题
初一数学
1.有理数:
第一章有理数
1.1正数和负数
负数:以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫做负数。
正数:以前学过的0以外的数叫做正数。
0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界。
在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义
注:-a不一定是负数,+a也不一定是正数;
1.2.1有理数:凡能写成形式的数,都是有理数。
(1)正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.
(2)有理数的分类:① ②
注意:(1)是不是正数,也不是负数;
(2)p不是有理数;无限不循环小数不是有理数。无限循环小数是有理数;
(3)小数也归为分数。
(4)自然数Û 0和正整数;a>0 Û a是正数;a<0 Û a是负数;
a≥0 Û a是正数或0 Û a是非负数;a≤ 0 Û a是负数或0 Û a是非正数.
1.2.2数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用:所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项:⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可。
⑵同一根数轴,单位长度不能改变。
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a 的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
1.2.3.相反数:只有符号不同的两个数叫做相反数。
注意:(1)一般地,a和-a互为相反数,特别地,0的相反数还是0;
(2) a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
(3)相反数的和为0 Û a+b=0 Û a、b互为相反数.
一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,我们说这两点关于原点对称
1.2.4.绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
(1)一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
注:绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。
(2) 绝对值可表示为:或 ;
(3)绝对值的问题经常分类讨论;
; ;
(4) |a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|, .
(5)有理数比大小:
①正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数。
②两个负数,绝对值大的反而小。
③正数的绝对值越大,这个数越大;
④大数-小数 > 0,小数-大数 < 0;
⑤在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,所以左边的数永远小于右边的数。即数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大
补充:
倒数:乘积为1的两个数互为倒数;
注(1)0没有倒数;若 a≠0,那么的倒数是;
(2)倒数是本身的数是±1;
(3)若ab=1Û a、b互为倒数;若ab=-1Û a、b互为负倒数.
1.3.1 有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)绝对值不相等的饿异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。
a+b=b+a
(2)加法的结合律:三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
(a+b)+c=a+(b+c).
补充:去括号法则:
(1)括号前是“+”,把括号和括号前的“+”去掉,括号里各项都不改变符号。
(2)括号前是“-”,把括号和括号前的“-”去掉,括号里各项都改变符号。
(3)括号外的因数是正数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
1.3.2有理数减法法则:(有理数的减法可以转化为加法来进行)
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
1.4.1有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。
(4)乘积是1的两个数互为倒数。
有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
ab=ba
(2)乘法的结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
(ab)c=a(bc)
(3)乘法的分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
a(b+c)=ab+ac
1.4.2有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。a÷b=a·(b≠0)
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。
因为有理数的除法可以化为乘法,所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
注:零不能做除数,.
1.5.1有理数乘方的法则:
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在an中,a叫做底数,叫做指数,当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂。
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
(3)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;
注意:当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
有理数混合运算的运算顺序:
⑴先乘方,再乘除,最后加减;
⑵同极运算,从左到右进行;
⑶如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行
(4)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0 Û a=0,b=0;
(5)据规律 底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位.
1.5.2科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.
注:用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-1。
1.5.3近似数和有效数字
接近实际数目,但与实际数目还有差别的数叫做近似数。
精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位。
从一个数的左边第一个非0 数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字。
对于用科学记数法表示的数a×10n,规定它的有效数字就是a中的有效数字。
补充:(1)混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则.
(2)特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.
第二章 整式
1. 代数式:用运算符号“+ - × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式)
2.列代数式的几个注意事项:
(1)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;
(2)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘,或省略不写;
(3)数字与字母相乘,当系数是1或-1时,1要省略不写。
(4)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(5)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×应写成a;
(6)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成的形式;
(7)一般地,合并含有相同字母因数的式子时,只需将它们的系数合并,所得结果作为系数,再乘字母因数,即ax+bx=(a+b)x
(8)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a .
3.几个重要的代数式:(m、n表示整数)
(1)a与b的平方差是: a2-b2 ; a与b差的平方是:(a-b)2 ;
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是: 10a+b ,则三位整数是:100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是: 5m+n ;偶数是:2n ,奇数是:2n+1;三个连续整数是: n-1、n、n+1 ;
(4)若b>0,则正数是:a2+b ,负数是: -a2-b ,非负数是: a2 ,非正数是:-a2 .
一、代数式与有理式
1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
2、整式和分式统称为有理式。
3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
二、整式和分式
1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
三、单项式与多项式
1、没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积---包括单独的一个数或字母)
2、几个单项式的和,叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
说明:①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。
单项式
1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或—1。
6、单独的一个数字是单项式,它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算,而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时,应化成假分数。
11、单项式的系数是1或—1时,通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关,与单项式的系数无关。
多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项,就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念,但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减
1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分配率。
去括号法则:如果括号前是“十”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号;如果括号前是“一”号,把括号和它前面的“一”号去掉,括号里各项都改变符号。
2、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项:
1).合并同类项的概念:
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
2).合并同类项的法则:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
3).合并同类项步骤:
a.准确的找出同类项。
b.逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。
c.写出合并后的结果。
4).在掌握合并同类项时注意:
a.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。
说明:合并同类项的关键是正确判断同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤:
1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。
2)按去括号法则去括号。
3)合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤:
(1)代数式化简
(2)代入计算
(3)对于某些特殊的代数式,可采用“整体代入”进行计算。
五、同底数幂的乘法
1、n个相同因式(或因数)a相乘,记作an,读作a的n次方(幂),其中a为底数,n为指数,an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用,即:am+n = am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。
六、幂的乘方
1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。(am)n表示n个am相乘。
2、幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。(am)n =amn。
3、此法则也可以逆用,即:amn =(am)n=(an)m。
七、积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。即(ab)n=anbn。
3、此法则也可以逆用,即:anbn =(ab)n。
八、同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:am÷an=am-n(a≠0)。
2、此法则也可以逆用,即:am-n = am÷an(a≠0)。
九、零指数幂
1、零指数幂的意义:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即:a0=1(a≠0)。
十、负指数幂
1、任何不等于零的数的—p次幂,等于这个数的p次幂的倒数。
注:在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
十一、整式的乘法
(一)单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。
2、系数相乘时,注意符号。
3、相同字母的幂相乘时,底数不变,指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数一起写在积里,作为积的因式。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
(二)单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。即:m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中,注意运算顺序,结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果。
(三)多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。即:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘,必须做到不重不漏。相乘时,要按一定的顺序进行,即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。
4、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时,可以运用下面的公式简化运算:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
十二、平方差公式
1、(a+b)(a-b)=a2-b2,即:两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。
2、平方差公式中的a、b可以是单项式,也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用,即:a2-b2=(a+b)(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积的运算,解这类题,首先看两个数能否转化成
(a+b)?(a-b)的形式,然后看a2与b2是否容易计算。
十三、完全平方公式
1、(a±b)=a±2ab+b即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
2、公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式。
十四、整式的除法
(一)单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则:一般地,单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知,单项式相除与单项式相乘计算方法类似,也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
(二)多项式除以单项式的法则
1、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
2、多项式除以单项式,注意多项式各项都包括前面的符号。
整式的加减复习资料知识点1 代数式
用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数.的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
例如:5,a,(a+b),ab,a2-2ab+b2等等.
请你再举3个代数式的例子:___________________________________________
知识点2 列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
如:-2×a=-2a,3×a×b=________,
-2×x2=________.
(2)数字通常写在字母前面.
如:mn×(-5)=________, (a+b)×3=_______.
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数.
如:2×ab=________,切勿
错误写成“2ab”.
(4)除法常写成分数的形式.
如:S÷x=, x÷3=__________,
x÷=__________
典型例题:1、列代数式:(1)的3倍与的差的平方:___________________
(2)2a与3的和:____________
(3)x的与的和:______________
知识点3 代数式的值
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值.
例如:求当x=-1时,代数式x2-x+1的值.
解:当x=1时,x2-x+1=12-1+1=1.
∴当x=1时,代数式x2-x+1的值是1.
对于一个代数式来说,当其中的字母取不同的值时,代数式的值一般也不相同。
请你求出: 当x=2时,代数式x2-x+1的值。
_________________________________________________________________________________________________________________________________
知识点4 单项式及相关概念
由_____和_____的乘积组成的_____叫做单项式.单项式中的______叫做这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母的______的和叫做这个单项式的次数。
典型例题:1、下列代数式属于单项式的有:_________________(填序号)
2、写出下列单项式的系数和次数.
(1)-18a2b;(2)xy;(3);(4)-x;(5)23x4 (6)
答:(1)_________(2) __________(3) _________
(4) _________ (5) _________ (6) _________
3、若单项式是一个五次单项式,则=______。
4、请你写出一个系数是-6,次数是3并且包含字母的单项式:__________。
知识点5 多项式及相关概念
(1)几个单项式的和叫做__________. 例如:a2-ab+b2,mn-3等.
(2)在多项式中,每个_______叫做多项式的项,其中,不含字母的项叫做______。
如:多项式x2-3x+2,它的项分别
是x2,______,2,常数项是_______.
(3)一般地,多项式里次数_____的项的____,就是这个多项式的次数.
如:x2y-3x2y2+4x3y2+y4是五次四项式,最高次项是4x3y2.
(4)________与________统称整式
典型例题:
1、多项式是____次____项式,其中最高次项的系数是_____,三次项的系数是_____常数项是_____
2、(1)若x2+3x-1=6,则x2+3x+8= ;(2)若x2+3x-1=6,则x2+x--= ;
(3)若代数式2a2-3a+4的值为6,则代数式a2-a-1的值为
3、当k= 时,代数式x2—(3kxy+3y2)+xy—8中不含xy项
知识点6 同类项
所含______相同,并且相同字母的______也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是________
典型例题:1、下列各组中的两项属于同类项的是( )
A.x2y与-xy3 B.-8a2b与5a2c; C.pq与-qp D.19abc与-28ab
4、若是同类项,则
5、若可以合并成一个单项式,则______
知识点7 合并同类项及法则
Ⅰ.把多项式中的同类项合并成一项,叫做__________.
Ⅱ. 合并同类项法则:把同类项的_____相加减,所得的结果作为系数,___________保持不变.
典型例题:1、填空:(1)(2)
2、计算的结果是( ) A. B. C. D.
3、下列式子中,正确的是( )
A.3x+5y=8xy B.3y2-y2=3 C.15ab-15ab=0 D.29x3-28x3=x
4、化简:(1)11x2+4x-1-x2-4x-5; (2)-ab3+2a2b-a3b-2ab2-a2b-a3b
5、已知
知识点8 去括号法则
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号都不改变;括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,原括号里各项的符号都要改变.
对应练习:1、(1)
(2)
(3)
2、化简的结果为( )
A. B. C. D.
3、先化简,再求值:,其中.
知识点9 整式加减法法则
几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.
典型例题:1、若,请你求:(1)2A+B (2) A—3B
2、试说明:无论x,y取何值时,代数式
(x3+3x2y-5xy+6y3)+(y3+2xy2+x2y-2x3)-(4x2y-x3-3xy2+7y3)的值是常数.
1、 已知一组数:1,,,,,…,用代数式表示第n个数为
2、在代数式-x2+8x-5+x2+6x+2中,-x2和 是同类项,8x和 是同类项,2和 是同类项。
3、下列各式中,去括号正确的是( )
A.x2-(2y-x+z)=x2-2y2-x+z B.3a-[6a-(4a-1)]=3a-6a-4a+1
C.2a+(-6x+4y-2)=2a-6x+4y-2 D.-(2x2-y)+(z-1)=-2x2-y-z-1
4、有一块长为a,宽为b的长方形铝片,四角各截去一个相同的边长为x的正方形,折起来做成一个没有盖的盒子,则此盒子的容积V的表达式应该是( )
A.V=x2(a-x)(b-x) B.V=x(a-x)(b-x)
C.V=x(a-2x)(b-2x) D.V=x(a-2x)(b-2x)
7、将2(x+y)-3(x-y)-4(x+y)+5(x-y)-3(x-y)合并同类项得:____________________________
8、如果a<0,ab<0,那么+1+a–b-3的值等于____________________
10、若+(b-2)2=0,A=3a2-6ab+b2,B=-a2-5,求A-B的值。
第三章 一元一次方程
2.1从算式到方程
2.1.1一元一次方程
含有未知数的等式叫做方程。
只含有一个未知数(元),未知数的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。
(1)一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
(2)一元一次方程的最简形式: ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是数学解决实际问题的一种方法。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。
2.1.2等式的性质
等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
2.2从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论⑴
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
2.3从“买布问题”说起——一元一次方程的讨论⑵
方程中有带括号的式子时,去括号的方法与有理数运算中括号类似。
解方程就是要求出其中的未知数(例如x),通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤,就可以使一元一次方程逐步向着x=a的形式转化,这个过程主要依据等式的性质和运算律等。
去分母:
⑴具体做法:方程两边都乘各分母的最小公倍数
⑵依据:等式性质2
⑶注意事项:①分子打上括号
②不含分母的项也要乘
2.4再探实际问题与一元一次方程
补充:1.列一元一次方程解应用题方法:
(1)读题分析法:………… 多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
2.列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题: 距离=速度·时间 ;
(2)工程问题: 工作量=工效·工时 ;
(3)比率问题: 部分=全体·比率 ;
(4)顺逆流问题: 顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题: 售价=定价·折· ,利润=售价-成本, ;
(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab, C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ,V正方体=a3,V圆柱=πR2h ,V圆锥=πR2h.
第四章 图形认识初步
3.1多姿多彩的图形
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形,叫做几何图形。
3.1.1立体图形与平面图形
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
许多立体图形是由一些平面图形围成的,将它们适当地剪开,就可以展开成平面图形。
3.1.2点、线、面、体
几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。
面和面相交的地方形成线。
线和线相交的地方是点。
几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素。
3.2直线、射线、线段
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
两点确定一条直线。
点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。
直线桑一点和它一旁的部分叫做射线。
两点的所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段最短。
3.3角的度量
角也是一种基本的几何图形。
度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分,每一份就是一度的角,记作1;把1度的角60等分,每份叫做1分的角,记作1;把1分的角60等分,每份叫做1秒的角,记作1。
3.4角的比较与运算
3.4.1角的比较
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。类似的,还有叫的三等分线。
3.4.2余角和补角
如果两个角的和等于90(直角),就说这两个角互为余角。
如果两个角的和等于180(平角),就说这两个角互为补角。
等角的补角相等。
等角的余角相等。
第二册
第五章 相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
有一个公共的顶点,有一条公共的边,另外一边互为反向延长线,这样的两个角叫做邻补角。
两条直线相交有4对邻补角。
有公共的顶点,角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角。
两条直线相交,有2对对顶角。
对顶角相等。
5.1.2
两条直线相交,所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
注意:⑴垂线是一条直线。
⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。
⑶垂直是相交的特殊情况。
⑷垂直的记法:a⊥b,AB⊥CD。
画已知直线的垂线有无数条。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简单说成:垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
5.2平行线
5.2.1平行线
在同一平面内,两条直线没有交点,则这两条直线互相平行,记作:a∥b。
在同一平面内两条直线的关系只有两种:相交或平行。
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
5.2.2直线平行的条件
两条直线被第三条直线所截,在两条被截线的同一方,截线的同一旁,这样的两个角叫做同位角。
两条直线被第三条直线所截,在两条被截线之间,截线的两侧,这样的两个角叫做内错角。
两条直线被第三条直线所截,在两条被截线之间,截线的同一旁,这样的两个角叫做同旁内角。
判定两条直线平行的方法:
方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。
方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。
方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简单说成:同旁内角互补,两直线平行。
5.3平行线的性质
平行线具有性质:
性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。简单说成:两直线平行,同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简单说成:两直线平行,内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。简单说成:两直线平行,同旁内角互补。
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做着两条平行线的距离。
判断一件事情的语句叫做命题。
5.4平移
⑴把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等。
图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移。
第六章 平面直角坐标系
6.1平面直角坐标系
6.1.1有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对。
6.1.2平面直角坐标系
平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴取2向上方向为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面上的任意一点都可以用一个有序数对来表示。
建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分为了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。
6.2坐标方法的简单应用
6.2.1用坐标表示地理位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下:
⑴建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;
⑵根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
⑶在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
6.2.2用坐标表示平移
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b))。
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。
第七章 三角形
7.1与三角形有关的线段
7.1.1三角形的边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角。
顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC”。
三角形两边的和大于第三边。
7.1.2三角形的高、中线和角平分线
7.1.3三角形的稳定性
三角形具有稳定性。
7.2与三角形有关的角
7.2.1三角形的内角
三角形的内角和等于180。
7.2.2三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7.3多边形及其内角和
7.3.1多边形
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
n边形的对角线公式:
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
7.3.2多边形的内角和
n边形的内角和公式:180(n-2)
多边形的外角和等于360。
7.4课题学习 镶嵌
第八章 二元一次方程组
8.1二元一次方程组
含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
8.2消元
由二元一次方程组中的一个方程,将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法,简称加减法。
8.3再探实际问题与二元一次方程组
第九章 不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式解的集合,简称解集。
含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。
9.1.2不等式的性质
不等式有以下性质:
不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
9.2实际问题与一元一次不等式
解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x<a(或x>a)的形式。
9.3一元一次不等式组
把两个不等式合起来,就组成了一个一元一次不等式组。
几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。
对于具有多种不等关系的问题,可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
9.4课题学习 利用不等关系分析比赛
第十章 实数
10.1平方根
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数。
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
10.2立方根
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
10.3实数
无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。