平面向量和解析几何专题复习探讨
平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
解析几何是高中数学的重点内容，也是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近两年来新高考的一个亮点。
一、近两年全国和各省、市高考试卷中的平面向量和解析几何交汇试题考查统计
二、考点分析
1．以平面向量为背景的解析几何命题趋势逐渐显现
回顾近几年来平面向量与解析几何交汇命题可以说经历了三个阶段：20##年天津（21）题只是数学符号上的整合；20##年新课程卷（20）题用平面向量的语言描述解析几何中元素的关系，可谓是知识点层面上的整合；20##年有6份试卷，20##年有10份试卷涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，考查方式上升到应用层面。由此可知，考查的综合程度、难度逐年加大。
2．试题设计理念——突出知识的交汇和融合
基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力。近两年，这类试题情境新颖，结合点的选取恰到好处，命题手法日趋成熟。
如（20##年新课程高考题）已知常数a＞0，向量 
=（0，a）, 
=(1,0), 经过原点o以+λ
为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以
-2λ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在说明理由。
本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判断曲线的性质。曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及综合解题能力，本题在20##年高考平面向量试题的基础上又有新的突破和发展，它不再仅仅局限于平面向量的基本计算，它更需要对平面向量知识的深入理解和运用，是一道融合平面向量与解析几何的好题。
又如：湖南理（19）文（21）如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0），作直线与抛物线交于A、B两点，点P是点Q关于原点的对称点。
（1）设P分
的比为λ，证明： 
⊥（
-λ 
）。
（2）设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
本题尽管第（1）（2）问没有任何联系，且排列顺序值得商榷，但此题将直线和圆、抛物线、向量、线段定比分点等许多内容结合得天衣无缝，方程思想、函数思想、化归思想和数形结合思想贯穿于问题分析和解答的全过程，不失为一道综合考查学生理性思维的优美试题。
3．试题考查方向、题型及难度
由上述统计表便知，近两年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为：
（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
（3）试题主要涉及：轨迹问题，范围问题、最值定值问题、证明问题、对称问题，试题有时也会是开放探究问题，是高考中的把关题或压轴题，能力要求高、难度大、得分率不高。如20##年湖南该题理科平均得分2.81分，零分率约为34.43%，难度系数0.2.；文科该题平均得分0.82分，零分率约为60%，难度系数约为0.05。
三、复习备考建议和策略
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识结合的不多，很多学生在学习中会就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量解决解析几何问题，而新课程高考则突出了对向量与解析几何的结合考查，并且高考中这部分试题得分率低（湖南卷 理科平均分2.81分，文科0.82分）。这不得不引起我们高三数学教师的高度重视，这要求我们在平时相关部分的教学与复习中应抓住时机，采取措施，讲究策略，提高学生解答这部分试题的能力。
1．吃透考试说明、纵横梳理知识、系统整合
作为高三教师，对于高考“考什么”（知识、要求、能力要求）、“怎样考”（命题者的思路、近三年高考命题的规律和难度）应了如指掌，只有这样，才能对高考数学科的要求把握准确，复习到位，对于平面向量和解析几何专题的复习，应把握好三条线。
第一条线：向量的相关知识——向量的概念及几何表示，向量的加法和减法及几何意义、向量的数量积、向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、线段定比分点、向量平移、平面两点间的距离公式。
第二条线：曲线方程、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质。
第三条线：向量和平面解析几何整合，以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。
如:OA⊥OB,O在以AB为直径的圆上，可以转化为
=0，将=λ
转化为坐标关系。
2．深刻领会新教材的理念和精神，渗透向量思想，培养学生向量意识
复习中以近几年相关内容的高考试题和教材中的例习题为载体，换一个思维角度（用向量方法）去解决这些问题，让学生去品味、去领悟向量的工具作用、逐渐形成应用向量的意识。
例1：（2000全国）椭圆 
=1 的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的范围是____________
[分析]应用向量知识，把角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2：已知一个圆的直径的端点是A（x1，y1），B（x2，y2），
求证：圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0（高二上P82/3）
[解析]在圆上任取一点P（x，y），则
⊥ 
=0，容易推出上述方程。
3．专题探讨，形成能力
直线和圆锥曲线的综合问题是高考必考内容，通常以解答的形式出现，且题目有一定的广度和难度，因此复习备考时要把此作为重点内容，且要达到必要的深度，可以设计相关专题进行深入系统地探讨，提高学生解此题的能力。
专题包括以下内容：
（1）利用向量知识处理共线、垂直、夹角问题。
（2）把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。
4．重视教学反思，帮助学生缩短悟的过程
在作业和教学测试中，我们常会发现这样的现象，虽然有些问题在教学中已反复强化，但学生的解答情况不尽人意，这时，我们责怪学生不用功或悟性差，一切将无济于事。只有冷静反思教学过程的科学性和合理性，反思该问题学生遇到的困难及原因再做出教学调整，才能得到预期的效果。
如在一次测试中有这样一道题，已知O为坐标原点，B（-1，0），C（1，0），点A、P、Q运动时，满足|
-
|=2|
|, 
∥
,
·=0, 
=
。
（1）求运点P的轨迹E；
（2）过点B作直线l动点P的轨迹E相交于M、N两点，且点B分向量
的比为2：1，求直线l的方程。
测试结果：该题的得分率不到20%，而本题的绝对难度并不太，运算量也适中，那么，问题出在何处？从答卷来看，一部分学生不能从众多的数学符号和式子中理出个头绪来，无力解答此题，还有一部分学生过早地把向量符号坐标化，由于设“元”太多，而陷于复杂的运算，从而迷失了方向。找到了问题的症结，评讲时即可对症下药，通过师生对话，大家悟出了一个这样的道理：求解解析几何题首先要对几何图形的性质作全面细致的分析，如度量、位置及对称性等。对图形的把握越透彻，解题的目标就越清晰，运算量也就相应地得到控制，本题的叙述方式以向量语言为主，这就要求解答者先把这些信息转化为图形语言，再对几何图形作出整体的分析，然后通过坐标化思想求解。
另外，解题后一定要引导学生进行三思，一思解决“对”，二思解决“优”，三思解决“通”。帮助学生总结解题规律。解答平面解析几何综合题，其实还是有规可循的：
联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布定范围，曲线定义不能忘，引参用参巧解题。分析关系思路畅，数形结合思路明，设而不求方法好，结合向量运算简，选好选准突破口，一点破译全局活。学生掌握了这些规律并加以实践，解答这类综合题也就不畏难了。
四、20##年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨
依据教育部关于20##年普通高校招生工作新要求“开展高考自主命题的省市要积极探索考试内容改革，注重能力立意，加强对学生运用所学知识分的问题解决问题的综合素质考查”及考试说明，我们分析：今年的高考数学命题依然会坚持并强化“四考能力”（在基础中考能力，在综合中考能力，在运用中考能力，在新题型中考能力）。这“四考能力”围绕的中心就是考查数学思想方法，平面向量和解析几何都涉及坐标表示和坐标运算，坐标法可以将二者有机结合起来。同时平面向量和解析几何包含着丰富的数学思想方法。因而，20##年高考数学命题必然会抓住这一契机，以期在新一年的高考命题改革中有更大的突破性。
第二篇：平面向量和解析几何专题复习探讨
平面向量和解析几何专题复习探讨
平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
解析几何是高中数学的重点内容，也是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近两年来新高考的一个亮点。
1
二、考点分析
1．以平面向量为背景的解析几何命题趋势逐渐显现
回顾近几年来平面向量与解析几何交汇命题可以说经历了三个阶段：20xx年天津（21）题只是数学符号上的整合；20xx年新课程卷（20）题用平面向量的语言描述解析几何中元素的关系，可谓是知识点层面上的整合；20xx年有6份试卷，20xx年有10份试卷涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，考查方式上升到应用层面。由此可知，考查的综合程度、难度逐年加大。
2．试题设计理念——突出知识的交汇和融合
基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力。近两年，这类试题情境新颖，结合点的选取恰到好处，命题手法日趋成熟。
如（20xx年新课程高考题）已知常数a＞0，向量 c =（0，a）, i=(1,0), 经过原点o以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i-2λc 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在说明理由。
本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判断曲线的性质。曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及综合解题能力，本题在20xx年高考平面向量试题的基础上又有新的突破和发展，它不再仅仅局限于平面向量的基本计算，它更需要对平面向量知识的深入理解和运用，是一道融合平面向量与解析几何的好题。
又如：湖南理（19）文（21）如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0），作直线与抛物线交于A、B两点，点P是点Q关于原点的对称点。
（1）设P分AB的比为λ，证明： QP⊥（QA-λ QB ）。
（2）设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
本题尽管第（1）（2）问没有任何联系，且排列顺序值得商榷，但此题将直线和圆、抛物线、向量、线段定比分点等许多内容结合得天衣无缝，方程思想、函数思想、化归思想和数形结合思想贯穿于问题分析和解答的全过程，不失为一道综合考查学生理性思维的优美试题。
3．试题考查方向、题型及难度
由上述统计表便知，近两年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为：
（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
（3）试题主要涉及：轨迹问题，范围问题、最值定值问题、证明问题、对称问题，试题有时也会是开放探究问题，是高考中的把关题或压轴题，能力要求高、难度大、得分率不高。如20xx年湖南该题理科平均得分2.81分，零分率约为34.43%，难度系数0.2.；文科该题平均得分0.82分，零分率约为60%，难度系数约为0.05。
2
三、复习备考建议和策略
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识结合的不多，很多学生在学习中会就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量解决解析几何问题，而新课程高考则突出了对向量与解析几何的结合考查，并且高考中这部分试题得分率低（湖南卷 理科平均分2.81分，文科0.82分）。这不得不引起我们高三数学教师的高度重视，这要求我们在平时相关部分的教学与复习中应抓住时机，采取措施，讲究策略，提高学生解答这部分试题的能力。
1．吃透考试说明、纵横梳理知识、系统整合
作为高三教师，对于高考“考什么”（知识、要求、能力要求）、“怎样考”（命题者的思路、近三年高考命题的规律和难度）应了如指掌，只有这样，才能对高考数学科的要求把握准确，复习到位，对于平面向量和解析几何专题的复习，应把握好三条线。
第一条线：向量的相关知识——向量的概念及几何表示，向量的加法和减法及几何意义、向量的数量积、向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、线段定比分点、向量平移、平面两点间的距离公式。
第二条线：曲线方程、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质。
第三条线：向量和平面解析几何整合，以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。 如:OA⊥OB,O在以AB为直径的圆上，可以转化为OA?OB=0，将AB=λAC转化为坐标关系。
2．深刻领会新教材的理念和精神，渗透向量思想，培养学生向量意识
复习中以近几年相关内容的高考试题和教材中的例习题为载体，换一个思维角度（用向量方法）去解决这些问题，让学生去品味、去领悟向量的工具作用、逐渐形成应用向量的意识。
x2y2
?例1：（2000全国）椭圆 =1 的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当94
∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的范围是____________
[分析]应用向量知识，把角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2：已知一个圆的直径的端点是A（x1，y1），B（x2，y2），
求证：圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0（高二上P82/3）
[解析]在圆上任取一点P（x，y），则PA⊥ PB?PA?PB=0，容易推出上述方程。
3．专题探讨，形成能力
直线和圆锥曲线的综合问题是高考必考内容，通常以解答的形式出现，且题目有一定的广度和难度，因此复习备考时要把此作为重点内容，且要达到必要的深度，可以设计相关专题进行深入系统地探讨，提高学生解此题的能力。
3
专题包括以下内容：
（1）利用向量知识处理共线、垂直、夹角问题。
（2）把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。
4．重视教学反思，帮助学生缩短悟的过程
在作业和教学测试中，我们常会发现这样的现象，虽然有些问题在教学中已反复强化，但学生的解答情况不尽人意，这时，我们责怪学生不用功或悟性差，一切将无济于事。只有冷静反思教学过程的科学性和合理性，反思该问题学生遇到的困难及原因再做出教学调整，才能得到预期的效果。
如在一次测试中有这样一道题，已知O为坐标原点，B（-1，0），C（1，0），点A、P、Q运动时，满足|OA-OB|=2|BC|, AP∥BP,PQ·AC=0, AQ=QC。
（1）求运点P的轨迹E；
（2）过点B作直线l动点P的轨迹E相交于M、N两点，且点B分向量MN的比为2：1，求直线l的方程。
测试结果：该题的得分率不到20%，而本题的绝对难度并不太，运算量也适中，那么，问题出在何处？从答卷来看，一部分学生不能从众多的数学符号和式子中理出个头绪来，无力解答此题，还有一部分学生过早地把向量符号坐标化，由于设“元”太多，而陷于复杂的运算，从而迷失了方向。找到了问题的症结，评讲时即可对症下药，通过师生对话，大家悟出了一个这样的道理：求解解析几何题首先要对几何图形的性质作全面细致的分析，如度量、位置及对称性等。对图形的把握越透彻，解题的目标就越清晰，运算量也就相应地得到控制，本题的叙述方式以向量语言为主，这就要求解答者先把这些信息转化为图形语言，再对几何图形作出整体的分析，然后通过坐标化思想求解。
另外，解题后一定要引导学生进行三思，一思解决“对”，二思解决“优”，三思解决“通”。帮助学生总结解题规律。解答平面解析几何综合题，其实还是有规可循的：
联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布定范围，曲线定义不能忘，引参用参巧解题。分析关系思路畅，数形结合思路明，设而不求方法好，结合向量运算简，选好选准突破口，一点破译全局活。学生掌握了这些规律并加以实践，解答这类综合题也就不畏难了。
四、20xx年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨
依据教育部关于20xx年普通高校招生工作新要求“开展高考自主命题的省市要积极探索考试内容改革，注重能力立意，加强对学生运用所学知识分的问题解决问题的综合素质考查”及考试说明，我们分析：今年的高考数学命题依然会坚持并强化“四考能力”（在基础中考能力，在综合中考能力，在运用中考能力，在新题型中考能力）。这“四考能力”围绕的中心就是考查数学思想方法，平面向量和解析几何都涉及坐标表示和坐标运算，坐标法可以将二者有机结合起来。同时平面向量和解析几何包含着丰富的数学思想方法。因而，20xx年高考数学命题必然会抓住这一契机，以期在新一年的高考命题改革中有更大的突破性。
4