椭 圆
知识点
一.椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};
这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(时为线段,无轨迹)。
2.标准方程:
①焦点在x轴上: (a>b>0); 焦点F( )
②焦点在y轴上: (a>b>0); 焦点F( )
注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;
②两种标准方程可用一般形式表示: 或者 mx2+ny2=1
二.椭圆的简单几何性质:
1.范围
(1)椭圆(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b
(2)椭圆(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
(1)椭圆的顶点:A1( ),A2( ),B1( ),B2( )
(2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 ,短轴长等于 ,a和b分别叫做椭圆的 和 。
4.离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即 称为椭圆的离心率,
记作e(),
是圆;
e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;
注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
5.a、 b 、c三者之间的关系为
公式:
(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。()
①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:
②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:
椭 圆
知识点
一.椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};
这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(时为线段,无轨迹)。
2.标准方程:
①焦点在x轴上:(a>b>0); 焦点F(±c,0)
②焦点在y轴上:(a>b>0); 焦点F(0, ±c)
注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;
②两种标准方程可用一般形式表示: 或者 mx2+ny2=1
二.椭圆的简单几何性质:
1.范围
(1)椭圆(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b
(2)椭圆(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
(2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4.离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,
记作e(),
是圆;
e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;
注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
5.a、 b 、c三者之间的关系为
公式:
(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。()
①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:
②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:
6.椭圆的的内外部
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
例题讲解:
一.椭圆定义:
1.方程化简的结果是
2.若的两个顶点,的周长为,则顶点的轨迹方程是
3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为
二.利用标准方程确定参数
1.若方程+=1(1)表示圆,则实数k的取值是 .
(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 .
(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是 .
(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是 .
2.椭圆的长轴长等于 ,短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ,
3.椭圆的焦距为,则= 。
4.椭圆的一个焦点是,那么 。
三.待定系数法求椭圆标准方程
1.若椭圆经过点,,则该椭圆的标准方程为 。
2.焦点在坐标轴上,且,的椭圆的标准方程为
3.焦点在轴上,,椭圆的标准方程为
4. 已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
变式:求与椭圆共焦点,且过点的椭圆方程。
四.焦点三角形
1.椭圆的焦点为、,是椭圆过焦点的弦,则的周长是 。
2.设,为椭圆的焦点,为椭圆上的任一点,则的周长是多少?的面积的最大值是多少?
3.设点是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积为 。
变式:已知椭圆,焦点为、,是椭圆上一点. 若,
求的面积.
五.离心率的有关问题
1.椭圆的离心率为,则
2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率为
3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为
4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率。
5.在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 .
最值问题:
1.椭圆两焦点为F1、F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值为_____,最小值为_____
2、椭圆两焦点为F1、F2,A(3,1)点P在椭圆上,则|PF1|+|PA|的最大值为_____,最小值为 ___
3、已知椭圆,A(1,0),P为椭圆上任意一点,求|PA|的最大值 最小值 。
4.设F是椭圆+=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 .
第二篇:椭圆知识点总结学生
椭 圆
知识点总结:
一.椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};
这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(时为线段,无轨迹)。
2.标准方程:
①焦点在x轴上:(a>b>0); 焦点F(±c,0)
②焦点在y轴上:(a>b>0); 焦点F(0, ±c)
注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;
②两种标准方程可用一般形式表示: 或者 mx2+ny2=1
二.椭圆的简单几何性质:
1.范围
(1)椭圆(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b
(2)椭圆(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
(2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4.离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,
记作e(),
是圆;e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆; e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;
注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
小结:基本元素
(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量), 特征三角形
(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点)
(3)基本线:对称轴(共两条线)
5.椭圆的的内外部
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
6.几何性质
(1) 最大角 (2)最大距离,最小距离
例题讲解:
一.椭圆定义:
1.方程化简的结果是
2.若的两个顶点,的周长为,则顶点的轨迹方程是
3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为
二.利用标准方程确定参数
1.若方程+=1
(1)表示圆,则实数k的取值是 .
(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 .
(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是 .
(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是 .
2.椭圆的长轴长等于 ,短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ,
3.椭圆的焦距为,则= 。
4.椭圆的一个焦点是,那么 。
三.待定系数法求椭圆标准方程
1.若椭圆经过点,,则该椭圆的标准方程为 。
2.焦点在坐标轴上,且,的椭圆的标准方程为
3.焦点在轴上,,椭圆的标准方程为
4. 已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
变式:求与椭圆共焦点,且过点的椭圆方程。
四.焦点三角形
1.椭圆的焦点为、,是椭圆过焦点的弦,则的周长是 。
2.设,为椭圆的焦点,为椭圆上的任一点,则的周长是多少?的面积的最大值是多少?
3.设点是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积为 。
变式:已知椭圆,焦点为、,是椭圆上一点. 若,
求的面积.
五.离心率的有关问题
1.椭圆的离心率为,则
2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率为
3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为
4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率。
5.在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 .