三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形  ②侧面是梯形    ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

             

    

           

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

               

  

（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=

4、空间点、直线、平面的位置关系

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

应用： 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：

公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：

公理2的作用：                               

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据    ②它是证明平面重合的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。   B、证明作出的角即为所求角   C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aα     a∩α＝A    a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

 线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。  ②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

第二篇：高中数学重要知识点立体几何备课

             高中立体几何总结

一、平面及基本性质

公理1 

公理2  若,则且

公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）

二、空间两直线的位置关系

共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线

三、异面直线

（1）对定义的理解：不存在平面，使得且

（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：

★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.

     ②向量法  （注意异面直线所成角的范围）

（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；

②向量法

四、直线与平面的位置关系

1、直线与平面的位置关系

2、直线与平面平行的判定

（1）判定定理:  (线线平行，则线面平行)

（2）面面平行的性质：  (面面平行，则线面平行)

3、直线与平面平行的性质

 (线面平行，则线线平行)

★4、直线与平面垂直的判定

（1）直线与平面垂直的定义的逆用

（2）判定定理： （线线垂直，则线面垂直）

（3） （练习 第6题）

（4）面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）

（5）面面平行是性质：

五、射影长定理

★6、三垂线定理及逆定理 线垂影线垂斜

1、空间两个平面的位置关系 相交和平行

2、两个平面平行的判定

（1）判定定理：  （线线平行，则面面平行）

（2） 垂直于同一平面的两个平面平行

（3） 平行于同一平面的两个平面平行

3、两个平面平行的性质

（1）性质1：

（2）面面平行的性质定理：  （面面平行，则线线平行）

（3）性质2：

4、两个平面垂直的判定与性质

（1）判定定理：  （线面垂直，则面面垂直）

（2）性质定理：面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）

六、  空间角

1、异面直线所成角（9.1）

2、斜线与平面所成的角

（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.

（2）向量法：设平面的法向量为，则直线与平面所成的角为，则

  

（3）两个重要结论

 最小角定理：  ，例4 第6题

3、二面角及其平面角

（1）定义法，垂面法，★三垂线定理及逆定理

（2）射影面积法： 关键是找准一个平面图形在二面角的另一个面上的射影面积

（3）向量法：设二面角的大小为，另个平面的法向量分别为，θ=arccos.

七、  空间距离

1、求距离的一般方法和步骤

（1）找出或作出有关的距离；

（2）证明它符合定义；

（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）

2、求点到面的距离常用的两种方法

（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；

（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：

3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解

八、  棱柱、棱锥、球

1、棱柱

（1）棱柱的性质

①棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形

（2）平行六面体与长方体

①概念：底面是平行四边形的棱柱是平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各侧棱长都相等的长方体叫正方体.

②性质：<1>平行六面体的对角线相交于一点且互相平分

        <2>设长方体过同一顶点的三条棱长分别为，一条对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为,则★体对角线的长为：

③公式

<1>，<2>

2、棱锥

（1）正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影是中心的棱锥

（2）棱锥的性质：

①平行于底面的截面与底面相似，面积之比等于相似比的平方

②正棱锥的侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（斜高）相等

★③正棱锥的高、斜高及其在底面上的射影组成一个——可解决侧面与底面所成二面角；高、侧棱及其在底面上的射影组成一个——可解决侧面与底面所成线面角.

（3）公式

①（为斜高）   ★②——重视等体积法求点到面的距离

（4）三棱锥的常用性质

★①各侧棱相等时顶点在底面的射影为底面三角形的   外心    

★②各侧棱与底面所成角相等时顶点在底面的射影底面三角形的   外心         

③顶点到底面各边距离相等且射影落在底面内顶点在底面的射影时为底面三角形的   内心       

④各侧面与底面所成角相等时顶点在底面的射影为底面三角形的    内心      

⑤三条侧棱两两垂直时顶点在底面的射影为底面三角形的     垂心