代数式

基础知识点：

一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。

3、代数式的分类：

二、整式的有关概念及运算

1、概念

（1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

2、运算

（1）整式的加减：

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

    去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。

    添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。

    整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。

    （2）整式的乘除：

    幂的运算法则：其中m、n都是正整数

    同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：积的乘方：。

    单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

    单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

    多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

    单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

    多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。

    乘法公式：

    平方差公式：；

完全平方公式：，

三、因式分解

    1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

    2、常用的因式分解方法：

    （1）提取公因式法：

    （2）运用公式法：

平方差公式：；完全平方公式：

（3）十字相乘法：

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法。

四、分式

    1、分式定义：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

    （1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。

    （2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。

    （3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

    （4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

    （5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

    （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

    （7）有理式：整式和分式统称有理式。

    2、分式的基本性质：

    （1）；（2）

    （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

    3、分式的运算：

    （1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

    （2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

    （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

    （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

五、二次根式

    1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。

    （1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

    （2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

    （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

    （4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）

    2、二次根式的性质：

   （1） ；（2）；（3）（a≥0，b≥0）；（4）

    3、运算：

    （1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

    （2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。

    （3）二次根式的除法：

    二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

例题：

一、因式分解：

    1、提公因式法：

例1、

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。

2、十字相乘法：

例2、（1）；（2）

分析：可看成是和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。

3、分组分解法：

例3、

分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略

[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。

4、求根公式法：

例4、解：略

二、式的运算

巧用公式

    例5、计算：

分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略

[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。

2、化简求值：

例6、先化简，再求值：，其中x= – 1 y =

 [规律总结]一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。

3、分式的计算：

例7、化简

分析：– 可看成 解：略

[规律总结]分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；（2）注意负号

4、根式计算

例8、已知最简二次根式和是同类二次根式，求b的值。

分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7–b。解：略

[规律总结]二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。

第二篇：【博海名师知识点总结】(人教版)20xx中考知识点总结：三角形 (13大知识点+例题)

三角形

知识点：

    一、关于三角形的一些概念

    由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

    组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。

    1、三角形的角平分线。

    三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）

    2、三角形的中线

    三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）

    3．三角形的高

    三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）

    注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

    如图 2－l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内

    如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内

而图2－3，说明高线不一定在 △ABC内，

　　　图2—3—（1）    　  图2—3—（2） 　  图2－3一（3）

图2－3—（1），中三条高线都在△ ABC内，

    图2－3－（2），中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边；

    图2－3一（3），中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。

    三、三角形三条边的关系

    三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。

    等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。

    三角形接边相等关系来分类：

    三角形

    用集合表示，见图2－4

    推论三角形两边的差小于第三边。

    不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

    例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。

    三、三角形的内角和

    定理三角形三个内角的和等于180°

    由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。

    如已知△ABC的两个角为∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C＝180°–90°–40°＝50°

    由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。

    推论1：直角三角形的两个锐角互余。

    三角形按角分类：

   

    用集合表示，见图

    三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

    推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

    推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

    例如图2—6中

    ∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；

    ∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。

    四、全等三角形

    能够完全重合的两个图形叫全等形。

    两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

    全等用符号“≌”表示

    △ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，  B和B`，  C和C`是对应点。

    全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

    如图2—7，△ABC≌△A `B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。

    ∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。

    ∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`

    五、全等三角形的判定

    1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）

     注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。

    2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”）

    3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”）

    4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

    由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。

    除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。

    5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）

    六、角的平分线

    定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

    定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

    由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

    可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）

    在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。

    如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定

理。

    例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。

    一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。

七、基本作图

限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿

最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。

1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。

3、经过一点作已知直线的垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。

4、作线段的垂直平分线：

线段的垂直平分线也叫中垂线。

做法的实质仍是全等三角形（SSS）。

也可以用这个方法作线段的中点。

八、作图题举例

重要解决求作三角形的问题

    1、已知两边一夹角，求作三角形  2、已知底边上的高，求作等腰三角形

    九、等腰三角形的性质定理

    等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

    推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

    推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

    例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n

    十、等腰三角形的判定

    定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。

  推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

  推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

  推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

    十一、线段的垂直平分线

    定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

    逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

    就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

    十二、轴对称和轴对称图形

    把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。

    两个图形关于直线对称也叫轴对称。

    定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

    定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

    定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。

    逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

    如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

    例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。

    十三、勾股定理

    勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：

    勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：

    那么这个三角形是直角三角形

例题：

    例1、已知：AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF.求证：CE=DF

分析：要证CE=DF，可证△ACE≌△BDF，但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，从而证出△ACE≌△BDF.

证明：略

例2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。求证：BF=DE

分析：观察图形，BF和DE分别在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。这时可由已知条件先证明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，从而证出△CFB≌△AED。

证明：略

例3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角, ∠1=∠2， AD∥BC 。

求证：AB=AC

证明：略

例4、已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．证明：略