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                   初一数学上册：一元一次方程

【第一部分】知识点分布

1、 一元一次方程的解（重点）

2、 一元一次方程的应用（难点）

3、 求解一元一次方程及其在实际问题中的应用(考点)

【第二部分】关于一元一次方程的讲义

一、一元一次方程

（1）、含有未知数的等式是方程。

（2）、只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

（3)、分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

（4)、列方程解决实际问题的步骤：①设未知数；②找等量关系列方程。

（5）、求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

（6）、求方程的解的过程，叫做解方程。

二、等式的性质

（1）、用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。

（2）、等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

      如果a=b，那么a±c=b±c.

（3）、等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

      如果a=b，那么ac=bc;

      如果a=b且c≠0，那么.

（4）、运用等式的性质时要注意三点：

①等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算;②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；

③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母。

三、一元一次方程的解

1、解一元一次方程——合并同类项与移项

（1）、合并同类项的依据：乘法分配律。合并同类项的作用：是一种恒等变形，起到“化简”的作用，它使方程变得简单，更接近x=a（a是常数）的形式。

（2）、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（3）.移项依据：等式的性质1.移项的作用：通过移项，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a（a是常数）的形式。

2、解一元一次方程——去括号与去分母

（1）、方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不在含有分母，这样的变形叫做去分母。

（2）、顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。

（3）、工作总量=工作效率×工作时间。

（4）、工作量=人均效率×人数×时间。

四、实际问题与一元一次方程

（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。

（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。

（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它与售价不同，它指的是原价。

（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。

（5）、盈亏问题：利润=售价－成本； 售价=进价+利润；售价=进价+进价×利润率；

（6）、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。

（7）、应用：行程问题：路程=时间×速度；   工程问题：工作总量=工作效率×时间；

 储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间；   本息和=本金+利息。

【第三部分】高升教育--经典练习

一、选择题

1.解方程6x+1=-4，移项正确的是（   ）

A. 6x=4-1    B. -6x=-4-1    C.6x=1+4     D.6x=-4-1

2. 解方程-3x+5=2x-1, 移项正确的是（   ）

  A.3x-2x=-1+5     B.-3x-2x=5-1     C.3x-2x=-1-5     D.-3x-2x=-1-5

3.下列方程变形正确的是（    ）

A．由－2x=6, 得x=3

B．由－3=x＋2, 得x=－3－2

C．由－7x＋3=x－3, 得（－7＋1）x=－3－3

D．由5x=2x＋3, 得x=－1

4.已知当x=2,y=1时，代数式kx－y的值是3，那么k的值是（    ）

A．2       B．－2       C．1       D．－1

二、填空题

5. 方程 x+3=5的解是         .

6. 3xⁿ⁺²-6=0是关于x的一元一次方程，则x=        .

7. 关于x的方程5ax-10=0的解是1，则a=         .

三、解答题

8．解下列方程．

  （1）6x=3x-7                    （2）5=7+2x

  （3）y-=y-2                （4）7y+6=4y-3

9.一批学生乘汽车去观看“2008北京奥运会”如果每辆汽车乘48人，那么还多4人；如果每辆汽车乘50人，那么还有6个空位，求汽车和学生各有多少？

【第四部分】课后强化练习

一、选择题

1.  将方程-=1去分母，得（  ）

  A.2x-(x-2)=4  B.2x-x-2=4   C.2x-x+2=1  D.2x-(x-2)=1.

2.方程=1去分母正确的是(　　) 　　

　　A.2(2x+1)-3(x-1)=1　　　　B.6(2x+1)-6(x-1)=1

　　C.2x+1-(x-1)=6　　　　　　D.2(2x+1)-3(x-1)=6

　3.当3x-2与互为倒数时，x的值为(　　)

A.  　　B 　　C.3　　D.  2.D　　3.B

 二、填空题

 4．下面的方程变形中：

    ①2x+6=-3变形为2x=-3+6；②=1变形为2x+6-3x+3=6；

    ③x-x=变形为6x-10x=5；④x=2（x-1）+1变形为3x=10（x-1）+1．

    正确的是_________（只填代号）．

5．已知2是关于x的方程x－2a＝0的一个解，则2a－1的值是    .

6．一队学生从学校出发去部队军训，以每小时5千米的速度行进4.5千米时，一名通讯员以每小时14千米的速度从学校出发追赶队伍，他在离部队6千米处追上了队伍，设学校到部队的距离是千米，则可列方程            求x.

三、解答题

7.解方程：

（1）3（m+3）=-10（m-7），              （2）+=10×60.

8.解方程：｛〔（+4）+6〕+8｝=1.

9.小明沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有一辆自行车吗？”司机回答说：“10分钟前我超过一辆自行车”小明又问：“你的车速是多少？”司机回答：“75千米/小时”小明又继续走了20分钟就遇到了这辆自行车，小民估计自己步行的速度是3千米/小时，这样小明就算出了这辆自行车的速度.自行车的速度是多少？

【温馨提示】解一元一次方程过程中，在去括号、去分母时要格外细心。去分母时等式两边都要乘以公倍数。

【家长签字】

【教师评语】

第二篇：一元一次方程题型总结知识点总结很系统

满分宝典之方程

_------------十七最棒，当仁不让

（一）方程、一元一次方程

<定义>

<练习>

1.关于x的方程(m-1)x²+(m-2)x+4=0是一元一次方程，则m      

（二）是方程的解

1.如果x=-2是方程的解，求代数式a²-a的值。

2.小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了，被污染的方程是3x-0.5=0.5x+b,怎么办呢？小明想了想，便翻开看了答案，次方程的解是x=-3，他很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，请你补出这个常数。

（三）解相同

1.关于x的方程与方程8-2x=3x-2的解相同，求m的值。

（四）解方程

<定义>

3.解方程的步骤：

1.下列的叙述正确的是（   ）

A.若ac=bc,则a=b; B.若，则a=b; C.若a²=b²,则a=b; D.若-x=6,则x=-2

（五）应用题

找等量关系  有规律的

            3个量

            分量之和=总量

            一个量的两种表示方法

            题目中的一句话

【A.简单应用题】

1.当x等于什么值时，代数式与互为相反数。

【B.行程问题】--------三个量：                      

1.汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间分别为10：00，13：00；15：00，翠湖在青山和秀水之间，距青山50千米，距秀水70千米，王家庄到翠湖的路程有多远？

(1)顺逆流问题：等量关系-----顺流路程=逆流路程

1.一架飞机在两个城市之间飞行，无风时飞机每小时飞行552千米，在一次往返飞行中，顺风飞行用了5.5小时，逆风飞行6小时，求这次飞行时风的速度。

2.一架飞机在无风情况下每小时航速为1200千米，该飞机逆风飞行一条x千米的航线用了3小时，顺风飞行这条航线用了2小时，依照题意列出方程为1200-=-1200，这个方程表示的意义是                  。

3.一架飞机值两城之间飞行，风速为24千米\小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时，求无风的速度和两城之间的距离。

(2)相遇问题：等量关系-----S_相遇=S_甲+S_乙

1.甲乙两人相距33千米，分别以5千米/小时，6千米/小时的速度同时同向而行，甲所带的狗以7.5千米/小时的速度奔向乙，狗遇到乙后即回头奔向甲，遇到甲后又奔向乙，遇到乙后又奔向甲...直到甲乙相遇，求狗所走的路程。

2.电汽车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电汽车速度的5倍还快20千米\小时，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？

3.甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人都匀速行驶，一只两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。求A,B两地间的距离。

(3)追击问题：等量关系-----S_追击=S_快-S_慢

1.七年级同学去参观博物馆，从学校出发以5千米/小时的速度前进，小刚因事晚从学校出发了18分钟，他急忙骑车以14千米/小时的速度追击队伍，问他在离开学校多远的地方追上了队伍？

2.值高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/小时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/小时的卡车，则轿车从开始 追上卡车到超越卡车，共需要多少秒？

3.小明和小亮两人练习赛跑，小明每秒跑7米，小亮每秒跑6.5米，小明让小亮先跑5米，多长时间后小明可以追上小亮？

4.小明和小亮两人练习赛跑，小明每秒跑7米，小亮每秒跑6.5米，小明让小亮先跑5秒，多长时间后小明可以追上小亮？

5.甲乙两人同时登山，甲每分登高10米，并且先出法30分钟，乙每分登高15米，两人同时登上山顶，甲用多少时间登山？这座山有多高？

6.在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：(1)重合；(2)成平角；(3)成直角。

(4)过桥问题

1.一列火车匀速行驶，经过一条300米的隧道需要20秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求出火车的长度.

(5)环形跑道问题

1.运动场跑道一圈长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑350米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米，两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？

2.运动场跑道一圈长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑350米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米，两人从同一处同时同向出发，经过多少时间首次相遇？

(6)提速问题

1.从A市到B市的某次列车提速前的运行时刻表如下：A市------B：起始时间为8：00，终到时间为10：00，该次列车在提速后，每小时比提速前快20千米，终到时刻提前到9：30，那么A市到B市相距多少千米？

(7)提前迟到问题

1.某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此时骑摩托车的速度应该是多少？

【C.工程问题】---------------三个量：                     

1.一件工作，甲单独做12小时完成，现由甲单独做4小时完成，剩下的甲乙合作完成，还需几小时？

2.一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需6天完成，丙单独做需15天完成，若甲丙先做3天后甲因其他工作离开，由乙接替甲完成其余工作，问还需几天完成？

3.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生独立工作需7.5小时，让初二学生独立完成需5小时。如果让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？

4.整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

5.一件工作一人单独做需80小时，现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的四分之三，怎样安排参与工作的具体人数？

【D.储蓄问题】公式：利息=                   

【E.销售问题】

1.文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖出960元，以成本计算，其中一台盈利20%，另一台亏本20%，则这次出售中商场盈亏情况如何？

2.新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖1560元，为了发展农业科技，乙种书送下乡共卖得1350元。若按甲乙两种书籍的成本分别计算，甲种书盈利25%，乙种书亏本10%，问该书店这一天工盈利或亏本多少元？

3.商店将某种品牌的冰箱按进价提高30%标价，并打出“九折酬宾，送100元装运费”的广告，结果每台冰消获利257元，那么每台冰箱的进价是多少元？

4.某商品进价400元，标价为600元，打折销售时的利润为5%，那么商品是按几折销售的？

5.某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，这次买卖中，盈亏情况如何？

6.一种商品按标价的就这出售仍可获利20%，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件多少元？

7.小花以九折的优惠买了一件衣服，比标价少花了10元钱，那么她买的衣服实际花了多少钱？

8.对某件商品降价10%促销，为了使销售总额不变，销售量要比原价销售时增加百分之几？

【F.数字问题】个位是a,十位是b,百位是c,则这个三位数的      。

【G.日历问题】

1.日历中，任意圈出一横行或一竖行相邻的三个数，这三个数的和不可能是（   ）A.24   B.43  C.27   D.57

2.小明和小丽出生于1998年12月，他们出生日不是同一天，但都是星期五，且比小明比小丽出生早，则小丽的出生日期是        。

3.在某月的日历上圈出相邻的四个数，算出这四个数的和是42，那么这个数在日历中的排列形式怎样？

4.欢欢生日在10月，在今年的10月日历上，欢欢生日那天的上下左右4个日期的和为48，则欢欢的生日是10月几日？

【H.哪种合适】

1.某市向北京打长途电话，通话3分钟以内话费为3.6小时，超出3分钟的部分按每分钟1.2元收费，若某人付了6元话费，那么最多通话(不足1分钟按1分钟计)多少分钟？

2.某企业生产一些书包，成本为每个22元，若直接由厂家门市部销售，每个售价30元，消耗其他费用每月2400元，若委托商家销售，出厂价每个26元，求两种方式下每月售出多少个时所得利润相同？

3.某校校长暑假将带该校市级三好学生去北京旅行，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠。”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠。”若全票价为240元，(1)设学生为x人，甲旅行社收费为y_甲（元），乙旅行社收费为y_乙（元），分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）(2)当学生数是多少时，两家旅行社收费一样？

4.两种收费方式：方式一有月租费每月30元，此外根据累计通话时间按0.3元\分加收通话费；方式二无月租，根据累计通话时间按0.4元/分手通话费。(1)一个月内本地通话200分和400分，按两种收费方式各收多少钱？(2)对于某个本地通话时间，会出现按两种收费方式一样多吗？

5.某服装店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店按8折购物，什么情况下买卡购物合适？

【I.比赛积分问题】-------三个量：                     

<等量关系>：               

1.某足协举办了一场足球赛，记分规则为：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分，若甲队比赛了5场共积7分，则甲队胜了        场。

2.某校举办足球比赛中规定，胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分，某班足球队参加了12场比赛，共得了22场，已知这个队负了2场，那么此队胜了几场？平了几场？

3.数学能力测试共有20道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分，要得到84分需答对多少道题？

【J.面积、体积问题】

1.要锻造直径为80毫米，长为1500毫米的圆柱形毛坯，需截取截面边长为50毫米的方钢多长？

2.圆环如图所示，它的面积为200平方厘米，外沿大圆的半径是10厘米，内沿半径是多少？

【K.两个未知数】

1.一元和5角的硬币共100枚，值68元，则1元和5角各有多少？

2.把一根长100米的木棍锯成两段，使其中一段是另一端的2倍少5米，则该在木棍的什么位置锯？

3.两个村共有843热门，较大的村人数比另一个村的人数的2倍少3人，两寸各有多少人？

4.一人用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少俄尺？

5.两个牧童，甲对乙：“把你的羊给我1只，我的羊就是你的羊数的2倍”乙对甲说：“最好把你的羊给我一只，我们的羊数就一样多”两个牧童各有多少只羊？

【L.配套问题】-------等量关系：            

1.已知一张桌子配四条桌腿，1立方米木材可做桌面50个或桌腿300条，现有5立方米的木材，最多可做多少张方桌？

2.某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺母，乙个罗双的两头各套上一个螺母配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，安排多少人生产螺母，多少人生产螺栓，才能使得一天生产出的螺栓和螺母正好配套？

【M.出租车问题】

1.有一旅客携带30千克行李乘飞机旅行，按这家民航公司规定：旅客最多可免费携带20千克的行李，超重部分每千克按飞机票价1.5%购买行李票，现该旅客购买120元的行李票，则他的飞机票价格应是多少？

2.某市按以下规定收取每月的煤气费：用煤气不超过60吨按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过的部分按每立方米1.2元收费，已知某用户3月份的煤气费平均为0.88元/立方米，则该用户3月份交的煤气费是多少元？

【N.含有比】--------------规律：见比就设            

1.甲乙丙三辆汽车所运货物的吨数比是6：5：4，已知三辆汽车共运货120吨，求三辆汽车各运货物多少吨？

2.三块地，第一块用漫灌，第二块用喷灌，第三块用滴灌，后两种用水量分别是漫灌的25%和15%，三块地共用水420吨，每块地各用多少吨？

【O.调动问题】

1.甲乙两个班各有50人参加锄草劳动，根据工作量的大小，需要从甲班调出若干名去支援乙班，使得乙班人数比甲班的2倍少3人，应从甲班调出多少人？

【P.年龄问题】

1.小华的爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，再过多少年，他的爸爸妈妈的年龄和是100岁？

【Q.有时多，有时少】

1.种一批树苗，如果每人中10棵，则剩余6棵树苗未种；如果没人种12棵，则缺6棵树苗，有多少人种树？

2.把一些图书分给某班学生阅读，若每人3本，则剩余20本；若每人4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

3.有一群鸽子和一些笼子，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，原有多少只鸽子和多少个鸽笼？

4.一些相同的房间需要粉刷，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间外，还多刷了另外的40平方米的墙。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米，求每个房间需要粉刷的墙面的面积？

【R.增长率问题】

1.某年1--9月我国城镇居民平均可支配收入为5109元，比上年同期增长8.3%，上年同期这项收入为多少？

2.某厂去年10元生产纸2050吨，这比前年10月产量的2倍还多150吨，前年10月生产纸多少吨？

3.某乡今年人均收入比去年提高20%，今年人均收入比去年的1.5倍还少1200元。这个乡去年农民人均收入多少元？

【S.其他】

1.某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校共有多少学生？