一元一次方程知识点总结与典型例题(人教版初中数学)

时间:2024.3.24

一元一次方程知识点总结与典型例题

一、一元一次方程

  1、等式:

     用“”表示相等关系的式子,叫做等式.

  2、方程:

     含有未知数的等式叫做方程.

  3、一元一次方程:

     只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,等号的两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.

  4、判断一元一次方程的条件:

     ⑴首先必须是方程;

⑵其次必须只含有一个未知数,且未知数的指数是1;

⑶分母中不含有未知数.

  5、方程的解:

     使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.

     说明:方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论

  6、一元一次方程都可以化为一般形式:

※典型例题

知识点1:方程的概念

1、下列各式中(  )是方程.

      A.x-6    B.3×6=18    C.x-6=3  D.20÷5=4 

   2、下列式子中(  )是方程.

      A.2+3-x  B.3+x>5    C.3-y=1  D.以上都不是

   3、下列式子是方程的个数有(  )

     

      A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

   4、下列各式中,是方程的个数为(  )

     

      A.1个    B.2个  C.3个   D.4个

   5、在下列各式中,方程的个数为(  )

     

      A.1    B.2  C.3   D.4

知识点2:列方程

   6、语句“x的3倍比y的大7”用方程表示为:________________.

   7、一根细铁丝用去后还剩2m,若设铁丝的原长为xm,可列方程为:_________________.

   8、x的10%与y的差比y的2倍少3,列方程为:_____________________.

   9、一件衣服打八折后,售价为88元,设原价为x元,可列方程为:__________________.

  10、某校长方形的操场周长为210m,长与宽之差为15m,设宽为xm,列方程为:___________________.

  11、若单项式是同类项,可以得到关于x的方程为:_________________.

知识点3:方程的解

   12、下列方程中,2是其解的是(  )

      A.    B.   C.   D.

   13、x=1是下列哪个方程的解(  )

      A.   B.   C.   D.

知识点4:一元一次方程的概念

   14、下列方程中是一元一次方程的是(  )

      A.    B.   C.    D.

   15、已知下列方程:其中一元一次方程有(  )

      A.2个    B.3个    C.4个    D.5个

   16、已知是关于x的一元一次方程,则(  )

      A.m=2    B.m=-3   C.m=±3  D.m=1

   17、方程是关于x的一元一次方程,则m(  )

      A.m=±1  B.m=1  C.m=-1   D.m≠-1

   18、若方程是关于x的一元一次方程,则a的值为(  )

      A.0      B.     C.1      D.

   19、方程是一元一次方程,则a和m分别为(  )

      A.2和4    B.-2和4    C.2和-4    D.-2和-4

   20、下列关于x的方程一定是一元一次方程的是(  )

      A.    B.    C.    D.

   21、若方程是关于x的一元一次方程,则m的值是(  )

二、等式的性质

   1、等式的性质:

      ⑴等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.

等式的性质1:如果,那么

      ⑵等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.

等式的性质2:如果,那么;如果,那么

   2、解以为未知数的方程,就是把方程逐步转化为(常数)的形式,等式的性质是转化的重要依据.

※典型例题

知识点5:等式的性质

     1、运用等式性质进行的变形,不正确的是(  )

        A.如果a=b,那么a-c=b-c B.如果a=b,那么a+c=b+c

        C.如果a=b,那么    D.如果a=b,那么ac=bc

     2、下列结论错误的是(  )

        A.若a=b,则a-c=b-c        B.若a=b,则

        C.若x=2,则        D.若ax=bx,则a=b

     3、下列说法正确的是(  )

        A.如果ac=bc,那么a=b      B.如果,那么a=b

        C.如果a=b,那么   D.如果,那么x=-2y

     4、已知xy=mn,则把它改写成比例式后,错误的是(  )

        A.     B.    C.    D.

     5、在公式中,以下变形正确的是(  )

        A.        B.

        C.       D.

     6、根据下图所示,对a、b、c三中物体的重量判断正确的是(  )

       

       A.a<c     B.a<b     C.a>c    D.b<c

     7、如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a,b,c三种物体的质量判断正确的是(  )

      

      A.a<c<b       B.a<b<c    C.c<b<a    D.b<a<c

    8、下列结论中不能由a+b=0得到的是(  )

       A.   B.|a|=|b|   C.a=0,b=0   D.

    9、若2y-7x=0(xy≠0),则x:y等于(  )

       A.7:2   B.4:7  C.2:7  D.7:4

   10、已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是(  )

       A.3a-5=2b   B.3a+1=2b+6    C.3ac=2bc+5    D.

   11、下列说法:

      

       其中正确的结论是(  )

       A.只有①②    B.只有②④   C.只有①③④  D.只有①②④

   12、能不能由得到等式,为什么?反之,能不能由得到,为什么?

知识点6:利用等式的性质解方程

   13、利用等式的性质解下列方程:

          

   14、已知:x=2是方程2x+m-4=0的解,则m的值为(  )

       A.8    B.-8    C.0    D.2

   15、要使关于x方程mx=m的解为x=1,则(  )

       A.m≠0        B.m可为任何有理数

C.m>0        D.m<0

   16、若x=-3是方程k(x+4)-2k-x=5的解,则k的值是(  )

       A.2    B.-3    C.3    D.-2

   17、已知y=4是方程的解,则的值为(  )

       A.    B.8    C.289    D.225

   18、若关于x的方程是一元一次方程,则这个方程的解是(  )

       A.x=0   B.x=3  C.x=-3   D.x=2

   19、若方程是一元一次方程,则方程ax+b=1的解是(  )

       A.x=6   B.x=-6   C.x=-8   D.x=8

   20、已知关于x的方程的解满足|x|=1,则m的值是(  )

       A.-6    B.-12  C.-6或-12    D.6或12

   21、对|x-2|+3=4,下列说法正确的是(  )

       A.不是方程            B.是方程,其解为1

C.是方程,其解为3     D.是方程,其解为1,3

   22、下列各判断句中,错误的是(  )

       A.方程是等式,但等式不一定是方程

B.由ax=ay这个条件不能得到x=y一定成立的结论

C.在整数范围内,方程6x=3无解

D. =0不是方程

   23、若是一元一次方程,则m等于(  )

       A.1    B.2   C.1或2    D.任何数

   24、已知关于x的方程ax+b=c的解是x=1,则|c-a-b-1|=_______.

   25、若-2是关于x的方程的解,则________.

   26、已知等式(x-4)m=x-4且m≠1,求的值.

三、解一元一次方程——合并同类项与移项

  1、合并同类项

     通过合并同类项可以把一元一次方程化为最简形式:,其中未知数的系数满足的条件是.

  2、系数化为1:

     解方程系数化为1这一步的理论根据是等式的性质2.

  3、移项:

     把等式一边的某项变号后移动到另一边,叫做移项.

  4、移项的目的:

     通过移项,含有未知数的项与常数项分别在等号的两边,使方程更接近的形式.

  5、移项的理论根据是等式的性质1.

※典型例题

知识点7:解一元一次方程——合并同类项与移项

    1、下列方程变形正确的是(  )

       A.由3+x=5得x=5+3     B.由7x=-4得x=

       C.由得y=2      D.由3=x-2得x=2+3

    2、如果3x+2=8,那么6x+1=(  )

       A.11    B.26   C.13   D.-11

    3、当x=3时,代数式的值为7,则a等于(  )

       A.2    B.-2    C.1    D.-1

    4、关于x的方程2-3x=a(x-2)的解为x=-1,则a的值为(  )

       A.5   B.-1   C.-5   D.

    5、如果代数式5x-7与4x+9的值互为相反数,则x的值等于(  )

       A.     B.    C.      D.

    6、如果是同类项,则n是(  )

       A.2    B.1   C.-1   D.0

    7、若是同类项,则m、n的值分别为(  )

       A.2,-1     B.-2,1    C.-1,2    D.-2,-1

    8、若“※”是新规定的某种运算符号,得x※y=x4+y,则(1)※k=6中k的值为(  )

      A.-3     B.3    C.-5       D.5

    9、已知:,则方程2m+x=n的解为(  )

       A.x=-4  B.x=-3    C.x=-2   D.x=-1

   10、解下列方程:

       ⑴                     ⑵

       ⑶                ⑷

       ⑸                ⑹

       ⑺                  ⑻

四、解一元一次方程——去括号与去分母

   1、去括号法则:

      括号前面是“+”号,去括号时符号不变,括号前面是“-”号,去括号时各项都变号.

   2、去括号的理论根据是:乘法分配律.

   3、去分母:

      去分母的理论根据是:等式的性质2.

   4、去分母注意事项:

      ⑴方程两边同乘的数是各分母的最小公倍数;

      ⑵不要漏乘不含分母的项;

      ⑶当分子是多项式时分别乘以每一项.

   5、解一元一次方程的一般步骤:

      ⑴去分母:方程两边同乘各分母的最小公倍数.

      ⑵去括号:按去括号法则和分配律.

      ⑶移项:把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号.

      ⑷合并同类项:把方程化成形式.

      ⑸系数化为1:在方程两边都除以未知数的系数,得到方程的解

知识点8:解一元一次方程——去括号与去分母

    1、解下列方程:

       ⑴                  ⑵

       ⑶           ⑷

       ⑸             ⑹

       ⑺

       ⑻

       ⑼

       ⑽

    2、若方程的解与关于x的方程的解相同,则k的值为(  )

       A.        B.      C.        D.

    3、如果的倒数是3,那么x的值是(  )

       A.-3    B.1    C.3    D.-1

    4、已知关于x的方程的解满足方程,则m的值为(  )

       A.    B.    C.    D.

    5、若单项式是同类项,则mn=(  )

       A.28    B.-14  C.28或-14    D.以上都不对

    6、对于实数a,b,c,d规定一种运算:

       x=(  )

      A.       B.        C.       D.

    7、如果则x的值为(  )

       A.        B.         C.         D.

    8、已知关于x的方程2x=8与x+2=-k的解相同,则代数式的值是(  )

       A.        B.       C.        D.

    9、方程的解的个数是(  )

       A.0    B.1    C.2    D.3

   10、如果互为相反数,则代数式的值是(     )

       A.1         B.2         C.3           D.4

   11、方程的解是(  )

       A.2007    B.2009   C.4014    D.4018

五、实际问题与一元一次方程

  1、列方程解一元一次方程的步骤:

     ⑴审——审题:找出等量关系;

     ⑵设——设未知数:根据提问,巧设未知数;

     ⑶列——列方程:利用已找出的等量关系列方程;

     ⑷解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值;

     ⑸检——检验所求的未知数的值是否是方程的解,同时要注意该值是否符合实际情况;

     ⑹答——作答.

参考答案:

知识点1:方程的概念

1、C  2、C  3、B  4、C  5、B

知识点2:列方程

6、  7、  8、  9、 

10、    11、

知识点3:方程的解

12、A  13、D

知识点4:一元一次方程的概念

14、B  15、B

16、思路点拨:

17、B   18、D   19、B 

20、思路点拨:

21、思路点拨:

知识点5:等式的性质

1、C  2、D   3、B  4、C 

5、思路点拨:

6、思路点拨:

7、思路点拨:

8、C

9、思路点拨:

10、C   11、D

12、思路点拨:

知识点6:利用等式的性质解方程

14、C  15、A  16、D  17、D  18、A  19、A  20、C

21、思路点拨:

22、D   23、A  

24、思路点拨:

25、思路点拨:

26、思路点拨:

知识点7:解一元一次方程——合并同类项与移项

1、D  2、C 

3、思路点拨:

4、D  5、D  6、A

7、思路点拨:

8、思路点拨:

9、思路点拨:

知识点8:解一元一次方程——去括号与去分母

2、思路点拨:

3、C   4、B

5、思路点拨:

6、D

7、思路点拨:

8、C

9、思路点拨:

10、C

11、思路点拨:

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