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考研数学：微积分考点总结
一、历年微积分考试命题特点
微积分复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。微积分一共74分，填空、选择占32分。第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习，选择填空题很重要。几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。二重积分就是要分成两个累次积分。三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。
二、微积分中三大主要函数
微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。
三、微积分复习方法
微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。
还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。应用部分包括证明推断的内容。
总的来说，学好微积分，就是要掌握三个基本函数、三大运算，所以广大研友们要在这些方面多下功夫！
小提示：
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2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！
第二篇：考试点 白云霄、桑园20xx考研数学《微积分》考点精讲与过关习题(数三) 39600字
考点精讲
目 录
第一章 函数???????????????????????????????????（１）
第二章 一元微分学????????????????????????????????（３）
第三章 一元函数积分学?????????????????????????????（２８）
第四章 多元函数微分学?????????????????????????????（４５）
第五章 二重积分????????????????????????????????（５３）
第六章 微分方程????????????????????????????????（５８）
第七章 无穷级数????????????????????????????????（６６）
《微积分》考点精讲
第一章 函 数
一、函数的定义：
１．函数的两大属性：定义域，对应法则
【例１】 下列函数是否相同
（１）ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１－ｘ２），ｇ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）＋ｌｎ（１－ｘ）
（２）ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ２－１），ｇ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）＋ｌｎ（ｘ－１）
解 （１）定义域均为－１＜ｘ＜１，对应法则相同，ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）；
（２）ｆ（ｘ）的定义域为｜ｘ｜＞１，ｇ（ｘ）的定义域为ｘ＞１，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）不同．２．函数的解析式
【例２】 （已知解析式）
（１）设ｆ（ｘ）ｘ
１＋ｘ，求ｆ（１），１
ｘ），ｆ（ｆ（ｘ））
解 ｆ（１）１１
１＋１２
１
１
ｘ）ｘ１
１１１＋ｘ
ｘ
ｘ
ｆ（ｆ（ｘ））ｆ（ｘ）１＋ｘｘ
１＋ｆ（ｘ）１ｘ１＋２ｘ
１＋ｘ
（２） 设ｆ（ｘ）ｘ求ｆ（ｆ（ｘ）），ｆ［ｆ…ｆ（ｘ）＋ｘ］
{ｎ
ｘ
解 ｆ（ｆ（ｘ））ｆ（ｘ）＋ｘｘ
＋ｆ（ｘ）１ｘ＋２１＋ｘ２ｘ归纳得：ｆ［ｆ…ｆ（ｘ）］ｘ
＋ｎｘ【例３】 （未知解析式）
（１）ｆ（ｅｘ）＝ｘ＋１，求ｆ（ｘ）．
解 令ｅｘ＝ｔ ｘ＝ｌｎｔ ｆ（ｔ）＝ｌｎｔ＋１
即ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ ｘ＞０
（２）ｆ（ｘ１
ｘ）＝ｘ２１
ｘ２，ｆ（ｘ）＝
解 ｆ（ｘ１
ｘ）＝（ｘ１
ｘ）２－２
—１—
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２∴ｆ（ｘ）＝ｘ－２ ｜ｘ｜≥２
二、函数的性质
１．奇偶性
ｘ－ｘ），ｅ－ｅ，ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）（偶），几种常见的奇、偶函数：ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ，ｌｎ（ｘ＋＋ｘ，ｙ：ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）（奇）ｘ
【例４】 研究ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋＋ｘ）的奇偶性
１解 ｆ（－ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋＋ｘ）＝ｌ＝－ｆ（ｘ）ｘ＋＋ｘ
∴ｆ（ｘ）为奇函数．
２．有界性
２２ｘｘ２，闭区间上的连续函数，有极限与有界几种常见的有界函数：ｓｉｎｘ，ａｒｃｓｉｎｘ，ｘ－［ｘ］２２１＋ｘｘ＋ｙ
的关系等
【例】 设ｆ（ｘ）∈Ｃ（－∞，＋∞），且ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，证明：ｆ（ｘ）有界ｘ→∞
证明 ∵ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ ∴Ｍ Ｘ＞０当｜ｘ｜＞Ｘ１＞０ｘ→∞
｜ｆ（ｘ）｜≤Ｍ１
当｜ｘ｜（ｘ）在［－Ｘ，Ｘ］连续，使≤Ｘ时ｆＭ２＞０
｜ｆ（ｘ）｜≤Ｍ２
以Ｍ＝ｍａｘ｛Ｍ，Ｍ｝ ｘ－∞，∈（∞）１２
｜ｆ（ｘ）｜≤Ｍ
三、几种特殊函数
（１）ｆ（ｘ）＝［ｘ］
（２）ｆ（ｘ）＝ｓｇｎｘ：ｘｓｇｎｘ与的关系
（３）分段函数
（４）复合函数
ｘ２ｅ，ｘｘ＋１，ｘ＞０≥０【例５】 设ｆ（ｘ）＝，ｇ（ｘ）＝２ｘｘ，ｘ＜０ｅ，ｘ≤０{{
求ｆ（ｇ（ｘ））
解 ｆ（ｇ（ｘ）＝{ｘ＋１ ｘ＞０ｅ
ｅｅｘ２ｘ≤０
ｘｘ＋２，ｘ＜０ｅ，ｘ＜１例６ 设ｆ（ｘ）＝，ｇ（ｘ）＝求ｆ（ｇ（ｘ））２ｘ，ｘｘ－１，ｘ≥１≥０{{
ｘ＋２ ｘ＜－１?ｅ，
?，－１≤ｘ＜０?ｘ＋２解 ｆ（ｇ（ｘ））＝?２ｘ－１ｅ，０≤ｘ＜??
２?ｘ－１，ｘ≥—２—
《微积分》考点精讲
第二章
一元微分学
一、求导数
１．导数公式
２．求导类型
（１）利用运算法则求导
【例１】 求下列函数的导数（ｆ（ｘ）可导）
ｆ（ｘ）ｘ２２ｘ２＋ｘ＋２；ｘｅ；ｘｆ（ｘ）ｘ
ｘ２２ｘ２解 （２＋ｘ＋２）′＝２ｌｎ＋２ｘ
ｘｘ（ｘｅ）′＝（ｘ＋１）ｅ
（ｘｆ（ｘ））′＝ｆ（ｘ）＋ｘｆ′（ｘ）
ｆ（ｘ）ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ））′＝２ｘｘ
已知ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋２０１３），ｆ′（０）＝２０１３！（３）复合函数的导数
２ｆｘ(ｅ)·ｅｘ的导数【例２】 求复合函数ｙ＝［ａｒｃｔａｎ］，ｙ＝ｆ()
２ａｒｃｔａａｒｃｔａ２，ｙ′解 ｙ＝（ａｒｃｔａ１＋ｘ）１＋ｘ）ｘｆ（ｘ）ｘｘｆ（ｘ）ｘｆ（ｘ）ｙ＝ｆ（ｅ）·ｅ，ｙ′＝ｆ′（ｅ）ｅｅ＋ｆ（ｅ）·ｅｆ′（ｘ）
１１）＝ｓｉｎｘ，求ｆｘ），ｆ′（ｆ（ｘ）），［ｆ（ｆ（ｘ））］′【例３】 ２２
—３—
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解 由１
２ｘ）＝２ｓｉｎｘ得ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ，ｆ′（ｘ）＝２ｃｏｓ２ｘ
ｆ１
２ｘ）＝２ｃｏｓｘ，ｆ′（ｆ（ｘ））＝２ｃｏｓ（２ｓｉｎ２ｘ）
［ｆ（ｆ（ｘ））］′＝ｆ′（ｆ（ｘ）），ｆ′（ｘ）＝２ｃｏｓ（２ｓｉｎ２ｘ）·２ｃｏｓ２ｘ
＝４ｃｏｓ（２ｓｉｎ２ｘ）·ｃｏｓ２ｘ
同学们要大量练习，做到熟能生巧
（４）参数方程所确定的函数的导数
２
例４ 设{ｘ＝ｌｎ１(＋ｔ２)
ｙ＝ｔ－ａｒｃｔａｎｔ，求ｄｙｄｙ
ｄｘｄｘ２．
ｄｙ１１
解 ｄｙｄｔ１＋２ｔ
ｄｘｔ
ｄｘ２ｔ２
ｄｔ１＋ｔ２
ｄｙ′１
ｄ２ｙｄｔ２１＋ｔ２ｄｘ２ｄｘ２ｔ４ｔ
ｄｔ１＋ｔ２
【例５】 设在极坐标下ρ＝２θ，求ｄｙ
ｄｘ
解 {ｘ＝ρｃｏｓθ＝２θｃｏｓθ
ｙ＝ρｓｉｎθ＝２θｓｉｎθ
ｄｙｄｙｄθｓｉｎ＋ｃｏｓ
ｄｘθθθ
ｄｘｃｏｓθ－θｓｉｎθ
ｄθ
（５）隐函数求导
【例６】 设ｅｙ－ｘｙ＝１，求ｙ′（０）
解 两边对ｘ求导
ｅｙｙ′－ｙ－ｘｙ′＝０
ｙ′ｙ
ｅｙ－ｘ ｙ′（０）＝０
【例７】 设ｙ＝ｔａｎ（ｘ＋ｙ），求ｙ″
解 两边对ｘ求导
ｙ′＝ｓｃｅ２（ｘ＋ｙ）（１＋ｙ′），ｙ′＝－ｃｓｃ２（ｘ＋ｙ）
ｙ″＝２ｃｓｃ２（ｘ＋ｙ）ｃｏｔ（ｘ＋ｙ）·（１＋ｙ′）
＝２ｃｓｃ２（ｘ＋ｙ）ｃｏｔ（ｘ＋ｙ）·（１－ｃｓｃ２ｘ＋ｙ）
【例８】 设ｙ＝ｓｉｎｘ·ｘ３·－ｘ，求ｙ′
解 两边取对数 ｌｎｙ１
２（ｌｎｓｉｎｘ＋３ｌｎｘ１
２ｌｎ１－ｘ２）
—４—
ｙ′
ｙ１
２ｃｏｓｘ３ｘ
ｓｉｎｘｘ１－ｘ２）
ｙ′＝ｓｉｎｘ·ｘ３·－ｘ·１ｃｏｓｘ３ｘ
２ｓｉｎｘｘ１－ｘ２）
（６）幂指函数的导数
【例９】 ｙ＝ｘｘ，求ｄｙ
ｄｘ
解 ｙ＝ｅｘｌｎｘ ｙ′＝ｘｘ（ｌｎｘ＋１）
【例１０】 设ｙ＝ｘ２
１＋ｘｘ，求ｙ′
解 ｙ＝ｅｘｘ２
＝ｅｘ（２ｌｎｘ－ｌｎ１＋ｘ）
ｙ′＝ｘ２ｘ２１
１＋ｘ）ｘ［ｌ２
１＋ｘ２＋ｘｘ１＋ｘ）］
（７）高阶导数
常用公式：
１．（ｘｎ）（ｎ）＝ｎ！，（ｘｎ）（ｍ）＝０（ｍ＞ｎ）．（ｍ，ｎ均为自然数）２．（ｅｘ）（ｎ）＝ｅｘ，（ａｘ）（ｎ）＝？，（ｅａｘ）（ｎ）＝？解 （ａｘ）（ｎ）＝ａｘｌｎｎａ （ｅａｘ）（ｎ）＝ｅａｘａ３．（ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎ(ｘｎπ)（ｎ）
２，（ｃｏｓｘ）＝ｃｏｓ(ｘｎπ)（ｎ）
２，（ｓｉｎ（ａｘ＋ｂ））＝？
解 ［（ｓｉｎ（ａｘ＋ｂ））］（ｎ）＝ａｎｓｉｎ(ａｘ＋ｂｎπ
２)
４．(１（ｎ）（－１）ｎｎ！
ａ＋ｘ)（ａ＋ｘ）ｎ＋１
ｎ
５．（ｌｎ（１＋ｘ））（ｎ）＝(１（－１）（－１）ｎ－１（ｎ－１）！
１＋ｘ)（１＋ｘ）ｎ
【例１１】 （ｓｉｎ（２ｘ＋３））（１０），（ｃｏｓ２ｘ）（２０）(１（５）１（４）
２ｘ＋１)(ｘ２－２ｘ－３)
解 ［ｓｉｎ（２ｘ＋３）］（１０）＝２１０ｓｉｎ（２ｘ＋３＋５π）＝－２１０ｓｉｎ（２ｘ＋３）
（２０）(２
（ｃｏｓ２ｘ）＝１＋ｃｏｓ２ｘ（０）
２)１
２２０ｃｏｓ（２ｘ＋１０π）＝２１９ｃｏｓ２ｘ
(１
＋１)（５）５－１）５５！
２ｘ＝２（
（２ｘ＋１）６
(１（４）
ｘ２－２ｘ－３)＝１
（ｘ－３）（ｘ＋１）］（４）＝１(１４ｘ－３１)（）
ｘ＋１］４
１(４！４！
４（ｘ－３）５（ｘ＋１）５)
＝３！(１
（ｘ－３）５１（ｘ＋１）５)
—５—《微积分》考点精讲
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（ｎ）ｋ（）（ｋ）６．（ｕ·ｖ）＝∑ｃｕｎ－ｋｖｎｋ＝０
２－（ｎ）【例１２】 ｙ＝ｘｅｘ，求ｙ
（ｎ）ｋ－ｘ（）２（）解 ｙ＝∑Ｃ（ｅ）ｎ－ｋ（ｘ）ｋ
ｎｋ＝０
０－ｘ（）２１－ｘ（）２－ｘ（）＝Ｃ（ｅ）ｎｘ＋Ｃ（ｅ）ｎ－１·２ｘ＋Ｃ（ｅ）ｎ－２·２ｎｎｎ
０（ｎ）－２１（ｎ）－ｎ－２２－＝Ｃ（－１）ｅｘｘ＋Ｃ（－１）ｅｘ·（２ｘ）＋２（－１）Ｃｅｘ
ｎｎｎｎｎ
（８）积分上限函数的导数
ｄｘ１．（ｆ（ｔ）ｄｔ）′＝ｆ（ｘ），或ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）；ａｄｘａ∫ｘ∫
【例１３】 设φ（ｘ）＝
２′（ｘ）＝ｓｉｎｘ解 φｓｉｎｔｄｔ，求导数φ′（ｘ）．∫２１ｘ
设φ（ｘ）＝ｉｎｔｄｔ，求导数φ′（ｘ），．φ(π
２)１ｘ
ππ解 φ′（ｘ）＝－ｉｎｘ φ＝－ｓｉ２４()２．如果Ｆ（ｘ）＝∫０（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆ′（ｘ）＝
２ｘ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（（ｘ））′（ｘ）．φφ(∫ｆ)′０（ｘ）【例１４】求函数（ｘ）＝
解 φ′（ｘ）＝２ｘｓｉｎｘ
３．如果Ｆ（ｘ）＝ｓｉｔ的导数．∫０（ｔ）ｄｔ，则Ｆ′（ｘ）＝ｆ（（ｘ））′（ｘ）－ｆ（（ｘ））′（ｘ）．φφψψ∫ｆ（ｘ）ψ（ｘ）φ
ｄ２ｃｏｓｔｄｔ．【例１５】 求２ｄｘｘｄ
解 ２ｃｏｓｔｄｔ２ｃｏｓｘｘ４－２ｘｃｏｓｘｄｘ２４．Ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，Ｆ′（ｘ）∫０
ｘ
０ｘ．（ｘ－ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，求ｆ′（ｘ），ｆ″（ｘ）．∫【例１６】 设ｇ（ｘ）处处连续，ｆ（ｘ）＝
（ｔ）ｄｔ－解 ｆ（ｘ）＝ｘｇ０∫ｘｔｇ（ｔ）ｄｔ∫０
ｘ
０ｘｆ′（ｘ）＝ｇ（ｔ）ｄｔ＋ｘｇ（ｘ）－ｘｇ（ｘ）＝∫ｇ（ｔ）ｄｔ∫０
ｘｘｆ″（ｘ）＝ｇ（ｘ）５．Ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ－ｔ）ｄｔ，Ｆ′（ｘ）∫２
０．
解 令ｘ－ｔ＝ｕ Ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｕｄｕ∫２
０ｘ
２Ｆ′（ｘ）＝ｓｉｎｘ
—６—
《微积分》考点精讲
【例１７】 设ｆ（ｘ）连续，求函数Ｆ（ｘ）＝
ｆ（ｕ）ｄｕ∫解 令ｘｔ＝ｕ Ｆ（ｘ）０ｘｆ（ｘｔ）ｄｔ（ｘ＞０）的导数．∫０１
ｘ
ｘｆ（ｘ）－ｆ（ｕ）ｄｕ０Ｆ′（ｘ）２ｘ
６．设ｆ（ｘ）连续，Ｆ（ｘ）＝（ｔ）ｄｔ，Ｆ′（ｘ）ｘ－ｆ０
１１
０００１∫ｘ．１（ｘ）＝解 当ｘ≥１时 Ｆ（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘｆ（ｔ）ｄｔ－∫ｔｆ（ｔ）ｄｔ∫∫
ｆ（ｔ）ｄｔ∫０１Ｆ′（ｘ）＝
当ｘ（ｘ）＝≤０时 Ｆ∫０
ｘ１（ｔ－ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｔ）ｄｔ∫０１∫０１１ｔｆ（ｔ）ｄｔ－ｘｆ（ｔ）ｄｔ０∫１Ｆ′（ｘ）＝－当０＜ｘ＜１ Ｆ（ｘ）＝∫０
ｘ
０
ｘ（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘ（ｔ－ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ∫ｘ１１ｘｘ＝ｘｆ（ｔ）ｄｔ－Ｆ′（ｘ）＝
＝∫０ｘｔｆ（ｔ）ｄｔ＋∫ｔｆ（ｔ）ｄｔ－ｘｆ（ｔ）ｄｔ∫∫０１ｘｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘｆ（ｘ）－ｘｆ（ｘ）－ｘｆ（ｘ）－∫ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘｆ（ｘ）∫ｆ（ｔ）ｄｔ－∫ｆ（ｔ）ｄｔ∫０ｘ１
（９）函数在一点的导数
１２ｘｘｓｉ≠０ｘ【例１８】 已知ｆ（ｘ）＝，试讨论在ｘ＝０的可导性．０ｘ＝０
１２ｘｓｉ－０ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｘ＝ｌｉｍ＝０解 ｌｉｍｘｘｘｘ－０－０→０→０
∴ｆ′（０）＝０，ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导
ｘ ｘｅ≥０在ｘ＝０连续，试讨论在ｘ＝０的可导性．【例１９】 已知ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘｘ＜０
ｘｆ（ｘ）－ｆ（０）ｅ－１解 ｆ′（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１＋ｘ－０ｘｘｘ→０＋→０＋{{
ｆ′０）＝ｌｉｍ－（ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｃｏｓｘ－１＝ｌｉｍ＝０ｘ－０－０ｘｘ→０－→０－ｘ
∴ｆ′０）′０）≠ｆ＋（－（
ｆ（ｘ）在ｘ＝０处不可导
，ｙ，ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ＋ｙ），ｆ′（０）＝２，求ｆ（ｘ）【例２０】 已知ｘ
—７—
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解 ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）·ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ）－ｆ（０）ｆ（＝ｌｉｍ＝ｌｉｍｆ（ｘ）·ｘｘｘΔΔΔｘｘｘ→０→０→０ΔΔΔ
＝ｆ′（０）ｆ（ｘ）＝２ｆ（ｘ）
２∵ｆ（０）可以求出为１（ｆ（０）＝ｆ（０） ｆ（０）＝０或１ 如果ｆ（０）＝０ ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｆ（０）＝０
ｆ′（ｘ）＝０与ｆ′（０）＝２不符）
由ｆ′（ｘ）＝２ｆ（ｘ）可知ｆ（ｘ）＝ｅ２ｘ
（１０）分段函数的导数
【例２１】 已知ｆ（ｘ）＝{ｘ２ａｒｃｔａ１
ｘ ｘ≠０， 求ｆ′（ｘ）
０ ｘ＝０
解 ｘ≠０，ｆ′（ｘ）＝２ｘａｒｃｔａ１
ｘｘ２
１＋ｘ２
ｘ２ａｒｃｔａ１０ｘ＝０，ｆ′（０）＝ｌｘ－
ｘｉ→ｍ０ｘ－０＝ｌｘｉ→ｍ０ｘａｒｃｔａ１ｘ＝０
（１１）反函数的导数
【例２２】 用ｙ′，ｙ″，ｙ来表示ｄｘｄ２ｘｄ３ｘ
ｄｙｄｙ２ｄｙ３，
并化简微分方程ｄ２ｘｄｘ３
ｄｙ２＋（ｙ＋ｓｉｎｘ）ｄｙ）＝０
解 ｄｘ１
ｄｙｙ′
１１
ｄ２ｘｙ′ｙｘｙ″１ｙ″
ｄｙ２ｄｙ′
ｄｘ·ｄｄｙｙ′２·ｙ′ｙ′３
ｄ２ｘｄ(ｙ″)(ｙ″
ｙ′３ｄｙ′３)ｄｘｙｙ′３－３ｙ′２ｙ″２１ｙｙ′－３ｙ″２
ｄｙ３ｄｙｄｘｄｙ（ｙ′）６·ｙ′
ｙ′５
ｄ２ｘ
ｄｙ２＋（ｙ＋ｓｉｎｘ）(ｄｘ)３ｄｙ＝０可化简为
ｙ″
ｙ′３＋（ｙ＋ｓｉｎｘ）·１ｙ′３＝０
即ｙ″－ｙ＝ｓｉｎｘ
第一节 求极限
１．求极限的方法归类：
１）洛必达法则；
２）等价无穷小因子代换；
３）无穷小与有界量之积为无穷小
—８—
４）重要极限
５）导数的定义
６）夹逼准则
７）定积分的定义
８）单调有界原理
９）泰勒公式
２．多项式的极限
【例１】 求极限ｌｘｉ→ｘ＋３ｘ－３－１３ｘ２＋９；ｘｌ→ｉ３ｘ２－９；ｘｌ→ｉ１－１解 ｌｘｉ→ｍｘ＋３３ｘ２＋９１
３
ｌｉｍｘ－３
ｘ→３ｘ２－９＝ｌｘｉ→ｍ１３ｘ＋３１６
１１
ｌ－１２ｘｘｉ→ｍ１－１＝ｌｘｉ→ｍ１１３
２２
３ｘ?０ ｎ＜ｍ
ａｎｎ－１?０ｘ＋ａ１ｘ＋…＋ａｎ－１ｘ＋ａｎ?ａ０ｘｌｎ＝→ｉ∞ｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋…＋ｂ＝?ｍ－１ｘ＋ｂｍ?ｂｍ
?０
?∞ｎ＞ｍ
【例３】 求极限（３ｘ４＋２ｘ２＋ｘ＋６）３（２ｘ２－３）９
ｘｌ→ｉ∞（５ｘ６－４ｘ３＋７）４（ｘ３－１）２３
解 原式３·２９
５４
【例４】 ｌｘ→ｉｘ３＋２ｘ２－１２∞ｘ＋２＋ａｘ＋ｂｘ＝１，ａ＝？，ｂ＝？３２３解 ｌｘ→ｉｍｘ＋２ｘ－１∞ｘ＋２＋ａｘ２＋ｂｘ＝ｘｌ→ｉｍｘ＋２ｘ２－１＋（ａｘ２＋ｂｘ）（ｘ＋２）∞ｘ＋２＝１{１＋ａ＝０
２＋２ａ＋ｂ＝０ ∴ａ＝－１ ｂ＝０３．重要极限１ｘ１∞ｘｌ→ｉｍ∞(１ｘ)＝ｅ或ｌｘｉ→ｍ０（１＋ｘ＝ｅ（１型）
【例５】 求极限()(ｘ２＋ｘ＋１１
ｎｌ→ｉｍ∞１１ｎｎ；ｘｌ→ｉｍ１２＋２)２ｘ∞ｘ２；ｌｘｉ→ｍ０（ｃｏｓｘ解 ｌ(１
ｎ→ｉｍ∞１ｎ)－ｎ·ｎ＝ｅ－１
２＋１２ｘ１－（ｘ＋２）·２ｘ２＋１ｌｉｍ＝－（ｘ＋２）ｘ→∞(ｘｘ２＋２)２＋ｘｌ→ｉｍ１１∞(ｘ２＋２)２＝ｅ－２ｌｉｍ（ｃｏｓｘ１ｌｉｍ（ｃｏｓｘ１ｌｉｍ（１－ｓ１－ｓｉｎ２ｘ
ｘｘ→０＝２２ｘｘ→０＝ｉｎ２ｘ－ｓｉｎｘ·＝ｅ１２ｘｘ→０
—９—《微积分》考点精讲
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４．无穷小与有界量之积为无穷小
１２ｘｓｉ＋ｓｉｎｘｘｎｓｉｎｎ１，ｌｉ２，ｌｉｍ（【例６】 ｌｉｘ－［ｘ］）ｓｉｘｎｘｘ→０→∞ｎ＋→∞２ｎ－１ｘ
１２ｓｉｎｘｘｓｉ＋ｘｓｉｎｘ１＝ｌｉｍｌｉｍ＝０＋１＝１解 ｌｉｘｓｉ＋ｘｘｘｘｘ→０→０→０ｘ
ｎｓｉｎｎｎ＝ｌｉｍ２·ｓｉｎｎ＝０ｌｉ２ｎ→∞ｎ＋→∞ｎ＋２ｎ－１ｎ２ｎ－１
１１ｉｍ（０ｌｉｍ（ｘ－［ｘ］）ｓｉ＝ｌｘ－［ｘ］）·＝ｘｘｘｘ→∞→∞
５．等价无穷小因子代换
常用的几个等价代换公式：当ｘ→０时，
ｘｓｉｎｘ～ｘ，ｔａｎｘ～ｘ，ａｒｃｓｉｎｘ～ｘ，ａｒｃｔａｎｘ～ｘ，ｅ－１～ｘ，ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ
２ｘｘ（１＋ｘ）－ａ１～ｘ，１－ｃｏｓｘ，－１～ｘｌｎａα２α
＋ｓｉｎｘ－１ｔａｎｘ－ｓｉｎｘｅ－ｅ１１１ｎ，【例７】 （１）ｌｉ，（２）ｌｉ，（３）ｌｉｍｘｃｓｌ（４）ｌｉ２，ｘ→０２ｘｘ→０３ｓｉｎｘｘ→∞ｘ(ｘ)３ｘｘｘ→０ｘ
１－（５）ｌｉｘ→０＋（１－ｃｏｘ１２ｉｎｘ＋ｓｉｎｘ－１２１解 （１）ｌｉ＝ｌｉｍ２２ｘｘ２→０→０ｘｘｔａｎｘ－ｓｉｎｘｔａｎｘ（１－ｃｏｓｘ）＝ｌｉｍ（２）ｌｉ＝ｌｉｍ３３ｘｘｘ→０→０→０ｓｉｎｘｘｘ·１２２１３２ｘ
１１１１１ｃｓｌｌｉｍ·２＝１（３）ｌｉｍｘｎ２＝ｘ１ｘｘ→∞→∞ｘｘ
ｘ
３ｘｘ２ｘｅ－ｅ１２ｘｘｅ－＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝２（４）ｌｉｅ·ｘｘｘｘｘ→０→０→０ｘ()
１２ｘ２１－１－１－ｃｏｓｘ１１１（５）ｌｉ＝ｌｉｍ··＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ１２１２２２ｘｘ→０＋（→０＋→０＋→０＋１２１－ｃｏｘｘｘ１＋ｘｘｘ２２２
６．导数的定义
【例８】 已知函数ｆ（ｘ）在ｘ试问Ａ与ｆ′（ｘ）的关系？０点可导，０
ｆ（ｘ２ｘ）－ｆ（ｘ）Δ０＋０（１）Ａ＝ｌｉ＝ｘΔｘ→０Δ
ｆ（ｘ２ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ２ｘ）－ｆ（ｘ）ΔΔ０＋００＋０＝ｌｉｍ·２＝２ｆ′（ｘ解 Ａ＝ｌｉ）０ｘｘΔｘ２ｘ→０→０ΔΔ
ｆ（ｘｈ）－ｆ（ｘｈ）０＋０－＝（２）Ａ＝ｌｉｈｈ→０
—１０—
《微积分》考点精讲
ｆ（ｘｈ）－ｆ（ｘｈ）ｆ（ｘｈ）－ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）－ｆ（ｘｈ）０＋０－０＋０００－解 Ａ＝ｌｉ＝ｌｉｍ＝２ｆ′（ｘ）０ｈｈｈｈ→０→０
７．数列的极限
【例９】 求数列和的极限
（１）ｌｉｍｎ→∞(１１１＋…·３ｎ·（ｎ＋１１·２２）)
)()１１１１１１…解 原式＝ｌｉｍ１＋＝ｌｉｍ１＝１ｎ２２３ｎｎ＋１ｎ＋１ｎ→∞→∞
（２）ｌｉｍｎ→∞(１１＋…１＋２ｎ＋ｎ＋１
１解 ∵≤１１１１１＋…＋…＋ｎ＋ｎ＋ｎ＋１＋２ｎ＋ｎ１１＋…＋１ｎ＋１＋１１
ｎ→∞而ｌｉｍ(１ｎ＋…＝ｌｉｍ＝１ｎ→∞＋ｎ＋ｎ＋ｎ１１ｎ→∞ｌｉｍ(１＋…＝１ｎ＋１＋１１
∴原式＝１（３）ｌｉｍｎ→∞ｎ＋１１
ｎ＋２１＋…２ｎ＋ｎ１?１?解 原式＝ｌｉｍ?ｎ→∞ｎ?
＝（４）ｌｉｍｎ→∞１??＋???１＋?ｎ?１０??＋…＋???１＋?ｎ?（１＝ｌｎ１２???１＋ｎ?１２ｘ＝ｌｎ＋ｘ０１ｘ＋＋ｘ１１＋…(ｎ１)＋１ｎ＋２ｎ＋ｎ
１１１?＋…１?解 原式＝ｌｉｍ?ｎ??１１１２１?ｎ→∞ｎｎｎｎ??
１（１＋ｘ）ｄｘ－ｌｎ＝０１＋ｘ１１
０２＝ｌｎ
２ｎπππｓｉｓｉｓｉｎｎｎ（５）ｌｉｍ＋…）ｎ１２ｎ→∞ｎｎｎｎｎｎ
２ｎπππｓｉｓｉｓｉ２ｎｎｎｎ１πππｓｉ＋ｓｉ＋…＋ｓｉ解 ∵＋…≤ｎｎｎ１２ｎｎｎｎｎｎｎｎ()—１１—
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２ｎｎｓｉｓｉｓｉｓｉｓｉｎｎｎｎｎ＋…＋…≤ｎ＋１ｎ＋１ｎ＋１１ｎｎｎｎ
ｎ１ππ…＋ｓｉｓｉ＋＝而ｌｉｍｎｎｎ→∞ｎ
ｎ→∞２ｓｉｎｘｄｘπ()∫πｎｎ１ｎ１２ｓｉ＋…＋ｓｉｓｉ＋…＋ｓｉ·ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝∫ｓｉｎｘｄｘπ()()ｎｎｎｎｎ＋１ｎ＋１ｎπ１０１ｎ→∞０
２∴原式π
?２?（６）ｌｉｍｓｉｎｎ?→∞?１１ｎ１１ｎ
＋…１??１ｎ?１１１???１１?ｎｎ?２?解 原式＝ｌｉ?ｎ→∞ｎ?１１ｎ１１ｎ＋…１＝２ｘ－ｌｉｍｎ１０ｎ→∞＝４－１）【例１１】 其它数列的极限
ｎ→∞＋３ｌｉｍ解 ∵＋３＋３＝３≤≤又∵ｌｉｍ＝３ ｌｉｍ３·＝３ｎ→∞
ｎ→∞∴ｌｉｍ＋３＝３ｎ→∞８．单调有界原理
ｘｎ＝２，３，…；试证明ｌｉｍｘ并求出极限值【例１２】 （１）设ｘ１ｎ＝ｎ－１ｎ存在，ｎ→∞
解 单调性：ｘｘ＞ｘ 不妨设ｘｘ２＝１＝１１＞ｋ－１ｘｘｋ－１＝ｋ＞ｋ－１＝ｋ
∴ｘｎ单调增加
＜２，不妨设ｘ２ ｘ＝２有界性：ｘ１ｋ＜ｋ＋１＝ｋ＜∴ｘ２ｎ＜
于是用单调有界原理 ｌｉｍｘｎ存在设为Ａｎ→∞
对ｘ Ａ＝则Ａ＝２ｎ＝ｎ－１１，ｘｎ＝２，３，…；试证明ｌｉｍｘ并求出极限（２）设０＜ｘ１＜ｎ＋１＝ｎｎｎ存在，ｎ→∞
证明 ｘｎ＋１＝ｎｎ
∴ｘｎ有上界３３２２
—１２—
《微积分》考点精讲
ｘｎ＋１ｎｎ＝－１≥１ｘｘｘｎｎｎｘｎ单调增加
∴ｌｉｍｘ 两边求极限ｎ存在设为Ａｎ→∞
３Ａ＝Ａ２
９．洛必达法则
０【例１３】 型）０
ｘ－ｓｉｎｘｘ－ａｒｃｓｉｎｘｘ－ｌｎ（１＋ｘ）ｅ－（１＋ｘ（１）ｌｉ３ （（４）ｌｉ２）ｌｉ （３）ｌｉ３ｘｘｘｘｘｘ（１＋ｃｏｓｘ）ｘｓｉｎ→０→０→０→０ｘｓｉｎｘ１
ｓｉｎｔｄｔ∫（５）ｌｉ２０
ｘ→０２（ｘ－ｓｉｎｘ）２ｘ
１２ｘｘ－ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘ１２解 （１）ｌｉ３＝ｌｉ＝ｌｉ３２ｘｘｘ→０→０３→０３ｘｘｘ６
ｘ－ａｒｃｓｉｎｘｘ－ａｒｃｓｉｎｘ（２）ｌｉ＝ｌｉ＝ｌｉ３３ｘｘｘ→０→０→０ｓｉｎｘｘ１１２ｘ２１－ｘ＝ｌｉ２２ｘ６→０３３ｘｘ１
１ｘ１１＋ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）ｘ１＋ｘ１＝ｌｉ＝ｌｉ＝ｌｉ（３）ｌｉ２ｘｘｘ（１＋ｃｏｓｘ）ｘｓｉｎｘｘ４ｘｘ４→０→０→０→０４２ｘ
ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）１ｅ－（１＋ｘ－[（１＋ｘ]′ｘ１＋·＝ｌｉ＝－ｌｉｍ（４）ｌｉ（１＋ｘ２ｘ０ｘ０ｘ０ｘ１→→→ｘ１１１１
２ｘ（１＋ｘ）１＋＝－ｌｉｍｅ·ｘ２ｘ→０
－ｘ
２１＋ｘ）ｅｅ（ｉ２ｘｘ２→０
ｓｉｎｔｄｔ∫（５）ｌｉ＝ｌｉ２０
ｘ→０２（ｘ－ｓｉｎｘ）２ｘ４５３２ｘｓｉｎｘ２ｘ２ｘ＝ｌｉｌｉ２＝ｘｘ２（ｘ－ｓｉｎｘ）（１－ｃｏｓｘ）ｘｘ－ｓｉｎｘ→０→０→０（ｘ－ｓｉｎ）ｘ
２６ｘ＝１２＝ｌｉｘ１－ｃｏｓｘ→０
∞【例１４】 型） ∞２ｌｎｘ（１）ｌｉｍ２ｘ∞ｘ＋→＋１
解 原式＝ｌｉｍ２ｌｎｘ２＝ｌｉｍ０２２＝ｘｘ∞２∞４→＋→＋ｘｘ
—１３—
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ｘｌｎ（１＋ｅ）（２）ｌｉｍｘ∞→＋＋ｘｘｅ
ｘ１＋ｅ解 原式＝ｌｉｍ＝１ｘ∞ｘ→＋
＋ｘ【例１５】 （０·∞型）
（１）ｌｉｍｘｌｎｘｘ→０＋－１ｌｎｘｘｌｎｘ＝ｌｉ－１＝ｌｉ０解 ｌｉｍｘ－２＝ｘｘｘ→０＋→０＋ｘ→０＋－ｘ
πａｒｃｔａｎｘ）（２）ｌｉｍｘ－ｘ∞２→＋
１－ａｒｃｔａｎｘ２１＋ｘ２解 原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１－１ｘｘ∞∞１→＋→＋ｘ２ｘ
２）（３）ｌｉｍ（１－ｘ）ｔａｎｘｘ２→１
２１－ｘ－２ｘ４解 原式＝ｌｉ＝ｌｉｘ→１→１πｘπ２ππｃｃｏｘｓｃｘ２２２
【例１６】 （∞－∞型）
（１）ｌｉｍｘ→０(
(１１ｘｘｅ－１)ｘｘｘｅ－１－ｘｅ－１－ｘｅ－１１解 原式＝ｌｉｘ＝ｌｉ＝ｌｉ２ｘｘｘ２→０→０→０２ｘ（ｅ－ｘ１）ｘ
（２）ｌｉｍｘ→０１１２２ｘｓｉｎｘ
２２２２)１２２ｘ）（ｓｉｎｘ－ｘｓｉｎｘ－ｘｓｉｎ２ｘ－２ｘ２ｃｏｓ２ｘ－２２１解 原式＝ｌｉ２２＝ｌｉ＝ｌｉ＝ｌｉ＝ｌｉ４３２２ｘｘｘｘ３→０ｘ→０→０→０→０４ｘ１２ｘｓｉｎｘｘｘ６ｘ
本例小结
００∞【例１７】 （１，０，∞）
ｘ（１）ｌｉｍｘｘ→０＋
－１ｌｎｘｘ解 原式＝ｌｉｍｅ＝ｅｌｉ－１＝ｅｌｉ１－２＝ｘｘｘ→０＋→０＋ｘ→０＋－ｘｘｌｎｘ
ｓｉｎｘｘ（２）ｌｉｍｘｘ→０＋()１
ｃｏｓｘ１ｌｎｓｉｎｘ－ｌｎｘｓｉｎｘｘｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ１解 原式＝ｌｉｍ＝ｅｌｉｍ＝ｅｌｉｍ＝ｅｌｉｍ＝ｅ２３２２ｘｘｘｘｘ→０＋→０＋→０＋→０＋ｘ２ｘ６ｘ
—１４—
《微积分》考点精讲
ｆ（ｘ），ｘ≠０ｘ【例１７】 设ｆ（ｘ）在（－，＋）二阶可导，ｆ（０）＝０，ｇ（ｘ）＝求ｇ′（ｘ）∞∞
ｆ′（０），ｘ＝０
ｆ′（ｘ）ｘ－ｆ（ｘ）解 ｘ，ｇ′（ｘ）≠０２ｘ
ｆ（ｘ）－ｆ′（０）ｇ（ｘ）－ｇ（０）ｘｆ（ｘ）－ｆ′（０）ｘｘ＝０，ｇ′（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ２ｘｘｘｘｘ－０－０→０→０→０ｘ
＝ｌｉｍ
＝ｌｉｍｆ′（ｘ）－ｆ′（０）ｘ２ｘ→０ｆ′（ｘ）－ｆ′（０）（导数定义）ｘ２（ｘ－０）→０{
ｆ″（０）２
２－ｘｌｎ（１＋ｘ）＋ｅ－１１０．泰勒公式ｌｉ６ｘ→０ｘ
４６４６ｘｘｘｘ１６６２６６ｘ＋ｘ＋ｏ（ｘ）＋１－ｘ＋ｏ（ｘ）－１ｏ（ｘ）２３２！３！６１解 原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ６６ｘｘ６→０→０ｘｘ２２
第二节 极限的应用
一、研究分段函数的连续性、可导性
１ｋｘｓｉ ｘ≠０ｘ【例１】 已知ｆｘ，试讨论ｋ取何值时在ｘ＝０处连续、可导、导函数连续？()＝
＝０ ０ ｘ
＞０１ｋｋ解 ｌｉｍｘｓｉｆ（０） ∴ｋ＞０时ｆ（ｘ）在ｘ＞０处连续０＝ｘｘ→０{
ｌｉｍ＞１ｆ（ｘ）－ｆ（０）１ｋｋ－１＝ｌｉｍｘｓｉｆ′（０） ∴ｋ＞１时ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导０＝ｘｘｘ－０ｘ→０→０
１ｋ－２１ｋ－１当ｘｆ′（ｘ）＝ｋｘｓｉ－ｘｃｏ≠０时，ｘｘ
＞２１ｋ－２１ｋｋ－１ｘｃｌｉｍｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ（ｋｘｓｉ－ｏｆ′（０）０＝ｘｘｘｘ→０→０
∴当ｋ＞２时ｆ′（ｘ）在ｘ＝０处连续
（１－ｃｏｓｘ）?２，ｘ＜０２ｘ??＝０处连续性【例２】 讨论ｆ（ｘ）＝?１，ｘ＝０在ｘ
?ｘ２?１ｃｏｓｔｄｔ，ｘ＞０?ｘ０∫
—１５—
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ｃｏｓｔｄｔ∫ｃｏｓｘ＝ｌｉｍ＝１解 ｆ（０＋０）＝ｌｉｍ２０２
ｘ→０＋ｘｘｘ→０＋１
１２ｘ２２（１－ｃｏｓｘ）ｆ（０－０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１２２ｘｘ→０－→０－ｘｘ
∴ｆ（０＋０）＝ｆ（０－０）＝ｆ（０）＝１
于是ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续．
【例３】 设ｆ（ｘ）在（－＋有二阶连续导数，∞，∞）
－ｘｆ（ｘ）－ｅ，ｘ≠０ｘｆ（０）＝１，ｆ′（０）＝－１，ｇ（ｘ）＝求ｇ′（ｘ）并讨论ｇ′（ｘ）的连续性．(){
０，ｘ＝０
－ｘ－ｘ）ｘ－（ｆ（ｘ）－ｅ）（ｆ′（ｘ）＋ｅ解 ｘ′（ｘ）≠０时 ｇ２ｘ
－ｘｆ（ｘ）－ｅ－０－ｘｇ（ｘ）－ｇ（０）ｘｆ（ｘ）－ｅ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍｘ＝０时 ｇ′（０）＝ｌｉｍ２ｘｘｘｘｘ－０－０→０→０→０ｘ
－ｘ－ｘｆ″（０）－１ｆ′（ｘ）＋ｅｆ″（ｘ）－ｅ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍｘｘ２ｘ２２→０→０
－ｘ－ｘｆ″（０）－１ｆ″（０）－１（ｆ′（ｘ）＋ｅ）ｘ－（ｆ（ｘ）－ｅ）ｌｉｍｇ′（ｘ）＝ｌｉｍ＝ｆ″（０）－１＝ｇ′（０）２ｘｘ２２→０→０ｘ
∴ｇ′（ｘ）在ｘ＝０处连续
ｘ′（ｘ）显然连续≠０时ｇ
∴ｇ′（ｘ）在（－＋连续．∞，∞）
１１１π１π＝＋＝注意：ｌｉｍ，ｌｉｍ０，ｌｉｍａｒｃｔａ，ｒｃｔａｌｉｍａ∞ｘ２ｘｘ２ｘｘｘ→０＋→０－→０＋→０－
ｘ→０＋ｘ］＝０，ｌｉｍ［ｘ］＝－１ｌｉｍ［ｘ→０－
【例４】 指出下列函数的所有间断点，并进行分类．
１（１）ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｘ
解 ｘ＝０
１πｆ（０＋０）＝ｌｉｍａｒｃｔａｘ２ｘ→０＋
１πｆ（０－０）＝ｌｉｍａｒｃｔａｘ２ｘ→０－
∴ｘ＝０为第一类跳跃间断点．
（２）ｆ（ｘ）ｘ（ｘ＋２）
２（ｘ－４）
解 间断点有ｘ＝０，ｘ＝２，ｘ＝－２
ｘ＝２为无穷间断点
—１６—
ｌｉｍｘ（ｘ＋２）ｘ
ｘ→－２｜ｘ｜（ｘ２－４）＝ｌｘ→ｉｍ－２｜ｘ｜（ｘ－２）１
４
ｘ＝－２为第一类可去间断点．
ｌｉｍ）＝ｌｉｍｘ（ｘ＋２）
ｘ→０＋ｆ（ｘｘ→０＋ｘ（ｘ２－４）１
２
ｌｉｍｆ＝ｌｉｍｘ（ｘ＋２）１
ｘ→０－（ｘ）ｘ→０－－ｘ（ｘ２－４）２
∴ｘ＝０为第一类跳跃间断点
（３）ｆ（ｘ）ｘ（ｘ＋２）
ｓｉｎπｘ
解 间断点ｘ＝ｋ ｋ＝０±１±２…
ｘ＝０为第一类可去间断点 ｌｘｉ→ｍｘ（ｘ＋２）ｘ（ｘ０ｓｉｎπｘ＝ｌｘｉ→ｍ＋２）０πｘ２
π
ｘ＝－２为第一类可去间断点 ｌｉｍｘ（ｘ＋２）
ｘ→－２ｓｉｎπｘ＝ｌｘ→ｉｍ２ｘ＋２２－２πｃｏｓπｘπ
其它的整数点均为无穷间断点
（４）ｆ（ｘ）１
１－ｘ
解 间断点有ｘ＝０ ｘ＝１
ｘ＝０为无穷间断点
ｆ（１＋０）＝１ ｆ（１－０）＝０
ｘ＝１为第一类跳跃间断点
（５）ｆ（ｘ）＝１－ｘ２ｎ
ｎｌ→ｉ∞１＋ｘ２ｎｘ
ｘ｜ｘ｜＜１
解 ｆ（ｘ）＝{０｜ｘ｜＝１
－ｘ｜ｘ｜＞１
ｘ＝１为第一类跳跃间断点 ｘ＝－１为第一类跳跃间断点（６）ｆ（ｘ）＝ｎｌ→ｉ１－ｅ－ｎｘ∞１＋ｅ－ｎｘ
{１ｘ＞１
解 ｆ（ｘ）＝０ｘ＝０
－１ｘ＜１
ｘ＝０为第一类跳跃间断点
（７）ｆ（ｘ）＝ｎｌ→ｉｍ∞＋解 ｆ（ｘ）＝{｜ｘ｜３｜ｘ｜＞１
１｜ｘ｜≤１
ｆ（ｘ）处处连续
—１７—《微积分》考点精讲
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三、研究无穷小
ｘｘ【例】 当ｘ２＋３－２是ｘ的 １ 阶无穷小→０时，
ｘｘｘ２ｘ３２＋３－２２ｌｎ＋３ｌｎ６解 ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｎｘｘｘ１→０→０
１３２当ｘ（１＋ａｘ－１与ｃｏｓｘ－１是等价无穷小ａ＝ →０时，２
１２３解 ∵（１＋ａｘ－１∽ａ２１２ ｃｏｓｘ－１∽ｘ２３
３∴ａ２
把下列无穷小按阶数由高到低排列顺序当ｘ→０时，
ｃｏｓｔｄｔ，ｔａｔ，ｓｉｎｔｄｔ∫∫２３
０００ｘ２ｘ解 ｃｏｓｔｄｔ为１阶无穷小 ∫ｔａｔ为３阶无穷小 ｓｉｎｔｄｔ为２阶无穷小∫２３
０００ｘ２ｘ第三节 几何应用
一、求曲线的切线
例１ 求曲线ｙ４，２）的切线及法线方程．１１解 ｙ′ｋ４１切线方程为 ｙ－２（ｘ－４）４
法线方程为 ｙ－２＝－４（ｘ－４）
ｘ【例２】 求过原点的曲线ｙ＝ｅ的切线方程
ｘ０解 设切点为（ｘ，ｅ）０
ｘ０ｅ－０ｅ ｘ＝１ｘ００
０－ｘ０
切线为：ｙ＝ｅｘ
【例３】 求由极坐标表示的曲线ρ＝１＋ｃｏｓ在θ处的切线方程θ４
解 {ｘ＝ｃｏｓ＝（１＋ｃｏｓ）ｃｏｓρθθθ＋１＋１ 切点为２２ｙ＝ｓｉｎ＝（１＋ｃｏｓ）ｓｉｎρθθθ()
２ｄｄｙ－ｓｉｎ＋（１＋ｃｏｓ）ｃｏｓｋθ Ｒｄｄｘ－ｓｉｎｃｏｓ－（１＋ｃｏｓ）ｓｉｎθθθθ２—１８—
《微积分》考点精讲
＋１＋１）ｘ切线方程为：ｙ２２２＋二、曲线的单调性、凹凸性、极值、拐点、渐近线、函数作图．
２ｘ【例４】 求ｙ＝１极值、凹凸区间、拐点．２（ｘ－１）
解 略
３２【例５】 已知曲线ｙ＝ｘ＋ｂｘ＋ｃｘ＋ｄ上有拐点（１，－１），且在ｘ＝０处的切线平行于ｘ轴，求ｂ，ｃ，ｄ
解 １＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝－１… ①
２ｙ′＝３ｘ＋２ｂｘ＋ｃ
ｃ＝０…
ｙ″＝６ｘ＋２ｂ
６＋２ｂ＝０…
ｃ＝０ ｂ＝－３ ｄ＝１②③
【例６】 设ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上二次可微，且ｆ（０）＝０，ｆ″（ｘ）＞０，证明函数调增加的．
证明 ｆ（ｘ）在（０，１］上是单ｘ(ｆ（ｘ）ｆ′（ｘ）ｘ－ｆ（ｘ）ｆ′（ｘ）ｘ－（ｆ（ｘ）－ｆ（０））′２２ｘｘｘ
ｆ′（ｘ）ｘ－ｆ′（）ｘξ（０＜＜ｘ）ξ２ｘ)
∵ｆ″（ｘ）＞０ｆ′（）＜ｆ′（ｘ）ξ
于是（ｘ）ｆ（ｘ）′＞０ 单调增加(ｆ)ｘｘ
【例７】 设ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ″－２ｙ′－４ｙ＝０，ｆ（ｘ）＞０，ｆ′（ｘ）＝０则ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０００处取解 ｙ″＝２ｙ′＋４ｙ
ｙ″（ｘ）＝４ｙ（ｘ）＞０００
∴ｘ＝ｘ０处取极小值
ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）【例８】 若ｌｉ２则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处取２＝ｘ→ａ（ｘ－ａ）
ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）解 ｌｉ２＞０２＝ｘ→ａ（ｘ－ａ）
∴ｕ（ａ－） δ。ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）０ 即ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）２＞（ｘ－ａ）
∴ｆ（ａ）为极小值
【例９】 设ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ如果ｆ′（ｘ）＝０，ｆ″（ｘ）＝０，ｆ（ｘ），≠００的某邻域内具有三阶连续导数．０００试问ｘ＝ｘｘ，ｆ（ｘ））是否为拐点？为什么？０是否为极值点？为什么？又（００
解 不妨设ｆ（ｘ）＞００
—１９—
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ｆ″（ｘ）－ｆ″（ｘ）ｆ″（ｘ）０ｆ（ｘ）＝ｌｉ＝ｌｉ＞００ｘｘｘｘ－ｘｘ－ｘ→ｘ→００００
＞０ 当ｘ（ｘ，） δ∈ｕδ０。ｆ″（ｘ）＞０ｘ－ｘ０
当ｘ＜ｘ＜ｘ，ｆ″（ｘ）＜０ 当ｘｘ＜ｘ ｆ″（ｘ）＞０ ∴ｘ＝ｘδδ０－００＜０＋０为拐点当ｘ＜ｘ＜ｘ，ｆ″（ｘ）＜０ ｆ′（ｘ） ｆ′（ｘ）＝０ ∴ｆ′（ｘ）＞０δ０－００
当ｘｘ＜ｘ，ｆ″（ｘ）＞０ ｆ′（ｘ） ｆ′（ｘ）＝０ ∴ｆ′（ｘ）＞０δ０＜０＋０
得ｘ＝ｘ０不是极值点
【例１０】 写出下列曲线的渐近线
３ｘｘ；（２）ｙ２；（３）ｙ＝ｌｎ（１＋ｅ（１）ｙ２）；ｘ＋２ｘ－３ｘ＋ｘ－２
解 （１）ｘ＝－３ｘ＝１为垂直线近线
３ｘ３２ｘｘ＋２ｘ－３－ｘ＝－＝１，ｂ＝ｌｉｍ２２ｋ＝ｌｉｘｘｘ→０→∞ｘ＋２ｘ－３()
ｙ＝ｘ－２为斜渐近线
（２）ｘ＝－２ｘ＝１为垂直渐近线
＝１ｘ∞ｘ＋→＋ｘ－２ｌｉｍ２
＝－１ｘ∞ｘ＋→－ｘ－２ｌｉｍ２
ｙ＝１，ｙ＝－１为水平渐近线
ｘ（３）ｌｉｍｌｎ（１＋ｅ）＝０ ｙ＝０为水平渐近线ｘ∞→－
ｘｘｘｘｌｎ（１＋ｅ）ｅ（１＋ｅ）（１＋ｅ）ｘ＝ｌｉｍ１ ｂ＝ｌｉｍ（ｌｎ－ｘ）＝ｌｉｍｌｎ－ｌｎｅ＝０ｋ＝ｌｉｍｘ＝ｘｘｘｘ∞∞１∞∞ｘ→＋→＋→＋→＋＋ｅ
ｙ＝ｘ为斜渐近线
２ｘ＋ｘ＋１【例１１】 ｙ＝ａｒｃｔａ的渐近线有（ｘ－１）（ｘ＋２）１
ｘ解 ｘ＝０为水平渐近线ππ（ｘ） ｙ为水平渐近线ｌｉｍｆｘ４４→∞三、证明不等式
（１）利用单调性证明
（２）利用极值或最值证明
（３）利用中值定理
（４）利用凹凸性证明
（５）利用泰勒公式证明
—２０—
【例１】 证明下列不等式
１）当ｘ＞０ｘ
１＋ｘ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ
证明 令ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）ｆ（０）＝０ ｆ′（ｘ）＝１１
１＋ｘ＞０
∴ｆ（ｘ）＞０ 即ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ令ｇ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）ｘ
１＋ｘ
ｇ（０）＝０ ｇ′（ｘ）１
１＋ｘ１
（１＋ｘ）２＞０
∴ｇ（ｘ）＞０ 即ｘ
１＋ｘ＜ｌｎ２（１＋ｘ）
２）当０＜ｘ＜１时，（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２证明 令ｆ（ｘ）＝ｘ２－（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）ｆ（０）＝０ ｆ′（ｘ）＝２ｘ－ｌｎ２（１＋ｘ）－２ｌｎ（１＋ｘ）ｆ′（０）＝０ ｆ″（ｘ）＝２－ｌｎ（１＋ｘ）
１＋ｘ２
１＋ｘ＝ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）
１＋ｘ＞０
ｆ′（ｘ）＞０近而ｆ（ｘ）＞０
即 （１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２
３）设ｘ＞０，当ａ＞ｅ时，证明：（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ证明 令ｆ（ｘ）＝（ａ＋ｘ）ｌｎａ－ａｌｎ（ａ＋ｘ）
ｆ（０）＝０
ｆ′（ｘ）＝ｌｎａａ
ａ＋ｘ＞０
∴ｆ（ｘ）＞０
即（ａ＋ｘ）ｌｎａ＞ａｌｎ（ａ＋ｘ）
化简可得（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ
４）设ｂ＞ａ＞０，求证：ｌｂ
ａ２（ｂ－ａ）
ｂ＋ａ
证明 令ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｌｎａ２（ｘ－ａ）
ｘ＋ａ
ｆ（ａ）＝０
ｆ′（ｘ）１
ｘ４ａ（ｘ－ａ）２
（ｘ＋ａ）２ｘ（ｘ＋ａ）２＞０
∴ｆ（ｘ）＞０
即 ｌｎｘ－ｌｎａ２（ｘ－ａ）
ｘ＋ａ
取ｘ＝ｂ可得
—２１—《微积分》考点精讲
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ｂ
２（ｂ－ａ）
ｂ＋ａ
５）设ｅ＜ａ＜ｂ＜ｅ２，证明ｌｎ２ｂ－ｌｎ２ａ４ｅ２（ｂ－ａ）
证明 令Ｆ（ｘ）＝ｌｎ２ｘ－ｌｎ２ａ４ｅ２（ｘ－ａ）
Ｆ（ａ）＝０
ｘ
Ｆ′（ｘ）＝ｌｎ４ｘｅ２
ｘＦ″（ｘ）＝１－ｌｎ
ｘ２＜０
Ｆ′（ｅ２）＝０
∴Ｆ′（ｘ）＞０从而Ｆ（ｘ）＞０取ｘ＝６可得
ｌｎ２ｂ－ｌｎ２ａ４ｅ２（ｂ－ａ）
【例２】 证明下列不等式
１）１＋ｘｌｎ（ｘ＋＋ｘ）≥＋ｘ证明 令ｆ（ｘ）＝１＋ｘｌｎ（ｘ＋＋ｘ）－＋ｘｆ′（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋＋ｘ） ｆ′（０）＝０
ｆ″（ｘ）１ｘ＝０为最小值点＋ｘｆ（ｘ）≥ｆ（０）＝０ 即１＋ｘｌｎ（ｘ＋＋ｘ）≥＋ｘ２）设ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上二次可微，ｆ（０）＝０，ｆ″（ｘ）＜０，证明：对ｘ１＞０，ｘ２＞０，ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）证明 不妨设ｘ１＜ｘ２
ｆ（ｘ１）－ｆ（０）＝ｆ′（ξ１）ｘ１ ０＜ξ１＜ｘ１
ｆ（ｘ１＋ｘ２）－ｆ（ｘ２）＝ｆ′（ξ２）ｘ１ ｘ２＜ξ２＜ｘ１＋ｘ２ｆ″（ｘ）＜０ ｆ′（ｘ） ｆ′（ξ２）＜ｆ′（ξ１）
ｆ（ｘ１）－ｆ（０）＞ｆ（ｘ１＋ｘ２）－ｆ（ｘ２）
即ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＞ｆ（ｘ１＋ｘ２）
３）ｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＞（ｘ＋ｙ）ｌｘ＋ｙ
２（ｘ＞０，ｙ＞０，ｘ≠ｙ）
证明 研究ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ的凹凸性
ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋１ ｆ″（ｘ）１
ｘ＞０ ｆ（ｘ）为凹
ｘｙｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＋ｙｘ＋ｙ
２ｘ
２ｌ２
即 ｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＞（ｘ＋ｙ）ｌｘ＋ｙ
２
—２２—
《微积分》考点精讲
２ｓｉｎｘｘ４）证明：当０＜ｘ时，２π
ｓｉｎｘ证明 研究ｆ（ｘ）的单调性ｘ
ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘｃｏｓｘ－（ｓｉｎｘ－ｓｉｎｏ）ｆ′（ｘ））＜０＝（ｃｏｓｘ－ｃｏｓξｘｘ
ｓｉ２２ｓｉｎｘπｆ（ｘ）＞ ２ｘππ
２()
２即 ｓｉｎｘπ
【例３】 设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］具有二阶连续导数，ｆ′（ａ）＝ｆ′（ｂ）＝０，证明：ａ，ｂ），ξ∈（≥ｆ″（ξ４（ｂ）－ｆ（ａ２ｆ（ｂ－ａ）
ｆ″（）ξ１２（ｘ－ａ）证明 ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）＋ｆ′（ａ）（ｘ－ａ）！２
）ｆ″（ξ２２ｆ（ｘ）＝ｆ（ｂ）＋ｆ′（ｂ）（ｘ－ｂ）（ｘ－ｂ）２！
ａ＋ｂ取ｘ２
２）（ｆ″（ξａ＋ｂｂ－ａ）１…①＝ｆ（ａ）２２！４()
ｆ″（ξ）（ａ＋ｂｂ－ａ）＝ｆ（ｂ）…②(２)２！４２２
①－②得
２″（ｆ″（）ｆ）ξξ（ｂ－ａ）１２Ｏ＝ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）４２２()
ｆ″（）－ｆ″（ｆ″（）＋ｆ″（介值定理ｆξξξξｆ（ｂ）－ｆ（ａ″（ξ１２１２≤２２２２（ｂ－ａ）四、证明等式
１１）证明：ｘ＞０时ａｒｃｔａ＋ａｒｃｔａｎｘｘ２
１πａｒｃｔａｎｘ证明 令ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａ＋ｘ２１１ｆ′（ｘ）０２２＝１＋ｘ１＋ｘ
ｆ（ｘ）＝Ｃ ｆ（１）＝０ Ｃ＝０
１ａｒｃｔａｎｘ即 ａｒｃｔａ＋ｘ２
—２３—
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２）设ｆ（ｘ）是ｌ以为周期的连续函数，证明：对任意的常数ａ，有：
ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ∫ａ０ａ＋ｌｌ
ｄ
证明
∴ａ＋ｌ
ａｆ（ｘ）ｄｘ∫＝ｆ（ａ＋ｌ）－ｆ（ａ）＝０ａａ＋ｌｄａｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｃ∫
ｌ取ａ＝０Ｃ＝ｆ（ｘ）ｄｘ０∫
∴∫ａａ＋ｌｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ０∫ｌ
第四节 理论应用
１．零点定理
２．介值定理
３．罗尔定理
４．拉格朗日中值定理
５．柯西中值定理
６．泰勒中值定理
７．积分中值定理
８．费马引理
【例１】１）设ｆ（ｘ）在区间［０，１］上连续，且ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝０，试证明，０，１），使得ｆ（）＝．ξ∈（ξξ证明 令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ Ｆ（ｘ）在［１，１］上连续 Ｆ（０）＝ｆ（０）－０＝１
Ｆ（１）＝ｆ（１）－１＝－１ Ｆ（０）·Ｆ（１）＜０
由零点原理知
ｔ（０，１）使Ｆ（）＝０ξξ
即ｆ（）＝ξξ
２）设ｆ（ｘ）在区间［０，２ａ］上连续，且ｆ（０）＝ｆ（２ａ），试证明，０，２ａ），使得ｆ（）＝ｆ（＋ａ）．ξ∈（ξξ证 令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ａ）－ｆ（ｘ）
Ｆ（０）＝ｆ（ａ）－ｆ（０） Ｆ（ａ）＝ｆ（２ａ）－ｆ（ａ）＝ｆ（０）－ｆ（ａ）
２Ｆ（０）·Ｆ（ａ）＝－（ｆ（ａ）－ｆ（０））
如果 ｆ（ａ）＝ｆ（０）＝ｆ（２ａ）＝ｆ（ａ＋ａ） 取ξ＝ａ
２否则 Ｆ（０）·Ｆ（ａ）＝－（ｆ（ａ）－ｆ（０））＜０
Ｆ（ｘ）满足零点原理 ξ０，ａ），Ｆ（）＝０ 即 ｆ（＋ａ）＝ｆ（）∈（ξξξ
３２【例２】１）证明方程ｘ－４ｘ＋１＝０在区间（０，１）内至少有一个实根
—２４—
《微积分》考点精讲
３２证明 令ｆ（ｘ）＝ｘ－４ｘ＋１
ｆ（０）＝１ ｆ（１）＝－２
ｆ（ｘ）在［０，１］上满足零点原理
０，１） ｆ（）＝０ξ∈（ξ
３２即 ｘ－４ｘ＋１＝０在（０，１）内至少有一个根
２）讨论方程ｌｎｘ＝ａｘ，（ａ＞０）有几个实根
解 令ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ａｘ ｆ（＋∞）＝－∞
１ｆ′（ｘ）－ａ ｆ（０＋０）＝－∞ｘ
１１ｆ″（ｘ）２ ｘ为最大值点ａｘ
()
１１当（ｘ）有一个零点方程ｌｎｘ＝ａｘ只有１个根 即ａ时 ｆ(ａ)＝０ｅ
１（ｘ）有两个零点方程ｌｎｘ＝ａｘ有２个根当＞０ 即ａ时 ｆ(１)ａｅ
ππ)内根的个数．３）就ｋ的不同取值情况，确定方程ｘｓｉｎｘ＝ｋ在开区间(０２２
πｉｎｘ－ｋ ｆ（０）＝－ｋ 解 令ｆ（ｘ）＝ｘｓ(２)＝－ｋ２当１１（ｘ）无零点方程ｌｎｘ＝ａｘ无根＜０ 即ａ时 ｆａｅ
２ππｏｓｘ ｆ″（ｘ）ｓｉｎｘ＞０ ｘ＝ａｒｃｃｏ为最ｆ′（ｘ）＝１ｃ２２π
π上无零点方程无根ｋ（ｘ）在０≥０时 ｆ２
２２π２当ｋ＜０时 ｆ（ａｒｃｃｏ）＝ａｒｃｃｏｓｉｎａｒｃｃｏ－ｋ＞０ππ２π
２π２即 ｋ＜ａｒｃｃｏｓｉｎａｒｃｃｏ 方程无根π２π
２π２ｋ＝ａｒｃｃｏｓｉｎａｒｃｃｏ 方程只有一个根π２π
２２ｋ＞ａｒｃｃｏｓｉｎａｒｃｃｏ 方程有两个根π２π
【例３】 若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ａ＜ｘｘ…ｘｂ，则在区间［ｘ，ｘ］上至少有一点ξ，使１＜２＜ｎ＜１ｎ
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋…＋ｆ（ｘ）１２ｎ得ｆ（）ξｎ
证明 ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］连续 ｆ（ｘ）在［ｘ，ｘ］连续ｆ（ｘ）在［ｘ，ｘ］有最大值Ｍ，最小值ｍ１ｎ１ｎ
ｍ（ｘ）＝１，２，…，ｎ≤ｆ≤Ｍ ｉｉ
（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋…＋ｆ（ｘ）Ｍ＋Ｍ＋…＋Ｍｍ＋ｍ＋…＋ｍｆ１２ｎ＝Ｍｍ≤≤ｎｎｎ
—２５—()
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由介值定理知ｘ，ｘ］＜（ａ，ｂ）使ξ∈［１ｎ
）＋ｆ（ｘ）＋…＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ１２ｎｆ（）ξｎ
【例４】 若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内具有二阶导数，且ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），其中ａ＜ｘｘｘｂ，１２３１＜２＜３＜证明至少存在一点ξａ，ｂ），使得ｆ″（）＝０．∈（ξ
，ｘ］，［ｘ，ｘ］上分用罗尔定理证明 对ｆ（ｘ）在［ｘ１２２３
ｘ，ｘ），ｘ，ｘ）ξ∈（ξ∈（１１２２２３
使ｆ′（）＝０ ｆ′（）＝０ξξ１２
再对ｆ′（ｘ）在［，］上用罗尔定理ξξ１２
，）＜（ａ，ｂ）使ξ∈（ξξ１２
ｆ″（）＝０ξ
２【例５】 设函数ｆ（ｘ）在区间［１，２］上二阶可导，且ｆ（２）＝ｆ（１）＝０，又Ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｆ（ｘ），那么
在区间（１，２）内至少存在一点ξ，使得Ｆ″（）＝０ξ
证明 ∵Ｆ（１）＝０ Ｆ（２）＝ｆ（２）＝０
∴Ｆ（ｘ）在［１，２］上满足罗尔定理
１，２）使Ｆ′（）＝０η∈（η
２又 Ｆ′（ｘ）＝２（ｘ－１）ｆ（ｘ）＋（ｘ－１）ｆ（ｘ） Ｆ′（１）＝０
Ｆ′（）＝Ｆ′（１）η
Ｆ′（ｘ）在［１，］上满足罗尔定理η
１，）使Ｆ″（）＝０ξ∈（ηξ
【例６】 设ｆ（ｘ）在区间［０，１］上连续，在（０，１）内可导ｆ（１）＝０．证明：在（０，１）内至少存在一点ξ，使ｆ（）＋ｆ′（）＝０如果将结论改为２ｆ（）＋ｆ′（）＝０ξξξξξξ
证明 令Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ） Ｆ（０）＝０ Ｆ（１）＝ｆ（１）＝０
Ｆ（ｘ）在［０，１］上满足罗尔定理
０，１）Ｆ′（）＝０ξ∈（ξ
即ｆ（）＋ｆ′（）＝０ξξξ
ａ＋ｂ【例７】 ｆ（ｘ）［ａ，ｂ］，ｆ（ｘ）（ａ，ｂ），ｆ（ａ）·＜０，ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＞０证明：至少存在一个∈Ｃ∈Ｄ２
ａ，ｂ）使得ｆ′（）＝ｆ（）ξ∈（ξξ
ａ＋ｂａ＋ｂ证明 ｆ（ａ）·＜０ ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＞０ 于是·ｆ（ｂ）＜０２２
ａ＋ｂａ＋ｂｂ上适用零值定理ｆ（ｘ）在ａ·２２()()()[][]
ａ＋ｂａ＋ｂｂ使， ξξ∈ａ∈１２２２
ｆ（）＝ｆ（）＝０ξξ１２
－ｘ令Ｆ（ｘ）＝ｅｆ（ｘ）()()
—２６—
《微积分》考点精讲
Ｆ（）＝Ｆ（）＝０ξξ１２
，］上满足罗尔定理Ｆ（ｘ）在［ξξ１２
，）使Ｆ′（）＝０ξ∈（ξξξ１２
）＝ｆ（）即ｆ′（ξξ
ａ，ｂ），使得【例８】 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可微，ｇ′（ｘ）≠０证明至少存在一点ξ∈（
′（）ｆ）ｆ（ａ）－ｆ（ξξｇ（）－ｇ（ｂ）ｇ′（）ξξ
证明 令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｇ（ｂ）ｆ（ｘ）
Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ｆ（ａ）
Ｆ（ｂ）＝ｆ（ａ）ｇ（ｂ）
Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ） Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上满足罗尔定理
ａ，ｂ）使Ｆ′（）＝０ξ∈（ξ
即）ｆ′（）ｆ（ａ）－ｆ（ｇ（′（）－ｇ（ｂ）ｇ）ξξ
ｂ
ａ【例９】 ｆ（ｘ）［ａ，ｂ］，ｆ（ｘ）（ａ，ｂ），证明：至少存在一个ξａ，ｂ）使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｌ∈Ｃ∈Ｄ∈（
ｆ′（）·ξξ
证明 对ｆ（ｘ）、ｌｎｘ在［ａ，ｂ］上用柯西中值定理
′（ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｆ）ｂａ１ｌｎｌｎ－
ξ
ｂ即ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｌ·ξｆ′（）ξａ
【例１０】 设函数ｆ（ｘ）在［－１，１］具有三阶连续导数，且ｆ（－１）＝０，ｆ（１）＝１，ｆ′（０）＝０证明：
１，１），使ｆ（）＝３．ξ∈（－ξ
ｆ″（０）２（）３ｆη证明 ｆ（ｘ）＝ｆ（０）ｔｆ′（０）ｘｘ－ｘ２！３！
（）ξｆ″（０）ｆ１ｆ（－１）＝ｆ（０）…①３２！！
（）ξｆ″（０）ｆ２ｆ（１）＝ｆ（０）…②２！３！
ｆ（）＋ｆ（）１ξξ１２１ｆ（） （介值定理）ξ６３
得ｆ（）＝３ξ
—２７—
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第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分
一、基本概念（原函数和不定积分的概念）
【例１】 若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为（Ｂ）
Ａ１＋ｓｉｎｘ Ｂ１－ｓｉｎｘ Ｃ１＋ｃｏｓｘ Ｄ１－ｃｏｓｘ【例２】 下列各式正确的是（Ｃ）．Ａｄｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）Ｃｄｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ
∫
ｄ
Ｂｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）＋Ｃｄｘ
∫
∫
ｄＤｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘｄｘ
二、求不定积分
１．利用积分表（１）０·ｄｘ＝ｃ；
＋１α
ｘ
＋ｃ；（３）ｘｄｘ
α＋１
∫
αｘ
（２）ｋｄｘ＝ｋｘ＋ｃ；（４）
∫∫
∫
α≠－１
１
；ｄｘ＝ｌ＋ｃ
ｘ
ｘ
（５）ｅｄｘ＝ｅ＋ｃ；（７）ｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃ；
２
ｅｃｘｄｘ＝ｔａｎｘ＋ｃ；（９）ｓ
∫∫
ｘ
ｘ
ａ
＋ｃ；（６）ａｄｘ＝ｌｎａ
∫
（８）ｓｉｎｘｄｘ＝－ｃｏｓｘ＋ｃ；
２
（１０）ｃｓｃｘｄｘ＝－ｃｏｔｘ＋ｃ；
∫∫
（１１）ｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ＝ｓｅｃｘ＋ｃ；（１３）
∫∫
２
（１２）ｃｓｃｘｃｏｔｘｄｘ＝－ｃｓｃｘ＋ｃ；（１４）
ｘ＝ａｒｃｓｉｎｘ＋ｃ；－ｘ∫
１
ｄｘ＝ａｒｃｔａｎｘ＋ｃ；２
１＋ｘ
１
（１５）ｔａｎｘｄｘ＝－ｌｎｃｏｓｘ＋ｃ；
（１７）ｓｅｃｘｄｘ＝ｌｎ（ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ）＋ｃ；（１９）（２１）
１１ｘ－ａ
ｘ＝ｌ＋ｃ；２ａｘ＋ａｘ－ａ
２
∫
（１６）ｃｏｔｘｄｘ＝ｌｎｓｉｎｘ＋ｃ；
（１８）ｃｓｃｘｄｘ＝ｌｎ（ｃｓｃｘ＋ｃｏｔｘ）＋ｃ（２０）
１１ｘ
ｄｘ＝ａｒｃｔａ＋ｃａａａ＋ｘ
２
２
∫
∫
ｘ
ｘ＝ａｒｃｓｉ＋ｃ；ａａ－ｘ１
（２２）—２８—
ｘ＝ｌｎ（ｘ＋ｘ±ａ）＋ｃｘ±ａ１
《微积分》考点精讲
【例３】 求下列不定积分
１．１ｘ２２ｄｘ（１＋ｘ）
１１１ｄ－ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃｘｘｘ＋１２２解 原式＝
２．１ｄｘ１＋ｃｏｓ２ｘ
１１１ｅｃｘｄｘ＝ｔａｎｘ＋Ｃｄｘ＝ｓ２２２ｃｏｓｘ２
２解 原式＝
３．１ｄｘｓｉｎｘｃｏｓｘ２２
２２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ２２ｅｃｘ＋ｃｓｃｘｄｘ＝ｔａｎｘ－ｃｏｔｘ＋ε解 原式＝ｄｘ＝ｓ２２ｓｉｎｘｃｏｓｘ∫
２４．ｓｉｎ∫
∫ｘｄｘ２ｘｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘｄｘ＝＋Ｃ２２２解 原式＝
２５．ｔａｎｘｄｘ
２解 原式＝ｓｅｃｘ－１ｄｘ＝ｔａｎｘ－ｘ＋Ｃ∫
２．凑微分法（第一换元法）
本例小结
【例４】 求下列不定积分
２１１ｓｉｎｘ１３ｘ＋１ｏｄｘ； （４）３ｄｘ； （２）１．（１）ｘ； （３）２ｃｄｘ；３ｄｘｃｏｓｘｘｘ＋ｘ＋２１＋ｘ）１ａｒｃｔａ２ｘｘ－２ｘ（５）（ｘ－１）ｅｄｘ； （６）ｘ； （７）２ｄ（１＋ｘ）∫
∫
ｌｎ（ｘ＋＋ｘ）＋５ｄｘ＋ｘ解 （１）（２）１１２ａｒｃｔａ＋Ｃｄｘ＝２１＋ｘ）（１＋２ｓｉｎｘ１－－３ｄｘ＝－ｃｏｓｘｄｃｏｓｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋Ｃ３２ｃｏｓｘ∫（３）１１１１１ｃｏｄｘ＝－ｃｏ＝－ｓｉ＋Ｃ２ｘｘｘｘｘ∫２３３ｘ＋１１３２｜ｘ＋ｘ＋２｜（４）３ｄｘ＝３ｄ（ｘ＋ｘ＋２）＝ｌｎ＋Ｃｘ＋ｘ＋２ｘ＋ｘ＋２ｘ－２ｘｘ－１）ｅｄｘ＝（５）（２２２２１ｘ１ｘｘ２－２ｘｅ－ｄ（ｘ－２ｘ）＝ｅ＋Ｃ２２∫１ａｒｃｔａｘ１１１１２＋Ｃ（６）ｄｘ＝－ａｒｃｔａｄａｒｃｔａａｒｃｔａ２ｘｘ２ｘ１＋ｘ∫()
—２９—
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＝３２＋Ｃ（ｌｎ（ｘ＋＋ｘ）＋５３
２３４２．（１）ｓｉｎｘｄｘ； （２）ｓｉｎｘｄｘ； （３）ｓｅｃｘｄｘ； （４）∫∫∫１ｓｉｎｘｄｘ； （５）ｄｘ；１－ｃｏｓｘ１＋ｓｉｎｘ（６）∫
∫
ｓｉｎｘ１ｄｘ； （７）ｘ２２ｄｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ２ｉｎｘｄｘ＝解 （１）ｓ∫１－ｃｏｓ２ｘ１１ｘ＝ｘｓｉｎ２ｘ＋Ｃ２２４１３ｃｏｓｘ－ｃｏｓｘ＋Ｃ３３２（２）ｓｉｎｘｄｘ＝－（１－ｃｏｓｘ）ｄｃｏｓｘ＝∫４２（３）ｓｅｃｘｄｘ＝（ｔａｎｘ＋１）ｄｔａｎｘ＝∫１３ｔａｎｘ＋ｔａｎｘ＋Ｃ３（４）１ｄｘ＝１－ｃｏｓｘｘｄｘ＝－ｃｏ＋Ｃ２２ｘ２ｓｉｎ２１（５）ｓｉｎｘｓｉｎｘ（１－ｓｉｎｘ）ｓｉｎｘ２ｄｘ＝ａｎｘｄｘｄｘ＝ｘ－ｔ２２ｄ１＋ｓｉｎｘｃｏｓｃｏｓｘｘ∫２ｅｃｘ－１ｄｘ＝ｓｅｃ－ｔａｎｘ＋ｘ＋Ｃ＝ｓｅｃｘ－ｓ∫（６）ｓｉｎｘ１ｓｉｎ＋ｃｏｓｘ－（ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｄｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１１ｘｌｎｓｉｎｘ＋ｃｏｓ＋Ｃ２２
２１ｓｅｃｘｔａｎｘ１（７）ｒｃｔａ＋Ｃｘ＝ｄｘ＝２２ｄ２ｓｉｎｘ＋２ｔａｎｘ＋２ｃｏｓｘｘｅ１１ｘ； （２）ｘ （３）ｘｄｘ３．（１）ｘｄｘｄ－ｘ１＋ｅ１＋ｅｅ＋ｅｘｅ１ｘｘ解 （１）ｄｘ＝ｄ（１＋ｅ）＝ｌｎ（１＋ｅ）＋Ｃｘｘ１＋ｅ１＋ｅｘｘ１１＋ｅ－ｅｘｘ＝ｘ＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅ）＋Ｃ（２）ｘｄｘｄ１＋ｅ１＋ｅｘ１ｅｘ（３）ｘｄｘ＝ａｒｃｔａｎｅｄｘ＝＋Ｃ－ｘｘ２ｅ＋ｅ（ｅ）＋１４．ｘｄｘ２ｘ＋ｘ＋１
解 ２ｘ１２ｘ＋１－１１（１ｘ＋ｘ＋１）ｌｎｄｘ＝ｄｘ＝２２２ｘ２２ｘ＋ｘ＋１＋ｘ＋１(１ｘ１２３ｘ４２)
１ｘ２ｘ１（１２＋１）ｒｃｔａ＋Ｃ＝ｌｎｘ＋２／２—３０—
《微积分》考点精讲
ｘ－ｘｘ【例５】 １）已知ｆ′（ｅ）＝ｘｅ，且ｆ（１）＝０，求ｆ（ｅ）
ｘ２（ｘ）ｄｘ＝ｅ＋Ｃ，ｘｆ（１－ｘ）ｄｘ＝２）ｆ∫
∫２∫３）ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，ｘ＝ａｔ＋ｂ，ｆ（ｔ）ｄｔ＝
ＡＦ（ｘ）＋Ｃ
１（ａｔ＋ｂ）＋ＣＣＦａ
ｘｘｘｘ解 （１）ｅｆ′（ｅ）＝ｘ ｆ′（ｅ）ｅｄｘ＝ｘｄｘ∫ＢＦ（ｔ）＋ＣＤＦ（ａｔ＋ｂ）＋Ｃ∫∫
ｘｆ（ｅ）＝１２１２ｘｘ＋Ｃ ｆ（１）＝０ ∴ｆ（ｅ）＝ｘＣ＝０２２
２２１１（２２１－ｘ）ｆ（１－ｘ）ｄ（１－ｘ）ｅ＋Ｃ２２２（２）ｘｆ（１－ｘ）ｄ∫∫
（３）选“Ｂ”
【例６】 设Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一个原函数，Ｆ（ｘ）＞０，Ｆ（０）＝１，当ｘ＞０时ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ求ｆ（ｘ）解 ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ
Ｆ′（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ
∫１２１ｉｎ２ｘ＋ＣＦ（ｘ）Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝ｃｏｓ２ｘｄｘ（ｘ）＝ｓ２２∫
１（ｘ）＝Ｆ（０）＝１ Ｃ Ｆ２
ｃｏｓ２ｘｃｏｓ２ｘｆ（ｘ））Ｆ（ｘ３．第二换元法（三角代换，无理代换，倒代换等）
【例８】 （１）－ｘｄｘ解 令ｘ＝ａｓｉｎｔ １＋１≤
２２２原式＝ａｃｏｓｔｄｔ＝ａπ２∫ｃｏｓ２ｔｄｔ１－
２
１２ｔ＝ａｓｉｎ２ｔ＋Ｃ２４
２２－ｘａπａｘｒｃｓｉ·＋Ｃ＝ａ２２２ａａ
２ａπｘ＝ａｒｃｓｉ－ｘ＋Ｃ２２２()
（２）ｘ＋ａ１
解 ｘ＝ａｔａｎｔ ≤２
—３１—
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原式＝∫１２ａｓｅｃｔｄｔａｓｅｃｔ
＝ｓｅｃｔｄｔ
＝ｌｓ＋Ｃｅｃｔ＋ｔａｎ
＝ｌｎ（ｘ＋ｘ＋ａ）＋Ｃ
（３）ｄｘ－ａ１
解 令ｘ＝ａｓｅｃｔ
原式＝１ａｓｅｃｔｔａｎｔｄｔａｔａｎｔ
＝ｌｎ｜ｓｅｃｔ＋ｔａｎ－１｜＋Ｃ
－ａ）＋Ｃ＝ｌｎ（ｘ＋ｘ
【例９】 （１）１１１ｄｘ； （２）ｄｘｘ （３）１＋（ｘ＋３）＋ｅ解 （１）令＝ｔ
１１ｄｘ＝·２ｄｔ＝２ａｒｃｔａｎ＋Ｃ＝２ａｒｃｔａｎ＋Ｃ２（ｔ＋１）（ｘ＋３）（２）令＋ｅ＝ｔｘ＝＋ｅ１１２ｔ＋ｅ－＋Ｃ＝ｌ－＋Ｃ·２ｄｔ＝ｌｔｔｔ－１ｔ＋＋ｅ＋（３）令５２１６ｔｔ＋１－１＝３ｔ＝６ｔ＝６（ｔ－ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ２２ｄｔ（１＋ｔ）１＋ｔ１＋＝６－ａｒｃｔａ＋Ｃ【例１０】 １ｄｘｘ（ｘ＋１）６解 原式 ５６ｘ１ｘｎ６＋Ｃｄｘ＝ｌ６６６ｘｘ（ｘ＋１）＋１()
４．分部积分法
【例８】 求下列不定积分
（２）ｘｓｉｎｘｄｘ；∫∫
解 （１）ｘｅｄｘ＝∫ｘｄｅ＝ｘｅ－∫ｅｄｘ＝（ｘ－１）ｅ＋Ｃ∫
（２）ｘｓｉｎｘｄｘ＝－∫ｘｄｃｏｓｘ＝－（ｘｃｏｓｘ－∫ｃｏｓｘｄｘ）＝－（ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ）＋Ｃ∫
２．（１）ｘｌｎｘｄｘ（２）ａｒｃｔａｎｘｄｘ（３）ａｒｃｓｉｎｘｄｘ∫∫∫ｘ１．（１）ｘｅｄｘｘｘｘｘｘ２
—３２—
《微积分》考点精讲
２２２２ｘｘｘｘｘ解 （１）ｘｌｎｘｄｘ＝ｌｎｘ＝ｌｎｘ－ｄｘ＝ｌｎｘ＋Ｃ２２２２４∫∫ｒｃｔａｎｘｄｘ＝ｘａｒｃｔａｎｘ－（２）ａ∫
∫ｘ１２ｄｘ＝ｘａｒｃｔａｎｘｌ）＋Ｃｎ（１＋ｘ２２１＋ｘ
２２（３）ａｒｃｓｉｎｘｄｘ＝ｘａｒｃｓｉｎｘ－２∫ｘａｒｃｓｉｎｘｘ－ｘ２＝ｘａｒｃｓｉｎｘ＋２ａｒｃｓｉｎｘｄ－ｘ
２＝ｘａｒｃｓｉｎｘ＋２（－ｘａｒｃｓｉｎｘ－１ｄｘ）２ｘ＋２（－ｘａｒｃｓｉｎｘ－ｘ）＋Ｃ＝ｘａｒｃｓｉｎｘ３．（１）ｅｓｉｎｘｄｘ∫∫∫
解 （１）ｅｓｉｎｘｄｘ＝∫ｓｉｎｘｄｅ＝ｓｉｎｘ·ｅ－∫ｅｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ·ｅ－∫ｃｏｓｘｄｅ∫３（２）ｓｅｃｘｄｘｘｘｘｘｘｘ
ｘｘｘ＝ｅｓｉｎｘ－ｅｃｏｓｘ－ｅｓｉｎｘｄｘ∫
ｘｓｉｎｘｄｘ＝∴ｅ∫１ｘｅ（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）＋Ｃ２
３（２）ｓｅｃｘｄｘ＝ｓｅｃｘｄｔａｎｘ＝ｓｅｃｘｔａｎｘ－ｔａｎｘｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ∫∫∫
３ｅｃｘ－ｓｅｃｘｄｘ＝ｓｅｃｘｔａｎｘ－ｓ∫
３∴ｓｅｃｘｄｘ＝∫１ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ＋ｌｎｓ）＋Ｃｅｃｘ＋ｔａｎ２
（２）４．（１）ｘｃｏｓｘｘ３ｓｉｎｘｘｘｅｄｘ２（ｘ＋１）
解 （１）ｘｃｏｓｘ１１－２－２－２ｄｘｄｓｉｎ（ｘｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｄｘ）３２２ｓｉｎｘ∫∫
１ｘｏｔｘ＋Ｃ２＋ｃ２ｓｉｎｘ()
ｘｘｘｅ１ｘｅｘｘ（２）ｄｘ＝－ｘｅ＝－－ｅｄｘ２ｘ＋１ｘ＋１（ｘ＋１）∫(∫)
ｘｘｅｘ＝－＋Ｃ－ｅｘ＋１()
２ｘ２（ｔａｎｘ＋１）ｄｘ５．ｅ∫
２ｘ２２ｘ解 原式＝ｅｓｅｃｘ＋ｅ２ｔａｎｘｄｘ∫
２ｘ２ｘ２ｘ＝ｅｔａｎｘ－２ｅｔａｎｘｄｘ＋ｅ·２ｔａｎｘｄｘ
２ｘ＝ｅｔａｎｘ＋Ｃ∫∫
—３３—
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【例９】 设函数ｆ（ｘ）的一个原函数是ｓｉｎｘ
ｘ，求积分∫ｘｆ′（ｘ）ｄｘ．
解 ∫ｘｆ′（ｘ）ｄｘ＝∫ｘｄｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）－∫ｆ（ｘ）ｄｘ
＝ｘ·(ｓｉｎｘ
ｘ)′ｓｉｎｘ
ｘ＋Ｃ
＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｉｎｘ
ｘｓ
ｘ＋Ｃ
５．几类特殊类型函数的积分
（１）有理函数的积分
（２）三角函数的积分
（３）指数函数的积分
（４）简单无理函数的积分
（５）分段函数的积分
【例１０】 ∫ｍａｘ（１，ｘ２，ｘ３）ｄｘ
≥１
解 ｍａｘ（１，ｘ２，ｘ３）＝{ｘ３ｘ１｜ｘ｜≤１
ｘ２ｘ＜－１
?１
?４ｘ４＋Ｃ１ｘ≥１
∫ｍａｘ（１，ｘ２，ｘ３）ｄｘ＝??ｘ＋Ｃ２≤１
???１
３ｘ３＋Ｃ３ｘ＜－１由原式数的连续性知
{１
４＋Ｃ１＝１＋Ｃ２
Ｃ１
２－１＝Ｃ３３
令Ｃ２＝Ｃ Ｃ１＝Ｃ３
４ Ｃ３＝Ｃ２
３
第二节 定积分
１．定积分的概念
（１）定积分的定义
【例１】 求下列极限
１．ｎｌ→ｉ∞ｎ
—３４—
《微积分》考点精讲
１ｎ！ｎｎｎｉｍ解 ｌｉ＝ｌｎｎ→∞ｎ→∞…＋＋＋)＝ｅｌｉ(１２ｎ１
ｎ→∞＝ｅｓ′ｌｎｘｄｘ０
－１＝ｅ
【例２】 设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ｆ（ｘ）ｄｘ，求ｆ（ｘ）０∫１
解 令ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ０∫１
ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ｋ
１ｆ（ｘ）ａｘ＝∫ｘ＋２ｋｄｘ＝＋２ｋ＝ｋ∫２００１１
∴ｆ（ｘ）＝ｘ－１
２．定积分的性质
（１）区间可加性
（２）比较性质
（３）估值定理
（４）积分中值定理
３．重要公式１２
１）若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上连续且为偶函数，则
ｆ（ｘ）ｄｘ＝２∫ｆ（ｘ）ｄｘ；∫－ａ０ａａ
若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上连续且为奇函数，则
ｆ（ｘ）ｄｘ＝０∫－ａａ
２）０ａ２ａπ－ｘｄｘ＝４３）设ｆ（ｘ）是以ｌ为周期的连续函数，证明
∫ａａ＋ｌｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．０∫ｌ
４）Ｉｎ＝ｓｉｎｘｄｘｃｏｓｘｄｘ(＝)＝ｎｎ００ππ{ｎ－１ｎ－３３１π·…··，ｎ为正偶数ｎｎ－２４２２ｎ－１ｎ－３４２·…·，ｎ为大于１的正奇数ｎｎ－２５３
π５）ｘｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝２０∫
∫０ππｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ∫０πｎ６）ｓｉｎｘｄｘ＝２ｓｉｎｘｄｘ０ｎ—３５—
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４．定积分的计算
（１）牛顿—莱布尼兹公式
【例５】 求下列积分１ｄｘ，１＋ｘ）１
４１解 ｘ＝２ａｒｃｔａ１１＋ｘ）１４４
＝２ａｒｃｔａｎ２４
（２）对称性【例６】 求下列积分
（１）（ｘ＋ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘｄｘ３２２
ππ()
１２４解 原式＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝２ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘａｘ＝２１·π３１·π＝π８００２２４２２３
０２２２２()（２）（ｘｌｎ（ｘ＋＋ｘ）－－ｘ）ｄｘ∫２－３３解 原式＝２
（３）π９９ππ－－ｘｄｘ＝－２·∫４２４８（ｘａｒｃｔａｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）ｄｘ２
π４８解 原式＝２ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｄｘ０２
＝２·３１７５３１··＋２·····４２２８６４２２
８３＝π１２８
（４）∫－１１２ｆ（ｘ）（ｘ＋１）ｄｘ，，ｙ，ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｘ
解 ∵ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）
ｆ（ｘ－ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝ｆ（０）
ｆ（０＋０）＝ｆ（０）＋ｆ（０） ｆ（０）＝０
∴ｆ（ｘ）为奇函数
∴ｆ（ｘ）ｆ（ｘ＋１）ｄｘ＝０∫２
－１１
ｘ＋＋ｘ（５）－ｘｌｄｘ，－１２１解 原式＝－ｘ（ｌｎｘ＋＋ｘ－ｌｎ２）ｄｘ－１１
＝－２ｌｎ２－ｘｄｘ０１
—３６—
《微积分》考点精讲
ｌｎ２２
（３）换元法
２ｓｉｎｘｄｘ【例７】 （１）π－ｘ１＋ｅ解 令ｔ＝－ｘ
２ｓｉｎｘ设Ａ＝πｄｘ＝－ｘ１＋ｅπ２ｓｉｎｔｄｔｔπ１＋ｅπｘｅ１２Ａ＝πｓｉｎｘｄｘ＝ｘｘ１＋ｅ１＋ｅ(２４)１－ｃｏｓ２ｘπ１ｓｉｎｘｄｘ＝２ｄｘ＝２(２８４)２
π４４０
∴Ａ＝１π１８４ｘｒｃｔａｎｅｄｘ，（２）ａ－１∫
１
－１解 令ｔ＝－ｘＡ＝∫
１ｘａｒｃｔａｎｅｄｘ＝ａｒｃｔａｎｅｄｔ∫－ｔ－１１２Ａ＝
Ａ＝ｄｘ＝ππ２－１π
２
【例８】 （１）
解 令ｔ＝设Ａ＝
２Ａ＝
Ａ＝（２）０２０１２ｓｉｎｘｘ２０１２２０１２ｄｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘπ－ｘ２０π２０１２ｓｉｎｘｘ＝２０１２２０１２ｄｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ０π２０１２ｃｏｓｔｔ２０１２２０１２ｄｃｏｓｔ＋ｓｉｎｔπｄｘ＝２０２π４０
π１ｄｘα１＋ｔａｎｘπ－ｘ２解 令ｔ＝Ａ＝０
π１ｄｘ＝α１＋ｔａｎｘ０π１ｄｔα１＋ｃｏｔｔ２Ａ＝
Ａ＝ｄｘ＝２０π
４
—３７—
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【例９】 （１）
０
π
ｘｓｉｎｘ
ｘ２ｄ１＋ｃｏｓｘ
２π
ｉｎｘππｓππ
ｒｃｔａｎｃｏｓ解 原式＝ａ＝２ｄ２０１＋ｃ２４ｏｓｘ０
∫
４
（２）ｘｓｉｎｘｄｘ
０
∫
π
２２３１π３ππ４π４解 原式＝ｓｉｎｘｄｘ＝πｓｉｎｘｄｘ＝π···＝
０２０４２２１６
【例１０】
ｌｎ（１＋ｔａｎｘ）ｄｘ０
π
解 令ｔ＝
π
－ｘ４
４
１－ｔａｎｔｄＡ＝ｌｔ＝ｌｔ＝ｌｎ（１＋ｔａｎｘ）ｄｘ＝ｌｎ１＋ｔａｎπ－ｔｄｎ１ｎ２－ｌｎ（１＋ｔａｎｔ）ｄｔ
００００４ｔ１＋ｔａｎ
４
[
４
()][
４
]
２Ａ＝Ａ＝
ｌｎ２４
πｌｎ２８
（４）分部积分法【例１２】 （１）
０
１
ｌｎ（１＋ｘ）
ｘ２ｄ（２－ｘ）
１１
１１１ｌｎ（１＋π＝·ｄｘ解 原式＝ｌｎ（１＋ｘ）－
０２－ｘ２－ｘ００２－ｘｘ＋１
∫
１
１ｘ－＝ｌｎ２ｌ３ｘ＋（ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ）
（２）ｘ
１０
２１
＝ｌｎ２ｌｎ２＝ｌｎ２
３３
π
ｘ
解 原式＝
＝
ｘ－πｘｘπｘπｓｉｎｘ
ｄｘ＝π
ππ
ｘ
ｄ＋２πππｘ
＋)(－ｄｘ＝ππ
２
【例１３】 ｆ（２）＝１，ｆ′（２）＝０，ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，ｘｆ″（２ｘ）ｄｘ＝
０
０
１
∫
２
∫
１
２解 ｘｆ″（２ｘ）ｄｘ
０
１１１
１１２２＝ｘｆ′（２ｘ）ｄｘ）ｘｄｆ′（２ｘ）＝（ｘｆ′（２ｘ－２
０２０２０
∫
１
∫∫
１１１
１１＝ｘ（２ｘ）ｄｘ）ｆ′（２ｘ）ｄｘ＝ｘｄｆ（２ｘ）＝（ｘｆ（２ｘ－ｆ
００２０２０
∫∫
１１１
＝ｆ（２ｘ）ｄｘ２２０
∫
—３８—
《微积分》考点精讲
１１２＝ｆ（ｕ）ｄｕ２４０∫
＝１
４
２ｘ【例１４】ｆ（ｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）＝１）计算ｘ０∫１１ｓｉｎｔｄｔｔ
２２ｘｘ解 ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）＝·００２２∫１∫１ｉｎｘｓｉｎｔ１－１ｘ·ｓｘｄｘｄ２·２０２１ｔｘ０２ｘ２２２＝１ｃｏｓｘ２１０＝
２）计算积分
解 π１（ｃｏｓ１－１）２ｘπｓｉｎｔｆ（ｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）＝ｄｔ∫ｔ０π
∫０πｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘｆ（ｘ－ｘ·０
０∫πｓｉｎｘｘｘ
＝－ｓｉｎｘｄｘ０∫π
＝－２
（５）分段函数的积分
【例１５】
２１）ｍａｘ（ｘ，ｘ）ｄｘ－２２∫
解 原式＝
＝ｘｄｘ＋∫ｘｄｘ＋∫ｘｄｘ∫２２－２０１０１２８１７３２３
１１＝２
２）设ｆ（ｘ）＝{≤０ｘ＋１－１≤ｘ
ｘ０＜ｘ≤１，Ｆ（ｘ）＝
ｘｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ－１，１］的表达式．∈［∫－１ｘｘ解 当－１≤ｘ（ｘ）＝≤０时 Ｆ
０＜ｘ Ｆ（ｘ）＝≤１ｘ∫－１ｆ（ｔ）ｄｔ＝∫－１ｔ＋１ｄｔ＝１２（ｘ＋１）２ｆ（ｔ）ｄｔ＝∫１＋ｔｄｔ＋∫ｔｄｔ∫－１－１００ｘ
＝１１２ｘ２２
３）设ｆ（ｘ）＝{－ｘｘｅ，２ｘ≥０（ｘ－２）ｄｘ，计算ｆ１１，－１＜ｘ＜０１＋ｃｏｓｘ
—３９—∫４
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解 令ｘ－２＝ｔ ｆ（ｘ－２）ｄｘ＝
１
∫
４
ｆ（ｔ）ｄｔ∫
－１０
２
２
２１－ｔｅｄｔ＝ｄｔ＋ｔ
－１１＋ｃ０ｏｓｔ
∫
２０
０
２ｔ－ｔ
＝ｔａ１ｅ
２－２１
１１－４
＝ｔａ（１－ｅ）
２２
（６）含绝对值的积分【例１６】
ｘ； （２）ｘ（１）１ｌ－４ｘ＋４ｄｘ； （３）ｔｎｄｄ－２０
π０
ｅ
５
１
（４）
ｘ （５）ｘ０
π
（１）解
２
－ｌｎｘｄｘ＋∫ｌｎｘｄｘ＝２ｘ＝ｌｎｄｅ
１
１ｅｅｅ
１
（２）解
２５
ｘ＋４ｄｘ＝ｘ－２）ｄｘ＝∫２－ｘｄｘ＋∫ｘ－２ｄｘ＝－４２
－２１
－２
－２
２
５５２５
（３）解 ｔｘｄ０
２
当ｔ－ｘｄｘ＝ｔ≥１时 原式＝ｔｔ
０
∫∫
０１
１
ｔ
２
ｘ－ｔ）ｄｘ＝当ｔ≤０时 原式＝ｔ（当０＜ｔ＜１时 原式＝（４）解
π
ｔ２
－ｔ２
(∫
０π０
ｔ
ｔ－ｘｄｘ＋ｘ－ｔｄｘ＝ｔ－ｔｔ
∫
１
)
３２
ｔ
２
ｘ＝０
πｘｘｘｘｘｘｄｘ＝ｃｏ－ｓｉｄｘ＋ｓｉ－ｃｏｄｘｓｉ－ｃｏ０２２２２２２＝４－４（５）解
０－ｘ
π
ｘ＝０
π
ｃｏｓｘｄｘ＝０
ｏｓｘｄｘ＋－ｏｓｘｄｘ＝２π
（７）广义积分【例１７】（１）（４）
ｅｄｘ （２）∫ｘ∫
０
０
＋∞
＋∞
－ｘ＋∞
ｘｅ１
ｄｘｄｘ （３）－ｘ２２２
０（１＋ｅ）（ｘ＋１）（ｘ＋４）
∫
－∞
＋∞
＋＋∞∞
１１１
ｄｘ （６）ｄｘ （５）ｄｘ２２α００（ｘ（ｘ＋４ｘ＋９）＋１）（１＋ｘ）１＋ｘ）∫∫
（１）解
ｅｄｘ＝－（ｘ＋１）ｅ∫ｘ
－ｘ
０＋∞
－ｘ
＋∞
＋∞
＋∞－ｘ
０
＝１
ｘ
（２）解
ｘｅｘｅ
ｄｘ＝∫ｄｘ＝(ｘ－ｌｎ∫（１＋ｅ）（１＋ｅ）
０
－ｘ２
０
ｘ２
ｘ（１＋ｅ）
ｘ
ｘ１＋ｅ
)
＋∞
＝ｌｎ２
０
—４０—
《微积分》考点精讲
（３）解
∫
０
＋∞
∞
１１＋１１
ｄｘｄｘ＝２２２２
３０ｘ＋１ｘ＋４（ｘ＋１）（ｘ＋４）
∫()
１１ｘ＝ａｒｃｔａｎｘｒｃｔａ３２２
()
＋∞
０
π＝１２
（４）解
∫
－∞
＋∞
１
ｘ＝２
ｘ＋４ｘ＋９
－∞
０
＋∞
１１
ｄｘ＋ｄｘ２２
０（ｘ＋２）＋５（ｘ＋２）＋５
∞
ｘ＋０ｘ＋＋１１
＝ｒｃｔａｒｃｔａ０－∞＝π５
（５）解 （６）解 令ｕ＝
０
＋∞
＋∞
１
ｄｘ＝２ａｒｃｔａｎ＝π１＋ｘ）０∫
０
＋∞
１
ｄｘ 令ｘ＝ｔａｎｔ 原式＝２α
（ｘ＋１）（１＋ｘ）１
ｄｔ１＋ｔａｎｔ
０
α
π
π
－ｔ２
０
π１
ｄｔ＝α
１＋ｔａｎｔ
０
π
１１１１
ｕ＝ｄｔααα
２０１＋ｔ１＋ｃｏｔｕａｎｔ１＋ｃｏｔｔ
π
１π
＝ｄｔ＝２０４
π
【例１８】（１）
ｘｘｘ－１
－２
－１
１
解
－２
－１
ｘ＝ｘｘ－１
１
－２
－１
１
２
－ｘ
１２
ｘ
１
ｘ＝ａｒｃｓｉｘ－１
－２
π
３
（２）
１
ｄｘｘ（１－ｌｎｘ）
２
４
４
１１
解 原式＝ｄｘ＋ｘ
２ｘｅｘ（１－ｌｎｘ（１－ｌｎｘ））
ｅ
ｅ４
＝－ｌｎ１－ｌｎ２
＋（－ｌ１－ｌｎｅ
发散
（８）定积分不等式的证明
【例１９】 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，证明柯西不等式：ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ[∫]
ａｂ
２
ｂ
ｂ
≤
ｆ（ｘ）ｄｘｇ（ｘ）ｄｘ∫∫
２
２
ａ
ａ
ｘ
２２２
证明 令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｔ）ｄｔｇ（ｔ）ｄｔ－（ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ）
ａ
ａ
ａ
∫∫
ｘ
∫
ｘ
—４１—
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Ｆ（ａ）＝０
Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｔ）ｄｔ＋ｇ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ－２ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔａａａ
２＝（ｆ（ｘ）ｇ（ｔ）－ｆ（ｔ）ｇ（ｘ））ｄｔ≥０ａ２∫ｘ２２∫２ｘ∫ｘ∫
ｂ４∴Ｆ（ｘ）≥０ 取ｘ＝ｂ即可得ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ(∫)ａ２≤ｆ（ｘ）ｄｘｇ（ｘ）ｄｘ∫∫２２ａａｂｂ
【例２０】 设ｆ（ｘ）在［０，１］可导，ｆ（０）＝０，０＜ｆ′（ｘ）．≤１
试证：ｆ（ｘ）ｄｘ(∫)０１２≥ｆ（ｘ）ｄｘ∫３０
ｘ３（ｔ）ｄｔｆ（ｔ）ａｔ－０ｆ２１证明 令Ｆ（ｘ）＝
Ｆ（０）＝０(∫)０∫ｘ
３Ｆ′（ｘ）＝２ｆ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）０∫
ｘ
０ｘ２＝ｆ（ｘ）２ｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）
ｘ(∫)３ｆ（０）＝０ ｆ′（ｘ）＞０ ∴ｆ（ｘ）＞０ 令φ（ｘ）＝２ｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）０∫
（０）＝０φ
′（ｘ）＝２ｆ（ｘ）－２ｆ（ｘ）ｆ′（ｘ）φ
＝２ｆ（ｘ）（１－ｆ′（ｘ））＞０
∴Ｆ′（ｘ）＞０ 可得Ｆ（ｘ）＞０
取ｘ＝１有
ｆ（ｘ）ｄｘ(∫)０１２≥ｆ（ｘ）ｄｘ∫３０１
ａ＋ｂ【例２１】 设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上有二阶导数，且＝０，证明：２()
∫３Ｍ（ｂ－ａ），其中Ｍ＝ｍａｘ｛ｆ″（ｘ）｝ｆ（ｘ）ｄ≤ｘａ，ｂ］∈［２４ａｂ
证明 设Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｔ）ｄｔａ∫ｘ
Ｆａ＋ｂ
２（）ξａ＋ｂ２Ｆａ＋ｂ３Ｆ（ｘ）＝Ｆａ＋ｂ＋Ｆａ＋ｂｘａ＋ｂｘｘ２！３！２２２２２(
())(()())()()()Ｆａ＋ｂ
２３Ｆ（）（ξｂ－ａ２（ｂ－ａ）ｂ－ａ）１ａ＋ｂａ＋ｂＦ（ｂ）＝Ｆ＋Ｆ２！４！８２３２２
Ｆａ＋ｂ
２３Ｆ（）（ξａ－ｂ２（ｂ－ａ）ａ－ｂ）２ａ＋ｂａ＋ｂ＋ＦＦ（ａ）＝Ｆ２２！４３！８２２()()()()
—４２—
《微积分》考点精讲
３）＋ｆ″（）ｆ″（ξξ（ｂ－ａ）１２Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ＝ａ３８！∫ｂ
∫３３（ｂ－ａ）ｆ″（）＋ｆ″（Ｍ（ｂ－ａ）ξξ１２≤ｆ（ｘ）ｄ＝２４２４ａ２ｂ
５．积分的应用
（１）定积分的微元法
（２）几何应用ａ）平面图形面积直角坐标，参数方程和极坐标
ｂ）旋转体体积
ｃ）平面曲线的弧长直角坐标，参数方程和极坐标
【例２２】 求由曲线ｙ＝ｌｎｘ与两直线ｙ＝ｅ＋１－ｘ及ｙ＝０所围成的平面图形的面积
ｙ＋１－ｙ－ｅｄｙ＝解 面积为ｅ０∫
ａ１３２【例２３】 求下列曲线所围图形的面积３３（１）ｘ＝ａｃｏｓｔ，ｙ＝ａｓｉｎｔ解 面积为４ｙｄｘ＝４３ａｓｉｎｔｃｏｓｔｄｔ＝１２ａ００
２∫ｓｉｎｔ（１－ｓｉｎｔ）ｄｔ＝１２ａ(３·１·π５·３·１·π)４２２６４２２２４２２０４２
＝３２ａπ８
２π（２）摆线ｘ＝ａ（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝ａ（１－ｃｏｓｔ）的一拱与横轴解 面积为Ａ＝ｄｘ＝∫ａ（１－ｃｏｓｔ）ｄｔ∫ｙ２２
００２ａπ
２＝ａ（１－２ｃｏｓｔ＋ｃｏｓｔ）ｄｔ∫２
０２π
２ａ＝３π
２【例２４】 （１）求双扭线ρ＝２ｃｏｓ２所围成区域的面积θ
解 Ａ＝４０
ππ４１２ｄ＝２２ｃｏｓ２ｄ＝２ｓｉｎ２θθθ＝２０２０π２（２）求ρｉｎ２，＝ｏｓ所围成区域的面积θρθ解 Ａ＝＝０１１ｉｎ２）ｄ＋ｏｓ）ｄθθθθπ２２ππ （０≤ｘ）≤π６
π【例２５】 求曲线ｙ＝ｓｉｎｘ与ｘ轴所围图形分别绕ｘ轴，ｙ轴，ｙ＝１旋转所成立体体积．πｓｉｎｘｄｘ＝２ｉｎｘｄｘ＝解 Ｖππｓｘ＝００２∫π２２２
ππ２Ｖ２ｘｓｉｎｘｄｘ＝２·ｓｉｎｘｄｘ＝２πππｙ＝０２０∫π∫
绕ｙ＝１旋转的体积
—４３—
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Ｖ＝∫ππ１２ｄｘ－∫π
０π（１－ｓｉｎｘ２０）ｄｘ
＝π２－(π２２
－４ππ２)
２
＝４ππ２
【例２６】 过原点作曲线ｙ＝ｌｎｘ的切线，
（１）求切线，曲线及ｘ轴所围图形的面积
解 设切点为（ｘ０，ｌｎｘ０）
ｌｎｘ０－０
ｘ１ ｘ
０－０ｘ０＝ｅ
０
切线为ｙｘ
ｅ
面积为∫１
０ｅｙ－ｅｙｄｙ＝ｅ２－１
（２）求此图形绕直线ｘ＝ｅ旋转一周所成立体体积解 体积为Ｖ＝１１
３πｅ２－∫０π（ｅ－ｅｙ）２ｄｙ＝５２π
６πｅ－２πｅ２
—４４—
《微积分》考点精讲
第四章 多元函数微分学
一、二元函数
１、二元函数的解析式
２ｘｙ，求ｆ（ｘ，ｆ（ｘ，ｘ））【例１】 设ｆ（ｘ，ｙ）ｘ＋ｙ
２２ｘｘｘ解 ｆ（ｘ，ｘ）ｘ＋ｘ２
２ｘｘ·２ｘ２ｆ（ｘ，ｆ（ｘ，ｘ））＝ｆｘ２２ｘｘ２()
２ｘ２２＋ｘ
ｙ２２【例２】 设ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｘ－ｙ，求ｆ（ｘ，ｙ）ｘ
解 令ｕ＝ｘ＋ｙ
ｖｙ
ｘ
２２ｕ２ｕｖ２ｕ（１－ｖ）ｆ（ｕ，ｖ）＝－２１＋１＋ｖｖ（１＋ｖ）()()
２２（１－ｙ）ｘ∴ｆ（ｘ，ｙ）２（１＋ｙ）
２、二元函数的极限
ｘｙ２２ｙ≠０２ｘ＋ｘ＋ｙ，讨论Ｐ（ｘ，ｙ）【例３】 设ｆ（ｘ，ｙ）＝（０，０）时函数极限→Ｏ２{
０２２＋ｙ＝０ｘ
解 取ｙ＝ｋｘ
２ｘｙｋｘｋｌｉｍ２２＝ｌｉｍ３２２２ｘ０ｘ＋→０ｘ＋ｙｘｋｘ１＋ｋｙ＝ｋｘ
其极限随ｋ变化而不同
∴ｌｉｍｘｙ不存在２ｘ→０ｘ＋ｙｙ→０２
２ｙｘ２２ｙ≠０４２ｘ＋ｘ＋ｙ，讨论Ｐ（ｘ，ｙ）（０，０）时函数极限【例４】 设ｆ（ｘ，ｙ）＝→Ｏ{
０２２ｘ＋ｙ＝０
２解 取ｙ＝ｋｘ
—４５—
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２
ｌｘｉｙ＝→ｍｘｙｋｘ４ｋ０ｋｘ２ｘ４＋ｙ２＝ｌｘｉ→ｍ０ｘ４＋ｋ２ｘ４１＋ｋ２随ｋ变化而不同
２
∴ｌｘｉｍｘｙ４２不存在
ｙ→０→０ｘ＋ｙ
【例５】ｌｘｉｘ＋ｙｙ→０→０－１
解 令ｘ＋ｙ＝ｕ
原式＝ｌｉｍｕ
ｕ→０＝ｌｕ＝２－１ｕｉ→ｍ０１
２【例６】 （１）ｌｘｉｍ（ｘ２＋ｙ２）ｓｉ１ｙ→０→０ｘ２＋ｙ２
解 原式＝０（无穷小与有界量之积）
（２）ｌｘ３＋ｙ３
ｘｉｙ→０→０ｘ２＋ｙ２
解 ｌｘ３＋ｙ３ｘ２
ｘｉ２２＝ｌ
ｙ→０ｘｉｍ２２ｘｙ２２２·ｙ＝０
→０ｘ＋ｙｙ→０→０(ｘ＋ｙｘ＋ｙ)
【例７】 （１）ｌｘｙｘｉｙ→０ｘ＋ｙ→０
ｘ２＋ｙ２
解 ０≤ｘ２＋ｙｘ＋ｙ＋ｙ２
而ｌｘｉ＋ｙ＝０ｙ→０→０２
∴ｌｉｘｙ
ｘｙ→０→０＋＝０ｙ
（２）ｌｉｍ（ｘ２＋ｙ２）２ｘ２ｙ２
ｘｙ→０→０
解 原式＝ｌ２ｘ２ｙ２ｌｎ（ｘ２＋ｙ２）
ｘｉｍｅｙ→０→０
(２０≤ｘｎ（ｘ２＋ｙ≤ｘ＋ｙ２)２２ｙ２ｌ２
２ｌｎ（ｘ２＋ｙ２而ｌｕｉ→ｍ４０ｕｌｎｕ＝０
∴ｌｘｉ（ｘ２＋ｙ２）２ｌｎ（ｘ２＋ｙ２＝０ｙ→０→０４
∴ｌｉｍ（ｘ２＋ｙ２）２ｘ２ｙ２
ｘ＝１ｙ→０→０
３、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论
（１）函数在（ｘ０，ｙ０）处连续ｌｘ→ｉｍｘｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ０，ｙ０）
ｙ→ｙ０
０
（２）函数在（ｘ０，ｙ０）处的偏导
—４６—
ｆ′ｆ（ｘ０＋Δｘ，ｙ０）－ｆ（ｘ，ｙ）ｘ（ｘ０，ｙ０）＝００
Δｌｉｘ→０Δｘ
或
ｆ′ｆ（ｘ，ｙ０）－ｆ（ｘ，ｙ）
ｘ（ｘ０，ｙ０）＝ｌ００
ｘ→ｉｘ０ｘ－ｘ０
（３）．函数在（ｘ０，ｙ０）处可微
Δｌｉｆ（ｘ０＋Δｘ，ｙ０＋Δｙ）－ｆ（ｘ０，ｙ０）－ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）Δｘ－ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）Δｙ＝０Δｘｙ→０→０ｘ＋Δｙ
ｘｙ２２
【例８】 设ｆ（ｘ，ｙ）＝{ｘ２＋ｙ２，ｘ＋ｙ≠０试问该函数在点（０，０）处
０，ｘ２＋ｙ２＝０
（１）是否连续？（２）偏导数是否存在？
解 ｆ（ｘ，ｙ）在（０，０）处不连续 ∵ｌｘｙ
ｘｉｙ→０→０ｘ２＋ｙ２不存在
ｆ′ｆ（ｘ，０）－ｆ（０，０）０－
ｘ（０，０）＝ｌｘｉ→０ｘ－０＝ｌｘｉ→００ｘ－０＝０
同理 ｆ′ｙ（０，０）＝０
【例９】 设ｆ（ｘ，ｙ）＝{ｘｙｘ＋ｙｘ２＋ｙ２≠０试问该函数在点（０，０）处
０，ｘ２＋ｙ２＝０
（１）是否连续？（２）偏导数是否存在？（３）是否可微？
解 ｌｘｙ
ｘｉｙ→０→０＋＝０＝ｆ（０，０）ｙ
∴ｆ（ｘ，ｙ）在（０，０）处连续
（２）ｆ′ｆ（ｘ，０）－ｆ（０，０）
ｘ（０，０）＝ｌｘｉ→０ｘ－０＝ｌｘｉ→０－００ｘ－０＝０
同理ｆ′ｙ（０，０）＝０
（３）ｆ（０＋Δｘ，０＋Δｙ）－ｆ（０，０）－ｆ′ｘ（０，０）Δｘ－ｆ′ｙ（０，０）ｘｙΔｌｉΔｘｙ→０→０Δｘ＋Δｙ
ｘｙ
＝ｌΔｉΔｘｘ＋Δｙ ｙ→０＝ｌΔｘΔｙ
→０ｘ＋ΔｙΔｉΔｘｙ→０→０Δ２＋Δ２ｙ不存在
∴ｆ（ｘ，ｙ）在（０，０）处不可微
—４７—《微积分》考点精讲
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１２２２２（ｘ＋ｙ）ｓｉ２２ ｘ＋ｙ≠０ｘ＋ｙ，试问该函数在点（０，０）处【例１０】 设函数ｆ（ｘ，ｙ）＝
０２２＋ｙ＝０ ｘ{
（１）是否连续？（２）偏导数是否存在？（３）是否可微？
１２２（ｘ＋ｙ）ｓｉ２２＝０＝ｆ（０，０）解 ｌｉｍｘ→０ｘ＋ｙｙ→０
∴ｆ（ｘ，ｙ）在（０，０）处连续
１２ｘｓｉ２－０ｆ（ｘ，０）－ｆ（０，０）ｘ＝ｌｉ＝０（２）ｆ′（０，０）＝ｌｉｘｘｘ－０－０ｘｘ→０→０
同理 ｆ′（０，０）＝０ｙ
１２２（＋）ｓｉ２ｘ－０ｙ０ΔｘΔｙΔΔ２－１＋ΔｘΔｙ＝ｌｉｍｘ＋ｙｓｉ２０（３）ｌｉΔΔ２＝ｘｘΔΔ→０→０ｘ＋ｙΔΔ＋ΔｘΔｙｙｙΔΔ→０→０∴ｆ（ｘ，ｙ）在（０，０）处可微
３３ｘｙ－ｘｙ２２ ｘ＋ｙ≠０２２，ｘ＋ｙ【例１１】 设ｆ（ｘ，ｙ）＝（０，０）；ｆ″（０，０） 求ｆ″ｘｙｙｘ{
０，２２ｘ＋ｙ＝０
ｆ（ｘ，０）－ｆ（０，０）解 ｆ′（０，０）＝ｌｉ＝０ｘｘｘ－０→０
３３ｙ－ｘｙｘ ２２ ｆ（ｘ，ｙ）－ｆ（０，ｙ）ｘ＋ｙ＝ｌｉ＝－ｙｆ′（０，ｙ）＝ｌｉｘｘｘｘ－０ｘ→０→０
ｆ′（０，ｙ）－ｆ′（０，０）－ｙｘｘ＝ｌｉ＝－１ｆ″＝ｌｉｘｙｙｙｙ－０→０→０ｙ
同理ｆ″（０，０）＝１ｙｘ
二、求偏导
１．具体的复合函数求偏导
ｙ【例１２】 （１）设ｕ＝ｘ，求
ｚｕｚｙ＝ｙｘ－１
ｘｚｕｕｕｘｙｚ解
ｚｕｙｚ－１＝ｘｌｎｘ·ｚｙｙ
ｚｚｕｙ＝ｘｙｌｎｙｚ
２２２ｒｒｒ２（２）设ｒ＝ｘ＋ｙ＋ｚ，证明２２２＝ｒｘｙｚｒｘｒｙｒｚｘｙｚ＋ｙ＋ｚ＋ｙ＋ｚｙ＋ｚ＋
—４８—
ｚｘ２
２ｒｘ＋ｙ＋ｘ＋ｙ＋ｚｘ２ｘ２＋ｙ２＋ｚ２
２ｒ＋ｙ＋ｚｙ２
ｙ２ｘ＋ｙ＋ｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２
ｒ２＋ｙ＋ｚｚ２ｒｚ２ｘ２＋ｙ２＋ｙ＋ｚ＋ｚ２
ｘ＋ｙ２＋ｚ２
２ｒ２ｒ２３＋ｙ＋ｚ２＋ｙ＋ｚｘｒ
２ｙ２ｚ２ｘ２＋ｙ２＋２２ｚｒ（３）ｚ＝－ｘ－ｙ求＋ｚｘ＋ｚｙ
解 ｚ－ｘ
ｘａ－ｘ－ｙｚｙ－ｙ
－ｘ－ｙ＋ｚａ
ｘ＋ｚｙ－ｘ－ｙ２．抽象的复合函数求偏导
【例１３】
（１）设ｚ＝ｆ（ｘｙｘｙ２ｚ
ｙ）＋ｇｘ，其中ｆ，ｇ有连续二阶偏导数，求ｘｙ
解 ｚ
ｘ＝ｙｆ′１
１ｙｆ′２ｙｙｘ２ｇ(ｘ)
２ｚ
ｘｙ＝ｆ′ｘ１１
１＋ｙ（ｘｆ１″１ｙ２ｆ１″２）ｙ２ｆ′２ｙ(ｘｆｘ
２″１ｙ２ｆ２″２)
１ｙｙ(ｙ
ｘ２ｇ(ｘ)ｘ３ｇｘ)
（２）ｚ＝ｙｚ
ｆ（ｘ２－ｙ２），求ｘ
ｚ２ｘｙｆ′（２－ｙ２）ｘｘ
ｆ２（ｘ２－ｙ２）
（３）设ｕ＝ｆ（ｘ，ｘｙ，ｘｙｚ）且ｆ具有二阶连续偏导数，求ｕ２ｕ
ｘｘｚ
ｕ
ｘ＝ｆ′１＋ｙｆ′２＋ｙｚｆ′３
２ｕ
ｘｚ＝ｆ１″１·０＋ｆ１″２·０＋ｘｙｆ１″３＋ｙ（ｆ２″３·ｘｙ）＋ｙｆ′３＋ｙｚｆ３″３·ｘｙ
＝ｘｙｆ１″３＋ｘｙ２ｆ２″３＋ｙｆ′３＋ｘｙ２ｚｆ３″３
—４９—《微积分》考点精讲
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（４）设函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（１，１）处可微，且ｆ（１，１）＝１＝２＝３，（１，１）（１，１）
３（ｘ）＝ｆ（ｘ，ｆ（ｘ，ｘ）），求ｄφｘφ（ｄｘｘ＝１
３ｘ）ｄφ（２＝３解 ｘ）·φ′（ｘ）φ（ａｘ
′（ｘ）＝ｆ′（ｘ，ｆ（ｘ，ｘ））＋ｆ′（ｘ，ｆ（ｘ，ｘ））·（ｆ′（ｘ，ｘ）＋ｆ′（ｘ，ｘ））φ１２１２
′（１）＝２＋３（２＋３）φ
＝１７
３ｄｘφ（∴＝５１ｄｘｘ＝１
３．隐函数求偏导
【例１４】
２ｚ（１）设ｅ－ｘｙｚ＝０，求 ２ｘｚ
ｚ解 令Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｅ－ｘｙｚ
ｚｙｚ Ｆｘｚ Ｆｅ－ｘｙＦｘ＝－ｙ＝－ｚ＝
ＦＦｚｚｙｚｘｚｘｙｚ ｚｘＦｙＦｘｙｘｙｚｅ－ｚｅ－
ｚｚｚｚｅ－－ｙ）（ｘｙ）－ｙｚ（ｅｘｘｚ
２ｚ２（ｅｘ－ｘｙ）２
ｙｚ２ｚｚ－ｙｚ（ｅ－ｙ）ｙｚｅ－ｘｙｚ２（ｅ－ｘｙ）
ｚｚｙ(ｘ)其中Ｆ(ｕ)，(ｘ)均有连续偏导数，确定ｚ＝ｚｚ求证＋＝ｚ．（２）已知Ｆｘ＝０，ｙ，ｖ，ｙｘｙｚｚ()
证：对Ｆｙ)＝０两边对ｘ求导．(ｘ
ｚｚ
ｚｚ?ｚ?－－??ｘｘ?＋?＝Ｆ′·?Ｆ′·?０１２????２２?ｚ??ｚ?
ｚＦ′ｚ１ｘｘＦ′＋ｙＦ′１２
对Ｆ(ｘｙ＝０两边对ｙ求偏导ｚｚ)
ｚｚ?－?ｚ?－?ｘｙ?＋??＝Ｆ′·?Ｆ′０１２????２２?Ｚ??ｚ?
ｚＦ′ｚ２ｙｘＦ′＋ｙＦ′１２
—５０—
《微积分》考点精讲
ｘＦ′＋ｚｙＦ′ｚｚｚ１２＋＝ｚｘｙｘＦ′＋ｙＦ′１２
ｄｕφ２ｙ（３）ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），（ｘ，ｅ，ｚ）＝０，ｙ＝ｓｉｎｘ≠０，求φｚｄｘ
解 ｄｚｄｕ＝ｆ′ｆ′ｃｏｓｘ＋ｆ′·１＋２３ｄｘｄｘ
２ｓｉｎｘ对φ（ｘ，ｅ，ｚ）＝０两边对ｘ求导．
ｄｚｓｉｎｘ′ｃｏｓｘｅ′φ′＝０２ｘφφ１＋２ｄｘ３
ｓｉｎｘ－２ｘ′ｃｏｓｘｅ′φφｄｕ１－２＝ｆ′ｆ′ｃｏｓｘ＋ｆ′·１＋２３ｄｘ′φ３()
４．求全微分
２２【例１５】 求函数ｚ＝ｌｎ（１＋ｘ＋ｙ），当ｘ＝１，ｙ＝２时的全微分
解 ｚ２ｘ２２ｘ１＋ｘ＋ｙ
２ｙｚ２ｙ１＋ｘ＋ｙ
１２ｄｚｄｘｄｙ３３
三、多元微分学的应用
求极值
２２２【例１６】 设ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）是由ｘ－６ｘｙ＋１０ｙ－２ｙｚ－ｚ＋１８＝０确定的函数，求
ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）的极值点和极值
解 略
２２【例１７】 椭圆ｘ＋４ｙ＝４上求一点，使其到直线２ｘ＋３ｙ－６＝０的距离最短
｜２ｘ＋３ｙ－６｜解 ｄ（ｘ，ｙ）２２２）＝（２ｘ＋３ｙ－６）＋（ｘ＋４ｙ－４）令Ｌ（ｘ，ｙ，λλ
′６（２ｘ＋３ｙ－６）＋８ｙ＝０令Ｌλｙ＝
２２ｘ＋４ｙ＝４{Ｌ′４（２ｘ＋３ｙ－６）＋２ｘ＝０λｘ＝
解出（ｘ，ｙ），即可找到极值点．
【例１８】 已知函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的全微分ｄｚ＝２ｘｄｘ－２ｙｄｙ，并且ｆ（１，１）＝２，求ｆ（ｘ，ｙ）在椭圆
２ｙ域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ≤１｝上的最大值和最小值４２
解 ∵ｄｚ＝２ｘｄｘ－２ｙｄｙ
２２ｚ＝ｘ－ｙ＋Ｃ
—５１—
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∵ｆ（１，１）＝２
∴Ｃ＝２ 于是ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２－ｙ２＋２
ｆ′ｘ＝２ｘ ｆ′ｙ＝－２ｙ
{ｘ＝０
ｙ＝０为驻点
令Ｌ（ｘ，ｙ，λ）＝ｘ２－ｙ２＋２＋λ(ｘ２ｙ２
４－１)
?Ｌ′ｘ＝２ｘ－２λｘ＝０
?
令??Ｌ′λ
ｙ＝－２ｙ２ｙ＝０
???ｘ２ｙ２
４＝１
可得 （０，２） （０，－２） （１，０） （－１，０）
∴最大值为３ 最小值为－２．
—５２—
《微积分》考点精讲
第五章 二重积分
一、二重积分ｆ（ｘ，ｙ）ｄσＤ
１．二重积分的定义
２．二重积分的几何意义和物理意义
若ｆ（ｘ，ｙ）二重积分ｆ（ｘ，ｙ）ｄ＝ｆ（ｘ，ｙ）为顶，以Ｄ为底，侧面是以Ｄ的边界曲线≥０，σ表示以ｚ
Ｄ
为准线，母线平行与ｚ轴的柱面的曲顶柱体的体积．若ｆ（ｘ，ｙ）≥０，二重积分
上占有区域Ｄ的，面密度为ｆ（ｘ，ｙ）的平面薄片的质量．
２２２【例１】 已知Ｄ：ｘ＋ｙ求Ｉ＝≤ａ，ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ表示在平面Ｄ－ｘ－ｙｄσＤ
解 用几何定义有
Ｄａ－ｘ－ｙｄａσ＝π３２３
３．二重积分的性质
（１）ｄ其中σ为区域Ｄ的面积，据此可求平面图形的面积σ＝σ，
Ｄ
（２）比较性质
若ｆ（ｘ，ｙ）≤ｇ（ｘ，ｙ），（ｘ，ｙ）∈Ｄ，则
特别的ｆ（ｘ，ｙ）ｄｇ（ｘ，ｙ）ｄσ≤σＤＤσｆ（ｘ，ｙ）ｄｆ（ｘ，ｙｄσ≤ＤＤ
推论：ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上非负连续，若ｆ（ｘ，ｙ）ｄ则ｆ（ｘ，ｙ）＝０σ＝０，Ｄ
（３）估值性质设Ｍ和ｍ分别是ｆ（ｘ，ｙ）在闭区域Ｄ上最大值和最小值，其中σ为区域Ｄ的面积，则有ｍσ≤ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ≤ＭσＤ
（４）中值定理设函数ｆ（ｘ，ｙ）在闭区域Ｄ上连续，其中σ为区域Ｄ的面积，则在Ｄ上至少存在一点（，），使ξηｆ（ｘ，ｙ）ｄ（，）·σσ＝ｆξηＤ
（５）二重积分的计算
１）利用直角坐标计算二重积分ｆ（ｘ，ｙ）ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙσ＝ＤＤ
ａ）若区域Ｄ是Ｘ型区域，则Ｄ可以用不等式{（ｘ）≤ｙ（ｘ）φ≤φ１２来表示，则
ａ≤ｘ≤ｂ
（ｘ）φ２
（ｘ）φ１Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ｄｘａ（ｘ，ｙ）ｄｙ∫∫ｆｂ
—５３—
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（ｙ）≤ｘ（ｙ）ψ≤ψ１２来表示，则ｂ）若区域Ｄ是Ｙ型区域，则Ｄ可以用不等式
ｃ≤ｙ≤ｄ{
Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ｄｙｃ（ｘ，ｙ）ｄｘ∫∫ｆ（ｙ）ψ１ｄ（ｙ）ψ２
ｃ）若区域Ｄ即不是Ｘ型区域，也不是Ｙ型区域，则用分块可加性，将Ｄ分成若干个Ｘ型区域和Ｙ型区域上的积分之和．
【例２】 计算下列二重积分
２２２Ｉ＝（ｘ＋ｙ）ｄ其中Ｄ为ｙ＝ｘ，ｙ＝０，ｘ＝１所围平面区域σ，
Ｄ
１２ｘ
Ｄ２６２２解 原式＝ｄｘ（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝０１０５０∫∫
∫０２２２ｄ其中Ｄ：ｘ＋ｙ＝８，ｙ＝０，ｙ＝１，ｙ＝２ｘ所围成平面区域Ｉ＝ｘσ，ｙｙ解 原式＝ｄ２１－ｙ４５７ｘｄｘ１２０
－ｙＩ＝ｅｄ其中Ｄ：ｙ＝ｘ，ｙ＝１，ｘ＝０所围成平面区域σ，
Ｄ
１２
２１－ｙ解 原式＝ｄｙｅｄｘ＝ｙｅｄｙｅ０００２０∫∫１ｙ２－ｙ∫１２－ｙ
－１１－ｅ２
２）利用极坐标计算二重积分
ａ）若积分区域可用不等式
则ｆ（ｘ，ｙ）ｄｆ（ｒｃｏｓ，ｒｓｉｎ）ｒｄｒｄσ＝θθθＤＤ{
{（）≤ｒ（）φθ≤φθ１２来描述，α≤θ≤ββ（）φ２θ
（）φ１θαｆ（ｒｃｏｓ，ｒｓｉｎ）ｒｄｒｄｄ（ｒｃｏｓ，ｒｓｉｎ）ｒｄｒθθθ＝∫θθθ∫ｆＤ
（ｒ）≤θ（ｒ）φ≤φ１２ｂ）若积分区域可用不等式来描述，
ａ≤ｒ≤ｂ
则ｆ（ｒｃｏｓ，ｒｓｉｎ）ｒｄｒｄｄｒ（ｒｃｏｓ，ｒｓｉｎ）ｒｄθθθ＝∫θθθ∫ｆ
Ｄａ（ｒ）φ１ｂ（ｒ）φ２
２２２２２２【例３】 Ｉ＝（ｘ＋ｙ）ｄ其中Ｄ为ａσ，≤ｘ＋ｙ≤ｂ所围平面区域
Ｄ
ｂ
ａ解 Ｉ＝πｄｄｂ－ａ）θρρρ＝（∫∫２２４４
０２π
【例４】 计算Ｉ＝解 Ｉ＝π－ｘ－ｙｄ其中Ｄ：ｘ＋ｙ＝Ｒｘ所围成平面区域σ，２２Ｄ∫０ｄθＲｃｏｓθ０２２－ρｄρρ＝Ｒπ６９()
—５４—
《微积分》考点精讲
３）利用对称性计算二重积分
ｉ．Ｄ关于ｘ轴对称，Ｄ则≥０，１表示Ｄ的ｙ
ａ）如果ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则
ｂ）如果ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２σＤＤ１
ｉｉ．Ｄ关于ｙ轴对称，Ｄ则≥０，１表示Ｄ的ｘ
ａ）如果ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则
ｂ）如果ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０ＤＤ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２σＤ
【例５】 设Ｄ是ｘＯｙ平面上以（１，１），（－１，１）和（－１，－１）为顶点的三角形区域，Ｄ１是Ｄ的第一象限部分，则（ｘｙ＋ｃｏｓｘｓｉｎｙ）ｄｘｄｙ等于Ｄ
Ａ．２ｃｏｓｘｓｉｎｙｄｘｄｙ Ｂ．２ｘｙｄｘｄｙ Ｃ．４（ｘｙ＋ｃｏｓｘｓｉｎｙ）ｄｘｄｙ Ｄ．０Ｄ１Ｄ１Ｄ１
答：选Ａ．
２ｘ＋ｙ２２【例６】 计算Ｉ＝（ｘ＋ｘｙｅ）ｄ其中ａ）Ｄ：ｘ＋ｙｂ）Ｄ为ｙ＝ｘ，ｙ＝－１，ｘ＝１所围σ，≤１，
Ｄ２２
成平面区域
解 ａ）原式＝
ｂ）原式＝１２ｘｄσ２Ｄ１
－１２２ｘ＋ｙ≤１２１２２ｘ－ｃｙｄσ２１３２－１∫∫０２π１π２ｄｄθρρρ０４２ｘｄｄｘｘｄｙ＝∫ｘ＋ｘｄｘσ＝∫∫３２
Ｄ－１ｘ
３【例７】 设ｆ（ｔ）为连续函数，Ｄ为ｙ＝ｘ，ｙ＝１，ｘ＝－１所围成平面区域，计算
２２［１＋ｙｆ（ｘ＋ｙ）］ｄＩ＝ｘσ
Ｄ
１２ｄｘ３ｘｄｙ－１ｘ５１解 Ｉ＝Ｄｘｄσ＝∫∫
２２２２２２２【例８】 Ｉ＝（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，Ｄ：ｘ＋ｙＩ＝（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ≤Ｒ，
ＤＤ
（ｘ＋ｙ＋１）ｄｘｄｙ２
Ｄｘｄｘｄｙ２Ｄ
２２ｘｙ２２）ｄｘｄｙａｂＤ解 πｘ＋ｙｄｘｄｙ＝∫ｄｄＲθρρρ∫２２２２Ｄ００２２２２πＲ４（ｘ＋ｙ＋１）ｄｘ＋ｙ＋１＋２ｘ＋２ｙ＋２ｘｙｄσ＝σＤＤ
＝Ｄ２２ｘ＋ｙ＋１ｄσ＝π４２２２２ｘ＋ｙｄＲＲ＋Ｒσ＋ππ２Ｄ
—５５—
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１４２２２ｘｄｘｄｙｘ＋ｙｄσＲ２Ｄ４Ｄ
２２ｘ１１１ｙｄσ２２２２２ａｂａｂ()１１π４１１１π４２２ＲＲｘ＋ｙｄ＝σ２２２２２２４ａｂａｂ()()ＤＤ
【例９】 Ｄ：（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２≤１，（ｘ＋ｙ＋１）ｄｘｄｙ＝
Ｄ
解 ｘｄσ＝ｘ·ｓ（Ｄ）＝π
Ｄ
同理 ｙｄσ＝π
Ｄ
ｘ＋ｙ＋１ｄσ＝π＋π＋１ｄσ＝３π
ＤＤ
６．二重积分中的题型
１）交换积分次序
【例１０】 计算二次积分Ｉ＝∫２
１ｄｘｘｉπｘ４２ｄｙ＋ｄｘｉπｘ２ｙ∫２ｄｙ２ｙ
解 原式＝∫２ｙ２
１ｄｙ∫ｓｉπｘｄσｙ２ｙ
【例１１】 交换二次积分的积分次序：∫０
－１ｄｘ∫１－ｘ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ
０１－ｙ０２解 ∫－１ｄｘ∫２ｆ（ｘ·ｙ）ｄｙ＝∫１ｄｘ∫１－ｘ－ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ
∫２０＝１ｄｙ∫１－ｙ－ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ
＝∫２１－ｙ
１ｄｙ∫０ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ
２２【例１２】 计算∫０ｄｘ∫ｘｅ－ｙ２ｄｙ
２ｙ解 交换积分次序得原式＝∫０ｄｙ∫ｅ－ｙ２０ｄｘ＝∫２０ｙｅ－ｙ２ｄｙ
２
＝１－ｙ２
２ｅ
０
１－
２１－ｅ４）
１１【例１３】 计算∫０ｄｙｘ－ｙｄｘ
解 交换积分次序
１ｘ原式＝∫ｄｘｘ－ｙ１ｄｙ＝πｘ２
０００４ｄｘπ
１２
２）直极相互转化【例１４】 将下列极标下的二次积分化为直标下的二次积分π∫ｓｅｃθ
０ｄθ０ｆ（ρｃｏｓθ，ρｓｉｎθ）ρｄρ—５６—
《微积分》考点精讲
解 原式＝
∫∫００１ｄｘｆ（ｘ，ｙ）ｄｙｘｄｓｉｎｄθθρ＝∫ρ００２ｃｏｓθ
解 原式＝ｄｘ∫００２ｘ－ｘｙｙｘ＋ｙ３）分段函数的二重积分
ｍａｘ｛ｘ，ｙ｝【例１５】 计算Ｉ＝ｅｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜０≤ｘ，０≤ｙ｝≤１
≤１
Ｄ
２２２解 原式＝＝Ｄ１１
０ｘｅｄｘｄｙ＋ｘ２Ｄｙｅｄｘｄｙ１ｙ２∫∫０
Ｄｘｄｘｅｄｙ＋∫∫００ｙｄｙｅｄｘ２＝ｅ－１２２２２【例１６】 计算Ｉ＝（｜ｘ＋ｙ－４｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ｝≤９
２解 原式＝
＝２２ｘ＋ｙ≤４ｙ－４ｄσ＋ｘ＋σ４－ｘ－ｙｄ２２２２２４＋ｙ≤ｘ≤９∫∫００２πｄ４－ｄθ（ρ）ρφ＋２２∫∫０２２π２ｄ４）ｄθ（ρ－ρρ３
４１π２
２２【例１７】 计算Ｉ＝ｘｙ［ｘ＋ｙ＋１］ｄｘｄｙ，其中
Ｄ
２２２２２２Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙｘ，ｙ｝，［ｘ＋ｙ＋１］表示不超过ｘ＋ｙ＋１的最大整数．≤≥０≥０
解 原式＝∫００πｄｃｏｓｖ·ｅｓｉｎｄ＋θｅθρρ１３ｄｃｏｓｓｉｎｄθ２ρθρθρρ１０８π６．二重积分的应用
１）．空间曲面的面积
设曲面Ｓ由方程ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）给出，Ｄ为曲面Ｓ在ｘＯｙ面上的投影区域，函数ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上具有一阶连续偏导数，则曲面面积Ａ＝２）．平面薄片的质心
设平面薄片占有ｘＯｙ平面上的闭区域Ｄ，在点（ｘ，ｙ）处面密度为ρ（ｘ，ｙ），假定ρ（ｘ，ｙ）在Ｄ上连
ｘ（ｘ，ｙ）ｄｙ（ｘ，ｙ）ｄρσρσ续，则薄片的重心坐标为，ｘ＝，ｙ＝
（ｘ，ｙ）ｄ（ｘ，ｙ）ｄρσρσＤＤ
ＤＤ１＋）＋）ｄσｘｙ２２Ｄ
特别地，若ρ（ｘ，ｙ）为常数，则平面图形的形心坐标为ｘ＝
其中Ａ为Ｄ的面积．
—５７—１１ｘｄ，ｙ＝ｙｄσσ，ＡＤＡＤ
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