微积分复习心得

时间过的飞快，转眼期末考试就要来临了，对于很多大一同学比较头疼高等数学科目尤其微积分这门课应该怎样复习才能取得较好的成绩呢？

 首先，就是要有正确的复习方法。在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：

　　第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。复习小结了然于心，然后再复习。

　　第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。

第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。

第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。

第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。

其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：

函数、极限与连续

(一)基本概念

1．函数：常量与变量，函数的定义

2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法

3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性

4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系

5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限

6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述

重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算

难点：建立函数关系，极限概念　　 

(二)基本要求

1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。

2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。

3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

4. 了解复合函数、初等函数的概念。

5. 会列简单应用问题的函数关系式。

6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。

7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。

8. 掌握极限的四则运算法则.

9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。

10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。

11. 了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。

12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。

一元函数微分学

(一)基本概念

1．导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数

2．微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性

3．中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述

4．导数应用：用洛比达法则去求七种未定式极限问题，函数的单调性判别法，函数的极值

及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，导数在经济问题的应用

重点：导数概念和导数的计算，极值，最大利润问题

难点：导数的应用

(二)基本要求

1. 理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。

2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。

3. 熟练掌握复合函数的求导法则。

4. 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。

5. 知道一阶微分形式的不变性。

6. 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。

7. 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式

８. 掌握洛比达法则求极限问题

9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念

10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系

11.掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点

12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线

13. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法

不定积分

 (一)基本概念

1．不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表

2．积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举例，积分表的使用

重点：积分概念与计算，在几何上的应用

难点：积分的计算及其应用

(二)基本要求

1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系

2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法

3.了解不定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和不定积分的性质

4.熟练掌握求解不定积分的方法

最后一点，还要提醒大家的就是复习时的注意事项。在复习的过程中，应该注意调整我们的状态和注意休息，一般地说，我们的大脑集中于某一学科的时间不是很长的，时间一长，我们的思维就可能处于停滞的状态，所以我们应该合理地安排时间，争取在复习时将所学的几门学科都能够交叉安排，这样保证大脑的高效率。同时，还应该注意休息。考试期间的复习效率很低，那时看看书适当放松，把习题简单回顾一下足矣。考前注意保持充足的睡眠，现在很多同学在期末考试前点灯熬夜，晚上不注意休息，考试没有精神，甚至睡着了，导致很容易的题目也没有时间做了；还有不容忽视的一点就是，在考试的过程中，要注意卷面干净、书写整洁，还要有清晰的解题思路和完整的答题步骤，对于没有思路的题可以先放放以免耽误答题时间，否则会影响自己的卷面得分。最后，希望大家保持一个健康的身体和良好的心态，做好期末复习，祝大家取得好成绩！提前祝大家元旦快乐！

第二篇：08微积分复习小结

《微积分》（下）（赵树嫄）总结

第七章                无穷级数

一、内容提要：

１．常数项级数的概念   Ｐ271

（1）   级数的定义     级数     通项    部分和    余项

（2）   级数收敛的定义

２．常数项级数基本性质　　Ｐ274　　

５条    和   k倍    加减有限项   加括号   收敛的必有条件

３．几个重要的数项级数

1º 等比级数 ，当<1时收敛；当1时发散；

2º 调和级数  发散；

3º p-级数 （p>0）,当0<p≤1时发散；当p>1时收敛。

４．正项级数审敛法

设与均为正项级数，

（１）收敛 充要条件 有界。Ｐ279  定理7.6

（２）比较审敛法   Ｐ279

若收敛（发散）且，则收敛（发散）。

比较法的极限形式：Ｐ282推论

若 ,则与同时收敛或同时发散；

当=0时，可由收敛推出也收敛

当可由发散推出也发散。

（３）比值审敛法　Ｐ283　

若，

当<1时，则收敛；当>1时，则发散；当=1时，待定。

５． 交错级数审敛法(莱布尼兹审敛法) Ｐ286

若交错级数满足①，且②，则收敛；且 。

６．任意项级数审敛法

①  若，则发散；

②     若收敛，则绝对收敛；

③  若发散，但收敛，则条件收敛。

④  任意项级数满足，则当时级数绝对收敛，级数发散。

７．幂级数

1º 幂级数   形如

的无穷和式，叫幂级数。

当=0时，则为

2º 幂级数的收敛域是一个以原点为中心从-R到R的区间，这个区间叫做幂级数的收敛区间，其中称为幂级数的收敛半径。当时要对区间端点的收敛情况专门讨论。

3º 求收敛区间的步骤及定理　　P292

  4º 运算性质  P295

①   代数运算

设与的收敛半径分别为R与（R与均大于零）则在内有

；

②   分析运算

设  在（-R，R）内，则在（-R，R）内：

（ⅰ）对幂级数可以逐项微分，即

；

（ⅱ）对幂级数可以逐项积分，即

此处积分上限内的任一点。

注意一   在收敛区间内对幂级数逐项微分逐项积分后所得幂级数的收敛半径与原级数相同（即收敛半径不变），但是级数在收敛区间两端点处的敛散性可能改变。

8．将函数展开为幂级数 

（ⅰ）间接法  P303

利用下列几个函数的展开式：

     （-∞，+∞）

或       （-∞，+∞）

或       （-∞，+∞）

 或        （-1，1）

二、主要题型

１．判断级数的收敛性　

（1）判断级数的敛散性  （正项级数）；

（2）判断级数的敛散性若收敛是绝对收敛还是条件收敛 ；

２．求幂级数的收敛域　

①     不缺项时：先求相邻两系数之比的绝对值的极限

，则收敛半径；

再验两端点，则收敛域=收敛的端点。

②  缺项时或型：先求相邻两项之比的绝对值的极限，

解不等式，可得x所属的区间；

再验两端点，则收敛域=收敛的端点。

 （或用变量代换）

３．将函数展开为幂级数　

一般间接展开 ，

注意 (1)恒等变形后用公式；(2)幂级数的展开点

第八章  多元函数微积分

一、内容提要

１．空间解析几何

  直角坐标系   两点间的距离 

２．二元函数的概念　Ｐ322　

二元函数的定义；定义域；二元函数的极限与连续　

3．二元函数偏导数定义　Ｐ327　高阶偏导数Ｐ330

5．二元函数全微分　Ｐ332     

6.  二元函数在一点连续，偏导数存在与可微的关系

   偏导连续→可微→连续

                 ↘偏导存在

7．多元复合函数求导法则　Ｐ335    全导  P336

8．隐函数求导法则　　（公式）  P340

9．多元函数的极值　Ｐ340

（１）   定理8.4（必要条件）P341

（２）   定理8.5（充分条件）Ｐ342    

（３）   条件极值　（拉格朗日乘数法Ｐ344    步骤 3条）

10．二重积分

（1）二重积分的定义　Ｐ349

（2）二重积分的性质　Ｐ350　　7条

（3）直角坐标系计算二重积分　Ｐ353     公式8.15   公式8.16

（4）利用极坐标计算二重积分　Ｐ359     公式8.21   公式8.23

二、主要题型：

１．求函数的定义域; 

2．求函数的偏导数（包括微分、二阶偏导数）　

3．求复合函数的偏导数，（包括半抽象半具体函数）

4．求隐函数的偏导数　

注意 ：首先判断是那一种函数，再考虑用什么公式

5．求极值及条件极值　   

6．求二重积分　   首先选择坐标，再选公式

7．交换积分次序   

第九章   微分方程

一、主要内容：

1．微分方程的概念　Ｐ373　（定义，阶，解，通解，特解，）

2．一阶微分方程

（1）可分离变量方程　Ｐ375

（2）一阶线性微分方程　Ｐ380

3．二阶微分方程

（1）可降阶的微分方程　

（a）   P385

（b）  P385   令

（c）  P386     令

(2)二阶常系数线性微分方程

a)         二阶齐次线性微分方程　Ｐ388     解  P391

b)        二阶非齐次线性微分方程　P391   

解 P395        

              待定系数法特解形式   

  P395

待定系数法特解形式   

二、主要题型：

１．求方程的解 

首先判断是一阶还是二阶微分方程，再判断是那一类

2. 方程应用

  首先建立微分方程  （一般是求初值问题）

  判断方程类型

  求解方程

08微积分试卷分值分布

一、填充题（每题3分,共21分）

二、选择题（每题2分,共16分）

三、求下列函数的偏导数或重积分（每题6分，共30分）

四、解答题  （共33分）（5题）

模拟试题

1．的定义域为；

2.；

3．设，则=；=；

4．已知，则；

5.=；

   6．若级数收敛，则  4   ；

7、幂级数的收敛半径；

二、单选题   （5×=）

1．点（1，－1，1）在曲面（ A ）上

A           B  

C                D 

2．下列级数中，绝对收敛的级数为（ A ）

A.               B.

C.            D.

3.设，则=（ D  ）

A.  1     B.         C.          D. 

4．变换积分次序（ D ）

A.           B.

C.            D.

5．函数是微分方程的（　D  ）.

   A　通解　 　B　特解　 　C不是解　  　D　解

三、求下列函数的偏导数（2×=）

（1）而求

解： 

（2）．求由方程所确定的隐函数的导数，

       解：

        则

     

四、求其中D是由所围成的区域（）

        解：

五．交换累次积分次序：  （）

解：  

六．求函数的极值  （）

解： 由，得驻点

             再由，得

因为，所以不是极值点

             因为

所以在点处函数有极大值

七、判断级数是否收敛，若收敛是绝对收敛，还是条件收敛                                      

解：             （)

      所以绝对收敛.

八．将展开成为的幂级数，并求收敛区间 ()

解：因为

        

所以

九．求下列微分方程的通解（2×=）

       (1)

解：的通解为

    由常数变易可设原方程的通解为，代入原方程得

 ，则

        所以原方程的通解为

                              (为任意常数)

       (2)

解: 设则

      代入原方程有:

      即

从而,即

则  (为任意常数)