椭圆知识点总结

时间:2024.3.27

  椭    圆

  知识点

一.椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};

这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

时为线段无轨迹)。

2.标准方程: 

①焦点在x轴上:                     (a>b>0); 焦点F(        )

②焦点在y轴上:                     (a>b>0); 焦点F(        )   

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示: 或者  mx2+ny2=1  

二.椭圆的简单几何性质:

  1.范围

  (1)椭圆(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

  (2)椭圆(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

   2.对称性

       椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

 3.顶点

  (1)椭圆的顶点:A1(       ),A2(      ),B1(       ),B2(         )

  (2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于         ,短轴长等于             ,a和b分别叫做椭圆的                      

 4.离心率

  (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即       称为椭圆的离心率,
记作e(),     

     是圆;

e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;

注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。

5.a、 b 、c三者之间的关系为

公式:                

(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。(

①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:            

②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:           

  椭    圆

  知识点

一.椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};

这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

时为线段无轨迹)。

2.标准方程: 

①焦点在x轴上:(a>b>0); 焦点F(±c,0)

②焦点在y轴上:(a>b>0); 焦点F(0,  ±c)   

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示: 或者  mx2+ny2=1  

二.椭圆的简单几何性质:

  1.范围

  (1)椭圆(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

  (2)椭圆(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

   2.对称性

       椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

 3.顶点

  (1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

  (2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

  4.离心率

  (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,
记作e(),     

     是圆;

e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;

注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。

5.a、 b 、c三者之间的关系为

公式:

(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。(

①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:

②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:

6.椭圆的的内外部

(1)点在椭圆的内部.

(2)点在椭圆的外部.

例题讲解:

一.椭圆定义:

1.方程化简的结果是         

2.若的两个顶点的周长为,则顶点的轨迹方程是         

3.已知椭圆6ec8aac122bd4f6e=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为            

二.利用标准方程确定参数

1.若方程+=1(1)表示圆,则实数k的取值是                     .

(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是                     .

(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是                     .

(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是                     .

2.椭圆的长轴长等于       ,短轴长等于       , 顶点坐标是                            ,焦点的坐标是                   ,焦距是        ,离心率等于       ,

3.椭圆的焦距为,则=                

4.椭圆的一个焦点是,那么    

三.待定系数法求椭圆标准方程

1.若椭圆经过点,则该椭圆的标准方程为       

2.焦点在坐标轴上,且的椭圆的标准方程为         

3.焦点在轴上,椭圆的标准方程为         

4. 已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以为焦点且过点P的椭圆的标准方程;

变式:求与椭圆共焦点,且过点的椭圆方程。

四.焦点三角形

1.椭圆的焦点为是椭圆过焦点的弦,则的周长是   

2.设为椭圆的焦点,为椭圆上的任一点,则的周长是多少?的面积的最大值是多少?

3.设点是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积为        

变式:已知椭圆,焦点为是椭圆上一点. 若

的面积.

五.离心率的有关问题

1.椭圆的离心率为,则           

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率          

3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为              

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率。

5.在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率          

最值问题:

1.椭圆两焦点为F1、F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值为_____,最小值为_____

2、椭圆两焦点为F1、F2,A(3,1)点P在椭圆上,则|PF1|+|PA|的最大值为_____,最小值为 ___

3、已知椭圆,A(1,0),P为椭圆上任意一点,求|PA|的最大值        最小值       

4.设F是椭圆=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标  最小值           .


第二篇:椭圆知识点总结学生


  椭    圆

  知识点总结:

一.椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};

这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

时为线段无轨迹)。

2.标准方程: 

①焦点在x轴上:(a>b>0); 焦点F(±c,0)

②焦点在y轴上:(a>b>0); 焦点F(0,  ±c)   

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示: 或者  mx2+ny2=1  

二.椭圆的简单几何性质:

  1.范围

  (1)椭圆(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

  (2)椭圆(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

 2.对称性

       椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

  (1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

  (2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

  4.离心率

  (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,
记作e(),     

     是圆;e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆; e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;

注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。

小结:基本元素

(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量),  特征三角形

(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点)

(3)基本线:对称轴(共两条线)

5.椭圆的的内外部

(1)点在椭圆的内部.

(2)点在椭圆的外部.

6.几何性质

(1) 最大角 (2)最大距离,最小距离

例题讲解:

一.椭圆定义:

1.方程化简的结果是         

2.若的两个顶点的周长为,则顶点的轨迹方程是         

3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为            

二.利用标准方程确定参数

1.若方程+=1

(1)表示圆,则实数k的取值是                     .

(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是                     .

(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是                     .

(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是                     .

2.椭圆的长轴长等于       ,短轴长等于       , 顶点坐标是                            ,焦点的坐标是                   ,焦距是        ,离心率等于       ,

3.椭圆的焦距为,则=                

4.椭圆的一个焦点是,那么    

三.待定系数法求椭圆标准方程

1.若椭圆经过点,则该椭圆的标准方程为       

2.焦点在坐标轴上,且的椭圆的标准方程为         

3.焦点在轴上,椭圆的标准方程为       

4. 已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以为焦点且过点P的椭圆的标准方程;

变式:求与椭圆共焦点,且过点的椭圆方程。

四.焦点三角形

1.椭圆的焦点为是椭圆过焦点的弦,则的周长是   

2.设为椭圆的焦点,为椭圆上的任一点,则的周长是多少?的面积的最大值是多少?

3.设点是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积为        

变式:已知椭圆,焦点为是椭圆上一点. 若

的面积.

五.离心率的有关问题

1.椭圆的离心率为,则           

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率          

3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为           

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率。

5.在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率          

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