一元二次不等式题型总结
一、解一元二次不等式
解一元二次不等式的步骤
(1)化成标准形式，化二次项系数为正
(2)因式分解，不能因式分解的判断判别式△与0的关系，△>0求出相应一元二次方程的实根X1,X2; △=0图象与x轴有一个交点，△<0图象与x轴没有交点
(3)写出不等式的解集.（大于取两根之外，小于取两根之间）
例1解下列关于x的不等式：
(1)(5－x)(x＋1)≥0 (2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－x2＋3x－5>0； (4)－2x2＋3x－2<0.
二、已知解集求不等式及参数
思路：1先看解集判断二次项系数a正负。（大于取两根之外，小于取两根之间）
2. 解集的两个端点是相应方程的根，有韦达定理求解
例2若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集
例3已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
三、高次不等式求解方法
思路：1化二次项系数为正
2求方程的根
3画数轴进行穿根（从数轴右上方开始穿，奇重根穿偶不穿）
4数轴上方大于0，数轴下方小于0
例4解不等式：x(x－1)2(x＋1)3(x－2)>0.
四、分式不等式解法
思路：1先移项再通分化为
（或<0）形式
2化整式不等式
（或<0）求解
例5．不等式＜1的解集是________
例6．解关于x的不等式－x>0.
五、解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)一看，看二次项系数是否有参数，若有分类讨论二次项系数a>0,=0,<0三种情况，然后化二次项系数为正
(2) 因式分解，不能因式分解的判断判别式△与0的关系，△>0求出相应一元二次方程的实根X1,X2; △=0图象与x轴有一个交点，△<0图象与x轴没有交点
(3)若两根大小无法确定大小时，分类讨论根的大小
(4)写出不等式的解集.（大于取两根之外，小于取两根之间）
例7解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)
例8解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.
六、一元二次根的分布问题
思路：类型一，方程两根分布在同一区间内
①判别式△的符号
②对称轴的位置分布
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。（既区间端点的符号）
例9实数m取何范围的值时，方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根满足：
(1)都是正根；(2)都在(0,2)内．
类型二，方程两根分布在不同区间内（仅考虑区间端点函数值符号）
例10设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两个实根x1、x2，且0<x1<1<x2<2，求a的取值范围．
七、一元二次不等式在任意实数x恒成立问题
思路：
（1）看二次项系数是否为参数，若是讨论二次项系数为0时是否符合题意。
(2)头脑中要想象图象（或画出草图）
（3）一元二次不等式在R上的恒成立问题：
①当__a>0,_ △<0__时，ax²+bx+c>0恒成立。
②当_ a>0,_ △
0___时，ax²+bx+c≥0恒成立。
③当__a<0,_ △<0___时，ax²+bx+c<0恒成立
④当__ a<0,_ △0__时， ax²+bx+c≤0恒成立
例11．已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是__________．
例12当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?
第二篇：一元二次不等式与基本不等式
一元二次不等式与基本不等式 班级 姓名
1．已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是________．
2．解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
3．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
4.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 ( )
A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
5．设a、b是正实数， 以下不等式
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的
序号为 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为 ( )
A．4 B．4 C．9 D．16
7．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋(x∈(0，))取得最小值时x的值为 ( )
A．1 B. C．2 D.
8．(2010·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．
9．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
10.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
11．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
12．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为 ( )
A．18 B．27 C．20 D．16
13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
14.为了提高产品的年产量，某企业拟在20##年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知20##年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将20##年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；
(2)该企业20##年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
15．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，
则实数a的最小值为________
16．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
17.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3
C．a＞2 D．－2＜a＜2
18．设奇函数f(x)在上是单调函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈都成立，当a∈时，则t的取值范围是________．
参考答案：
1．已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是________．
解析：因为不等式组的解集是{x|2＜x＜3}，设f(x)＝2x2－9x＋a，则由题意得解得a≤9.
答案：a≤9
2．解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解：由12x2－ax－a2>0?(4x＋a)(3x－a)>0
?(x＋)(x－)>0，
①a>0时，－<，
解集为{x|x<－或x>}；
②a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a<0时，－>，
解集为{x|x<或x>－}．
3．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得
解得所以
(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；
②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；
③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
综上所述：当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
4.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 ( )
A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：法一：由≥得ab≤()2＝1，又a2＋b2≥2ab?2(a2＋b2)≥(a＋b)2?a2＋b2≥2.
法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.
答案：C
5．设a、b是正实数， 以下不等式
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的
序号为 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析：∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2?1≥?≥.当且仅当a＝b时
取等号，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|?a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋≥2 ＝2 >2恒成立．
答案：D
6.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为 ( )
A．4 B．4 C．9 D．16
解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.
∵x，y均为正实数，
∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，
即xy－2－8≥0，
可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
答案：D
7．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋(x∈(0，))取得最小值时x的值为 ( )
A．1 B. C．2 D.
解析：由＋≥得，f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝时取等号，即当x＝时f(x)取得最小值25.
答案：B
8．(2010·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．
解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.
答案：f(x)＝(2－2)x＋1＋1
9．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，
∴(－1)(－1)(－1)＝
＝≥＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
10.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200，
因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．
答案：C
11．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得y＝×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
即
解得0＜x＜.
∴投入成本增加的比例应在(0，)范围内．
12．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为 ( )
A．18 B．27 C．20 D．16
解析：平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18.
当且仅当t＝，即t＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.
答案：A
13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：设仓库建在离车站d千米处，
由已知y1＝2＝，得k1＝20，∴y1＝，
y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d，
∴y1＋y2＝＋≥2 ＝8，
当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．
答案：5
14．为了提高产品的年产量，某企业拟在20##年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知20##年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将20##年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；
(2)该企业20##年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，
∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
∴20##年的利润
y＝x·－(8＋16x)－m
＝－[＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．
(2)∵m≥0，∴＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤29－8＝21，
当＝m＋1，即m＝3，ymax＝21.
∴该企业20##年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．
15．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.
答案：
16．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ( )
A．8 B．6 C．4 D．2
解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a
≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，
当且仅当a·＝等号成立，
所以()2＋2＋1≥9，
即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，
所以a≥4，即a的最小值为4.
答案：C
17.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3
C．a＞2 D．－2＜a＜2
解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，即
解得a＞2.
答案：C
18．设奇函数f(x)在上是单调函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈都成立，当a∈时，则t的取值范围是________．
解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝－1，
∴f(1)＝－f(－1)＝1.
又∵f(x)在上是单调函数，
∴－1≤f(x)≤1，
∴当a∈时，t2－2at＋1≥1恒成立，
即t2－2at≥0恒成立，
令g(a)＝t2－2at，a∈，
∴
∴
∴t≥2或t＝0或t≤－2.
答案：(－∞，－2]∪{0}