二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。    

   这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 的性质：上加下减。

3. 的性质：左加右减。

4.的性质：

三、二次函数图象的平移

  1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

 

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

   方法二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

1.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

2.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

4.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

  ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

  ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

5.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，

∴顶点是，对称轴是直线.

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

      用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

  1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；

当时，有最小值．

  2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；

当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

     ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

   ⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

总结：

  3. 常数项

     ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

     ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

     ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

     总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

    二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  2. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  3. 关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

  4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

  5. 关于点对称  

关于点对称后，得到的解析式是

    根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

② 当时，图象与轴只有一个交点；

③ 当时，图象与轴没有交点.

 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

          

十一、函数的应用

二次函数应用

第二篇：二次函数(最全的中考二次函数知识点总结)[1]

第一部分 二次函数基础知识

²  相关概念及定义

Ø  二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数[l1] ．

Ø  二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

²  二次函数各种形式之间的变换

Ø  二次函数用配方法可化成：的形式，其中[l2] .

Ø  二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤[l3] .

²  二次函数解析式的表示方法[l4] 

Ø  一般式：（，，为常数，）；

Ø  顶点式：（，，为常数，）；

Ø  两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

Ø  注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

²  二次函数图象的画法[l5] 

Ø  五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

Ø  画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

²  二次函数的性质[l6] 

²  二次函数的性质[l7] 

²  二次函数的性质[l8] ：

²  二次函数的性质[l9] 

²  抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

Ø  的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同[l10] .

Ø  对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

Ø  顶点坐标：

Ø  顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

²  抛物线中，与函数图像的关系[l11] 

Ø  二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     ⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

     ⑵ 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

Ø  一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

   ⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

Ø  常数项

     ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

     ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

     ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

     总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

²  求抛物线的顶点、对称轴的方法[l12] 

Ø  公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

Ø  配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

Ø  运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

      用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

²  用待定系数法求二次函数的解析式

Ø  一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

Ø  顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

Ø  交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

²  直线与抛物线的交点

Ø  轴与抛物线得交点为(0, ).

Ø  与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

Ø  抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

Ø  平行于轴的直线与抛物线的交点

      可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

Ø    一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

Ø  抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

²  二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达[l13] 

Ø  关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

Ø  关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

Ø  关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

Ø  关于顶点对称

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

Ø  关于点对称  

关于点对称后，得到的解析式是

Ø  总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

²  二次函数图象的平移[l14] 

Ø  平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

Ø  平移规律

         在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

²  根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

Ø  三点式。

1，已知抛物线y=ax²+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)^２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

Ø  顶点式。

1，已知抛物线y=x²-2ax+a²+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)²-2a  的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

Ø  交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。

Ø  定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x² +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax²+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

Ø  平移式。

1， 把抛物线y= -2x² 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)² +k,求此抛物线解析式。

2， 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.

Ø  距离式。

1，抛物线y=ax²+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x²+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

Ø  对称轴式。

1、抛物线y=x²-2x+(m²-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

2、 已知抛物线y=-x²+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。

Ø  对称式。

1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B₁的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。

2， 求与抛物线y=x²+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。

Ø  切点式。

1，已知直线y=ax-a²(a≠0) 与抛物线y=mx² 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax² +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。

Ø  判别式式。

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x²+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x²+(m+1)x+3解析式。

2、 已知抛物线y=(a+2)x²-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。

3、已知抛物线y=(m+1)x²+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

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 [l1]问当m为何值时是二次函数

 [l2]给出过程

 [l3]分别需要哪些信息可以求得函数表达式？

 [l4]将转化为其它两式

 [l5]画函数图像

 [l6]先画出图像，探究其性质

 [l7]先画出的图像

 [l8]先画出的图像

 [l9]的图像

 [l10]大的开口大还是小？

 [l11]自己验证

 [l12]用三种方法分别求的顶点和对称轴

 [l13]理解 推导

 [l14]由如何平移得到？