抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0
关于抛物线知识点的补充：
1、定义：
2、几个概念：
① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；
② 焦点的非零坐标是一次项系数的14
③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p
3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，
为垂足，求证：
（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB； （4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN； （5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p2，x1
1x2?4p2；
N为垂足，BD?l，AH?l，D，H
（6）1?1?2； |FA||FB|p
（7）A,O,D三点在一条直线上
（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|2?|FA|?|FB|； 2
关于双曲线知识点的补充：
1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。 e(e?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。
注意： |PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。 2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；
2、 双曲线的标准方程
x2y2y2x2
①焦点在x轴上的方程：2?2?1（a>0，b>0）； ②焦点在y轴上的方程：2?2?1 （a>0，b>0）； abab
③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2-ny2=1(m〃n<0)；
④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.
3、双曲线的渐近线： ①求双曲线x
a22?y?1的渐近线，可令其右边的2b21为0，即得x2a2?y
b22x2y2?0，因式分解得到。②与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是ab
x2y2
???； a2b2
4、等轴双曲线： 为x2?y2?t2，其离心率为2
5、共轭双曲线：
6、几个概念：
b22b2?x2y2
22③等轴双曲线x-y=? (?∈R,?≠0)：渐近线是y=±x,2 ；④2?2?1焦点三角形的面积：b2cotca2ab
(其中∠F1PF2=?)；
⑤弦长公式：
|AB|=c2=a2-b2,而在双曲线中:c2=a2+b2,
8、双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题：
①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法?是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法?是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。
③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式再得出参数的变化范围；第二种是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 关于椭圆知识点的补充： 1、椭圆的标准方程：
x2y2y2x2
① 焦点在x轴上的方程：2?2?1 （a>b>0）； ②焦点在y轴上的方程：2?2?1 （a>b>0）；
abab
?x?acos?
③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0,n>0)； ④、参数方程：?
?y?bsin?2、椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
|PF1|
e(0?e?1)椭圆的焦半径公式：|PF1|=a+ex0,
d|PF2|=a-ex0)其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意： 2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹；
b22b2?x2y2
3、 焦准距：、通径：、点与椭圆的位置关系； 6、2?2?1焦点三角形的面积：b2tan (其中∠F1PF2=?)；
ca2ab7、弦长公式：
8、 椭圆在点P（x0，y0)处的切线方程：
x0xy0y
?2?1; 2ab
9、直线与椭圆的位置关系：
凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有较强的综合应用知识解题的能力。 10、椭圆中的定点、定值及参数的取值范围问题：
①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法?是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法?是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。
③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；第二种?是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围
椭圆图象及几何性质：
第二篇：解析几何综合题解题方法总结 3600字
解析几何综合题解题方法总结
富源县第一中学
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.
一、判别式
y2x2
??1，直线l过点A2,0，斜率为k，当0?k?1时，案例1 已知双曲线C:22?
双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式??0. 由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
简解：设点M(x,2?x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为： kx?2?x2?2k
k?12?2 ?0?k?1? ???
于是，问题即可转化为如上关于x的方程.
由于0?k?1，所以2?x2?x?kx，从而有
kx?2?x2?2k??kx?2?x2?2k.
于是关于x的方程???
??kx?2?x2?2k?2(k2?1)
?2?x22?(2(k2?1)?2k?kx)2,? ??
2??2(k?1)?2k?kx?0
?k2?1x2?2k2(k2?1)?2kx?? ??2?2(k?1)?2k?kx?0.?????2(k
?2(k2?1)?2k?2?0,?2 由0?k?1可知： 方程?k2?1x2?2k2(k2?1)?2kx??2?1)?2k?2?0的二根同正，故?2
2(k2?1)?2k?kx?0恒成立，于是???等价于
?k
2?1x?2k2(k?1)?2kx??22?2(k2?1)?2k?2?0. ?2由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式??0，就可解得 k?25. 5
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
2 判别式与韦达定理
例2 .已知椭圆C:x2?2y2?8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使APAQ??，求动点Q的轨迹所在曲线的方程. PBQB
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。 2
其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目APAQ4(xA?xB)?2xAxB??条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到x?，PBQB8?(xA?xB)
要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到x?f?k?之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到
y?1，直接代入x?f?k?即可x?4关于x,y的方程（不含k），则可由y?k(x?4)?1解得k?
得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设A?x1,y1?,B(x2，y2),Q(x,y)，则由4?x1x?x1APAQ??可得：， ?PBQBx2?4x2?x
解之得：x?4(x1?x2)?2x1x2 （1） 8?(x1?x2)
设直线AB的方程为：y?k(x?4)?1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x的一元二次方程：
?2k
2?1x2?4k(1?4k)x?2(1?4k)2?8?0 （2）
3 ?
4k(4k?1)?x?x?,12??2k2?1∴ ? 22(1?4k)?8?xx?.122?2k?1?
代入（1），化简得：x?4k?3. (3) k?2
与y?k(x?4)?1联立，消去k得：?2x?y?4?(x?4)?0.
在（2）中，由???64k2?64k?24?0，解得
16?216?2?x?. 99
16?216?2）. ?x?992?2?，结合（3）可?k?44求得 故知点Q的轨迹方程为：2x?y?4?0 （
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
3 求根公式
APx2y2
??1顺次交于A、B两点，试求例3. 设直线l过点P（0，3），和椭圆的PB94
取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：APx=?A，但从此后却一筹莫展, 问题的PBxB
根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
APx分析1: =?A已经是一个关系式，但由于有两个变量xA,xB，PBxB
同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
4
简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得AP1??; PB5
当l与x轴不垂直时，设A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得9k?4x?54kx?45?0，解之得 x1,2?2?2?27k?69k2?5?. 29k?4
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?0的情形.
?27k?69k2?5?27k?69k2?5当k?0时，x1?，x2?， 9k2?49k2?4
x1?9k?29k2?518k18AP所以 =1?=1???=PBx29k?29k2?59k?29k2?59?29?由 ??(?54k)2?1809k2?4?0, 解得 k2?
所以 ?1?1?. k2??5， 918
9?29?k21??， 5
综上 ?1?
AP1??. PB5
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于xAP原因找到后，解决问题的方法自然??1不是关于x1,x2的对称关系式. PBx2
也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.
5
简解2：设直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得
?9k
则2?4x2?54kx?45?0 （*） ??54k?x?x?,22?x11324k2?19k?4. ，令??，则，???2??2?45k?20x2?xx?45.12?9k2?4?
5， 9在（*）中，由判别式??0,可得 k2?
324k236?从而有 4?， 45k2?205
所以 4???
解得 1??2?36， 51???5. 5
1结合0???1得???1. 5
AP1??. 综上，?1?PB5
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
6
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