参加《线性代数》课程培训的心得体会

祖建 西南石油大学理学院

尊敬的李老师,您好!

我是西南石油大学理学院的一名老师，教了《线性代数》这门课程两遍. 有幸参加了这次全国高校教师《线性代数》课程的网络培训，领悟到了李教授的授课风采.

在我们学校《线性代数》是《高等数学》的后继课程，它是工科学生必修的一门重要基础课. 《线性代数》是从解线性方程组和讨论二次方程的图形等问题的基础上而发展起来的一门数学学科. 《线性代数》介绍代数学中线性关系的经典理论，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性. 由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此《线性代数》课程所介绍的理论和方法也具有广泛的实用性. 尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要. 《线性代数》课程主要讲授矩阵与行列式、向量、线性方程组、方阵相似对角化和二次型以及《线性代数》实验等内容. 《线性代数》教学不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养，《线性代数》教学既是科学的基础教育，又是文化的基础教育，是素质教育的一个重要的方面.

我们学校开设本课程的目的是不仅使学生掌握该课程的基本理论与基本方法，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物，为学生学习后继数学课程、其它基础课程和专业课程提供必要的基础知识和思想方法，而且培养学生较强的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和归纳判断能力，培养学生运用所学知识去分析问题、建立数学模型以及利用计算机解决实际问题的能力和意识，为学生将来从事科学研究工作奠定良好的理论基础，提供一种重要的数学工具，积累一定的运用计算机解决实际问题的实践经验.

通过这次培训，我领悟到了《线性代数》的抽象概念并非枯燥难懂，而是源于自然，充满魅力和威力. 我们对《线性代数》课程的教学设计要让抽象回归自然，代数几何熔一炉. 从几何直观引入抽象概念，易于接受，更容易懂. 我们工科学校要结合学校的特色，根据学生的实际情况进行教学，突出重点，突出我们的特色. 我们的课程设计要以学生为中心.

以下是我根据这次的学习，所设计的关于逆矩阵这一节的教案，敬请李教授指导. 谢谢！

§1.4 逆 矩 阵

在本章第三节里，我们定义了矩阵的加法、减法和乘法三种运算. 而在矩阵乘法运算中，我们看到单位矩阵E的作用类似于数1在数的乘法中的作用，即对于任意n阶矩阵A，有

AEn?EnA?A.

（下面用类比于数的性质引出逆矩阵的概念）

在数的乘法运算中，对于非零数a，则存在唯一一个数b，使得

ab?ba?1.

我们自然要问：非零矩阵是否也有类似这样的性质？

我们先看下面的引例：

引例1

（1） 设A???

?00??00??10??ab?????，则对任意，都有AB?B???cd?????01??. ?cd?01????????

（2）设A????11??2?1??10??????，则存在，使得. B?AB?BA???????12???11??01?

引例1说明，对于非零矩阵A，不一定存在矩阵B，使得AB?BA?E. 如果这样的矩阵B存在，我们就称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.

可逆矩阵是一类重要的矩阵，而它的逆矩阵在矩阵的运算中起着重要作用. 下面，我们来介绍可逆矩阵的定义、性质和矩阵是可逆矩阵的条件，最后介绍一种求逆矩阵的方法.

1、逆矩阵的定义

定义1 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使AB?BA?E，则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，记作A?B，即，AA?AA?E.

显然，B?1?1?1?1?A. 单位矩阵E是可逆矩阵，其逆矩阵为自身；零矩阵不是可逆矩阵.

【说明】（1）、可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵，并且它们的阶数相同；

（2）、可逆矩阵与其逆矩阵可交换；

（3）、只有方阵才有逆矩阵.

【问题1】如何求引例1（2）中的矩阵A的逆矩阵？

?ab?【方法】由逆矩阵的定义，设B???cd??，由AB?BA?E，则可求出矩阵B. 即，采用待定元素的方法. ??

例1 设方阵A满足A?A?2A?E?0，证明A可逆.

证明 因为A(A?A?2E)?(A?A?2E)A?E，所以A可逆. 323243

2、可逆矩阵的性质

（以下均设A是n阶方阵）

?1?1a) 若A可逆，则A的逆矩阵唯一，记为A，且A也可逆，(A?1)?1?A，A?1?A. ?1

?1?1?1b) 若A可逆，数k?0，则kA可逆，且(kA)?kA.

?1c) 设A和B都是n阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)?B?1A?1.

一般地，若同阶矩阵A1,A2,?,As都可逆，则A1A2?As也可逆，且

?1?1?1(A1A2?As)?1?AsAs?1?A1.

d) 若A可逆, 则A也可逆，且(A)

Tkk?1?(A?1)k. ?(A?1)T. e) 若A可逆, 则A也可逆，且(A)

证明 T?1

?1a) 设B、C都是A的逆矩阵，则B?BE?B(AC)?(BA)C?C；由AA?E知，

AA?1?AA?1?E?1，A?0,A?1?A

?1.

b) 事实上，(kA)(k?1A?1)?(k?1A?1)(kA)?(kk?1)(AA?1)?E.

c) 事实上，(AB)(B?1A?1)?A（BB?1）A?1?AEA?1?AA?1?E，(B?1A?1)(AB)?E. d) 事实上，Ak(A?1)k?AA

e) 事实上，因为， A?A?1A?1A?1?E； (A?1)kAk?E.

AA?1?A?1A?E,所以，(AA?1)T?(A?1A)T?E,即，(A?1)TAT?AT(A?1)T?E.

【说明】（1）、不能将A写为

（2）、(A?B)?1?11； A?A?1?B?1.

（3）、如果A可逆，那么矩阵方程AX?B有唯一解

X?EX?(A?1A)X?A?1(AX)?A?1B.

例2 设AB?AC，且A可逆，证明B?C.

证明 B?EB?(AA)B?A(AB)?A(AC)?(AA)C?C.

【问题2】在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A？ ?1?1?1?1?1

3、矩阵可逆的条件

定义2 设A?(aij)n?n，Aij为A中元素aij的代数余子式，则称矩阵

?A11A21?AA22?A??12

? ??A1nA2n

为A的伴随矩阵. An1?An2?? ? ?Ann?

A的伴随矩阵A?与A有如下重要关系；

命题1 设A为n阶方阵A?(aij)n?n的伴随矩阵，则AA?AA?En.

证明 由行列式按一行（列）展开和行列式的性质知， ???

?A,i?jaA? ， ??ikjk0,i?jk?1?n

于是

?a11?a?AA??21

?...??an1

同理AA?AEn.

?a12a22...an2...a1n??A11A21?A...a2n???12A22......?? ??...ann??A1nA2nAn1??A0?An2????0A?? ??Ann???000??0??AEn， ? ?A??

?推论1 设A为n阶方阵A?(aij)n?n的伴随矩阵，则A?A?

*【说明】A?0?A?0. n?1. 命题2 若A?0，则A?1?1?1A，(A*)?1?A. AA

事实上，由命题1，有 A??1???1?????????A?A?E；?1A?A??A??1A??E. A?A??A??A??A?????????

定理1 方阵A可逆?A?0.

证明 必要性 若A可逆，则存在n阶方阵B使AB?BA?E，从而AB?1.

充分性 由命题2可得.

推论2 设方阵A满足AB?E(或BA?E)，则A可逆.

由推论2，我们只需验证AB?E(或BA?E)，就知道A可逆，且A

推论3 设方阵A满足AB?E，则BA?E，且A

例如，若ABCD?E, 则下列成立的是： ?1?1?B. ?B，B?1?A.

BCDA?E(成立),BACD?E(不成立),DABC?E(成立).

【说明】

（1）、当A?0时，A称为奇异矩阵（退化矩阵）； 当A?0时，A称为非奇异矩阵（非退化矩阵）.

（2）、定理1不仅给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求矩阵的逆矩阵的公式，即提供了一种求矩阵的逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）.

例3 设

?23?, A????45?

?5??1则A??2??23??3??1??2???1??. 2，(A)?????2?5??1???2??

*事实上，因为A??2，AA??，A12??4，A21??3，A22?2，11?5?5?3? ???42?

?51?1???A?A=2?A?2

?ab??d?b?【注意】一般地，?????ca?. cd????*3??3??1???12*?1?A???2(A)??5A??2???1????2?4、逆矩阵的应用举例

?110??11?????例4 设A?0?20，求?A??2A的值. ???2???7?31??

?1?解 因为A??2，所以A可逆，从而?A??2?

?1?1?2A?1，A??AA?1??2A?1， ?1???1?A??2A??2A?4. ?2?

例5 设n阶方阵A满足A?3A?2E?0，求A，(A-E).

22?1-1【分析】（1）、由A?3A?2E?0得，A2?3A?2E,即，A?

（2）、（凑因式法） 133??1A?E??E, 所以，A?1?A?E; 222??2

111??1(A?E)(A?2E)?A2?3A?2E?4E,即，(A?E)?A?E??E,所以，(A-E)-1?A?E. 422??4

?301???例6 解矩阵方程AX?A?2X，其中A?110. ????014??

【分析】求满足一定关系式的未知矩阵，一般应先根据矩阵的运算化简关系式，再求出出相关矩阵的逆矩阵，最后求出未知矩阵.

由AX?A?2X得，

AX?2X?A,即，(A?2E)X?A,所以，当A?2E可逆时，X?(A?2E)?1A. 因此，可以先求(A?2E)?1，再乘以A.

用伴随矩阵法：

(A?2E)?1?1 A?2E)*，A?2E

?5?2?2??. X?(A?2E)?1A??4?3?2???3???22?

一般说来，用伴随矩阵法来求矩阵的逆矩阵，计算量是非常大的，对于阶数较大的矩阵，我们一般不采用这种方法求逆矩阵. 以后我们将给出另外一种实用的求矩阵的逆矩阵的方法——初等行变换法.

祖 建

四川、成都、西南石油大学理学院

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2007-11-21

第二篇：参加文学概论课程培训的心得体会

参加《文学概论》课程培训的心得体会

浙江省温州大学教育学院 周宗培

这次参加《文学概论》课程培训，虽然来自非中文专业的教师不乏其人，但来自教育学院的全国好象就我一个，虽然与王、陈老师以及各位“同学”只是网上相逢，但与会者阵容之庞大、课堂讨论气氛之热烈以及授课老师话语之机锋，还有一些大家共同面临的问题与相似的因应之道让我这个“游兵散勇”倍感文艺学大家庭的亲切与温暖，这一切对于促进我对本学科知识的学习和课程建设的思考，也必将产生非常积极的影响。下面就对会议中在老师们的启发下的一些心得体会做一个简单的记录。

一、回到作品解读

这次会议，见识了老师们对作品解读的重视，也充分感受了他们解读作品的功力。比如王老师对牛汉《夜》的细读就非常精彩，而王老师转述的胡经之先生的说法“做理论的关键是把例子讲透”对我以后更具有指导性的意义。事实上，我学习文学理论的初衷不就是迫于解读作品的压力吗。当初因为古代文学、现当代文学乃至于外国文学一样都不能割舍，所以转而投向文学理论，想一把抓，结果学得有些晕头转向，而且作品也没有心思去读了，与文学好象渐行渐远，颇有背道而驰之感，也许只有在作品解读中我才能找到一种对文学的感觉。而且，我觉得在课堂拿理论的话题与学生互动也显得勉为其难，对于我们中文类的学科越来越边缘化的小学教育专业来说，想学生具备一定的理论积累从而与我们对话多少是一种奢望。但是作品解读就不同了。有时候，一个不经意的例子引起学生热烈的讨论后所带来活跃的课堂氛围是很令人欢欣鼓舞的。因为对于作品，学生就容易切入，而且每个人的接受角度都有一定的价值，对话也就显得有意义，而且在讨论中，我们还往往会有意料之外的收获。总之，在围绕作品展开的对话中，学生不但可以感受到教师的艺术敏感力，还可能和教师形成审美共识，更会体会到相关理论高屋建瓴的穿透力。

二、关于学以致用

如果说作品解读，可以使学生感受理论的用武之地，从而产生对理论内在的兴趣的话；那么对于学生来说，文学理论与专业方向的结合点应该可以带来他们外在的学习动力。这是我一点粗浅的想法。中文专业的文学概论教学也许可以“我”为中心，从学理上展开；但小教专业也许只能以“他”为中心。由于我的学生基本上都是小教专业，在讲授基本理论之余，我尝试把接受论与中小学的阅读教学相联系，创作论和中小学作文教学相联系。就实际效果来说，针对当前中小学语文教学的一些误区，联系相应的文学理论探讨教学改革的措施，还是能够激发起学生的学习兴趣的。当然我们文学概论课没有必要追求面面俱到，因为有些问题不是文学概论这门基础课所能解决的。比如叙事文学的解读，我们也许可以根据叙述学的相关理论举例讲得头头是道，但让学生学以致用，却是勉为其难的。

三、关于教材处理与作业

王老师认为在教材的使用上，大的框架宜以教材为主，具体的知识点则要发挥个人的心得体会。王老师和陈老师的示范课就很好的体现了这一点。确实，我们一方面要从学理的角度吃透教材，另一方面，我们还要从教学的角度尽量做到深入浅出。我曾经根据课本的说法把典型形象的审美特征整合为五个统一，特别是把“典型环境中的典型人物”的那一部分也整合为“典型环境与典型人物的统一”，感觉还不错。我又曾经在文学本质论（陈老师称之为属性论，这点我很赞同）中把文学解释为：“文学是以对生活的体验为基础的作者与读者围绕语言作品进行的一种审美活动；又是以这种审美活动为中心的一种社会意识形态，一种人类精神探索的文化载体，商品社会的一种文化产业。”前者是围绕文学活动四要素提出来的关于文学的“最小公约数”，据此来探讨文学的体验特性、审美特性、语言特性、交往特性；后三者是根据当代文学三大版块（即官方文学、通俗文学与精英文学）提出来的，因为都符合一定的文学惯例，都融入了文学大家庭。当然，我这个说法还有一些问题未整合好，而且我怀疑是不是走得太远了，希望看到文章的老师同学批评。

关于作业，王老师确实有一套，利用网络平台，以作业促进大家一起交流、提高学习的兴趣和参与的乐趣，真是哈贝马斯所谓的理想语境。这让我收益匪浅，接下来就要依葫芦画瓢，着手折腾一个网络平台，好好地促进一下下学期的教学。

四、其他

两位老师的示范课，让我们从学理到教法全方位地感受文艺学重镇北师大的教学风范，受用不尽。有些地方和我的想法暗合，使人倍感亲切，比如用赵丽华诗歌来说明文学惯例。有些地方讲解引人入胜，比如牛汉的《夜》，我第一印象并不怎么样，但经过王老师层层深入的细读，终于茅塞顿开。不过，也许是诗无达诂，个别作品的理解我有点自己的看法，敬请批评指正。比如对韩东诗歌《你见过大海》的理解，王老师在说明这首诗消解了大海神话、大海形象的同时，还指出“这首诗表明了亲见的大海的可靠性和想象的大海的虚幻性。”（见王一川《文学理论讲演录》Ｐ61）这是不是一种过度解读呢？在我看来，这首诗和《有关大雁塔》一样，它的意义就在于解构。这些诗歌是韩东早期的作品，作为一个哲学系的大学生，他当时能做这样的解构就已经很了不起了。事实上，在所谓“打倒北岛，PASS舒婷”的第三代诗歌运动中这两首诗歌就是以它们的标志性意味而被当代文学史一再引用的。正如韩东的那首《聚会》（一个熟人／在一次熟悉的聚会中／熟练地哭泣／等待另一个人／娴熟的抚慰／这些事都能熟能生巧／你为什么不／熟视无睹？），正如苏轼那首《琴诗》，只是观念的传达，而非形象的塑造，从诗歌的审美角度来说，我感觉这首诗还是比较粗糙的。“人人都这样”那句话尤其粗暴。《有关大雁塔》我感觉好些，除了下面的句子：“也有有种的往下跳／在台阶上开一朵红花／那就真的成了英雄——／当代英雄”。这些调侃的话显得有点粗俗，删掉也不影响整体意思。韩东我一直印象挺好，不过昨天再翻翻他早期的作品，感觉他有些诗歌特别是表达观念的诗还是比较粗糙（比如《你的手》中居然有“轻微的重量／逐渐变成了铅”这种汪国真式的句子），相对来讲，有些比较感性的诗句就写得不错了，比如《逝去的诗人》，比如《明月降临》。

同样，海子的“面朝大海，春暖花开”这句话是不是悖论呢？我觉得从总体上把握这首诗语境中的反讽和悖论就可以了，没有必要复原生活画面，把“面朝大海，春暖花开”解释为悖论性的语句，——事实上，“面朝大海，春暖花开”这种情景只是想象之辞啊。这些年轻的诗人，他们的诗思未必那么缜密、那么理性化，毕竟他们和“无一字无来历”的杜甫不同。呵呵，我老是用我的小人之心，怀疑学者们作过度解读。班门弄斧，贻笑大方了。

最后，感谢王老师、陈老师！感谢全国高校教师网络培训中心！感谢在论坛上交流的各位同学！我将好好地消化这次培训的内容，并以这次培训作为契机，努力进取！