/kaoyan/
2017考研高数：函数极限连续复习秘籍
2017考研备考已经开始，为帮助考研复习的你对知识的概况有所了解，以下针对函数极限连续内容作如下总结：
第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。
第二点极限。说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：
1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。
2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。
/kaoyan/
第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。
3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。
4)重要极限。重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。
5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比如分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。
第二篇：考研高数函数、极限、连续重要概念公式定理总结
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
《研途研语》20xx年考研电子期刊免费下载 考研高等数学复习指导建议 考研数学，我们要多练习做什么样题目？ 考研数学复习题：一元函数的极限与连续自测题及答案 考研数学复习之函数与极限概念讲解与经典习题解析
考研数学:微积分初步学习辅导重难点解析 考研数学之高等数学各部分常见的题型总结
一、函数、极限、连续重要概念公式定理
（一）数列极限的定义与收敛数列的性质
数列极限的定义：给定数列?xn?,如果存在常数A,对任给??0,存在正整数N,使当n?N时,恒有xn?A??,则称A是数列?xn?的当n趋于无穷时的极限,或称数列?xn?收敛于A,记为limxn?A.若n???xn?的极限不存在,则称数列?xn?发散.
收敛数列的性质：
(1)唯一性：若数列?xn?收敛,即limxn?A,则极限是唯一的． n??
(2)有界性：若limxn?A,则数列?xn?有界,即存在M?0,使得对?n均有xn?M. n??
(3)局部保号性：设limxn?A,且A?0?或A?0?,则存在正整数N,当n?N时,有xn?0?或xn?0?. n??
(4)若数列收敛于A,则它的任何子列也收敛于极限A.
1
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
(了解记忆)
1．海涅定理：limf?x??A?对任意一串xn?x0?xn?x0,n?1,2,??,都有 limf
x?x0
n??
?xn??
． A
f?x??lim?f?x??A; 2.充要条件：(1)limf(x)?A?lim?
x?x0
x?x0
x?x0
(2)limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A.
x??
x???
x???
3.柯西准则：limf?x??A?对任意给定的??0,存在??0,当
x?x0
0?x1?x0??,0?x2?x0??时,有f?x1??f?x2???.
（x)?f(x)??(x),且lim?(x)?lim?(x)?A,则4.夹逼准则：若存在??0,当0?x?x0??时,有?
x?x0
x?x0
x?x0
limf(x)?A.
5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的x1,x2,x1?x2,有f?x1??f?x2?(或f?x1??f?x2?),且存在
常数M,使f?x??M(或f?x??M),则limf?x?存在.
x???
（四）无穷小量的比较 (重点记忆)
1.无穷小量阶的定义,设lim?(x)?0,lim?(x)?0.
(1)若lim
?(x)
?0,则称?(x)是比?（x)高阶的无穷小量. ?(x)
(2)若lim(3)若lim(4)若lim(5)若lim
?(x)
??,则?(x)是比（?x)低阶的无穷小量. ?(x)
?(x)
?c(c?0),则称?(x)与?（x)是同阶无穷小量. ?(x)
?(x)
?1,则称?(x)与?（x)是等价的无穷小量,记为?(x)??(x). ?(x)
?(x)
?c(c?0),k?0,则称?(x)是?（x)的k阶无穷小量 ?k(x)
2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当x?0时,
sinx?arcsinx??tanx?1?coxs?
~x,?
arctanx?
(1?x?)?
ln(1?x)?
?
ex?1??
12
x
2
1?~x??是实常数?
（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)
2
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
定理1 limf(x)?A?f?(x0)?f?(x0)?A. x?x0
定理2 limf(x)?A?f(x)?A?a(x),其中lima(x)?0. x?x0x?x0
定理3 (保号定理)：设limf(x)?A,又A?0(或A?0),则?一个??0,当 x?x0
x?(x0??,x0??),且x?x0时，f(x)?0(或f(x)?0).
定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.
（x)?f(x)??(x),且 定理5 (夹逼定理)：设在x0的领域内,恒有?
x?x0lim?(x)?lim?(x)?A,则limf(x)?A． x?x0x?x0
定理6 无穷小量的性质：
(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;
(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;
(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．
定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设limf?x??A,limg?x??B,则
(1)lim(f(x)?g(x))?A?B
(2)limf(x)g(x)?A?B (3)limf(x)A?(B?0) g(x)B
定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．
定理10 初等函数在其定义域的区间内连续．
定理11 设f?x?连续,则f?x?也连续．
（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备) (1)limsinx?1 x?0x
1
x
x?0n??(2)lim(1?x)?e,lim(1?)n?e.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设1n
limf?x??0,且f?x??0则有limsinf?x?
fx?1,lim??1?f?x???1
fx?e) ?0,????n?m?a0xn?a1xn?1???an?1x?an?a0(3)lim??,??n?m． x??bxm?bxm?1???bx?b01m?1m?b0
???,???n?m
(4)函数f?x?在x?x0处连续?f??x0??f??x0??f?x0?.
(5)当x???时,以下各函数趋于??的速度
lnx,xa?a?0?,ax(a?1),xx
速度由慢到快???
3
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
lnn,na?a?0?,an(a?1),n!,nn
速度由慢到快???
(6)几个常用极限
na?0??1, 1, limarctanx?nx????2
x???limarctanx???2 limarccotx?0, limarccotx?? x???x???
x???xx?1. limex?0, limex??, lim?x???x?0
（七）连续函数的概念
1. f?x?在x?x0处连续,需满足三个条件：
①f?x?在点x0的某个领域内有定义
②f?x?当x?x0时的极限存在
f?x0??x??f?x0??③limf?x??f?x0??lim?y?lim???0. ?x?0x?x0?x?x0
2. f?x?在x0左连续：f?x?在?x0??,x0?内有定义,且lim?f?x??f?x0?. x?x0
3. f?x?在x0右连续：f?x?在?x0,x0???内有定义,且lim?f?x??f?x0?. x?x0
4. f?x?在?a,b?内连续：如果f?x?在?a,b?内点点连续．
5. f?x?在?a,b?内连续：如果f?x?在?a,b?内连续,且左端点x?a处右连续,右端点x?b处左连续．
（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)
1．有界性定理：设函数f?x?在?a,b?上连续,则f?x?在?a,b?上有界,即?常数M?0,对任意的x??a,b?,恒有f?x??M．
2．最大最小值定理：设函数f?x?在?a,b?上连续,则在?a,b?上f?x?至少取得最大值与最小值各一次,即??,?使得：
. f????max?f?x??,???a,b?; f????min??,???a?,b?f?xa?x?ba?x?b
3．介值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续,?是介于f?a?与f?b?(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在?a,b?上至少?一个?,使得
f?????.?a???b?．
4．零点定理：设函数f?x?在?a,b?上连续,且f?a??f?b??0,则在?a,b?内至少?一个?,使得 4
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
f????0?a???b?.
（九）连续函数有关定理
1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．
3．复合函数的连续性：u???x?在点x0连续,??x0??u0,而函数y?f?u?在点u0连续,则复合函数
y?f????x???在点x0连续．
4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．
（十）间断点的定义及分类
1．定义：若在x?x0处,limf?x?不存在,或f?x0?无定义,或limf?x??f?x0?,则称f?x?在x?x0处间
x?x0
x?x0
断,x?x0称为f?x?的间断点．
一、函数、极限、连续
（一）数列极限的定义与收敛数列的性质
数列极限的定义：给定数列?xn?,如果存在常数A,对任给??0,存在正整数N,使当n?N时,恒有
xn?A??,则称A是数列?xn?的当n趋于无穷时的极限,或称数列?xn?收敛于A,记为limxn?A.若
n??
?xn?的极限不存在,则称数列?xn?发散.
收敛数列的性质：
(1)唯一性：若数列?xn?收敛,即limxn?A,则极限是唯一的．
n??
5
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
(2)有界性：若limxn?A,则数列?xn?有界,即存在M?0,使得对?n均有xn?M.
n??
(3)局部保号性：设limxn?A,且A?0?或A?0?,则存在正整数N,当n?N时,有xn?0?或xn?0?.
n??
(4)若数列收敛于A,则它的任何子列也收敛于极限A.
（二）函数极限的定义
（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)
1．海涅定理：limf?x??A?对任意一串xn?x0?xn?x0,n?1,2,??,都有 limf
x?x0
n??
?xn??
． A
f?x??lim?f?x??A; 2.充要条件：(1)limf(x)?A?lim?
x?x0
x?x0
x?x0
(2)limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A.
x??
x???
x???
3.柯西准则：limf?x??A?对任意给定的??0,存在??0,当
x?x0
0?x1?x0??,0?x2?x0??时,有f?x1??f?x2???.
（x)?f(x)??(x),且lim?(x)?lim?(x)?A,则4.夹逼准则：若存在??0,当0?x?x0??时,有?
x?x0
x?x0
x?x0
limf(x)?A.
5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的x1,x2,x1?x2,有f?x1??f?x2?(或f?x1??f?x2?),且存在
常数M,使f?x??M(或f?x??M),则limf?x?存在.
x???
（四）无穷小量的比较 (重点记忆)
1.无穷小量阶的定义,设lim?(x)?0,lim?(x)?0.
6
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
(1)若lim?(x)?0,则称?(x)是比?（x)高阶的无穷小量. ?(x)
(2)若lim
(3)若lim
(4)若lim
(5)若lim?(x)??,则?(x)是比（?x)低阶的无穷小量. ?(x)?(x)?c(c?0),则称?(x)与?（x)是同阶无穷小量. ?(x)?(x)?1,则称?(x)与?（x)是等价的无穷小量,记为?(x)??(x). ?(x)?(x)?c(c?0),k?0,则称?(x)是?（x)的k阶无穷小量 ?k(x)
2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)
当x?0时,
sinx?
arcsinx??tanx?1?coxs? ~x,?arctanx?(1?x?)?ln(1?x)??ex?1??12x 21?~x??是实常数?
（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)
定理1 limf(x)?A?f?(x0)?f?(x0)?A. x?x0
定理2 limf(x)?A?f(x)?A?a(x),其中lima(x)?0. x?x0x?x0
定理3 (保号定理)：设limf(x)?A,又A?0(或A?0),则?一个??0,当 x?x0
x?(x0??,x0??),且x?x0时，f(x)?0(或f(x)?0).
定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.
（x)?f(x)??(x),且 定理5 (夹逼定理)：设在x0的领域内,恒有?
x?x0lim?(x)?lim?(x)?A,则limf(x)?A． x?x0x?x0
定理6 无穷小量的性质：
(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;
(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;
(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．
定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设limf?x??A,limg?x??B,则
(1)lim(f(x)?g(x))?A?B
(2)limf(x)g(x)?A?B (3)limf(x)A?(B?0) g(x)B
定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．
定理10 初等函数在其定义域的区间内连续．
定理11 设f?x?连续,则f?x?也连续．
7
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)
(1)lim
sinx
?1
x?0x
1
x
x?0
n??
(2)lim(1?x)?e,lim(1?)n?e.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设
1n
limf?x??0,且f?x??0则有lim
sinf?x?fx?1,lim??1?f?x???
1
fx?e)
?0,????n?m?
a0xn?a1xn?1???an?1x?an?a0
(3)lim??,??n?m． x??bxm?bxm?1???bx?b01m?1m?b0
???,???n?m
(4)函数f?x?在x?x0处连续?f??x0??f??x0??f?x0?. (5)当x???时,以下各函数趋于??的速度
lnx,xa?a?0?,ax(a?1),xx
速度由慢到快
??? ???
lnn,na?a?0?,an(a?1),n!,nn
速度由慢到快
(6)几个常用极限
na?0??1, 1, limarctanx?
nx???
?
2
x???
limarctanx??
?
2
limarccotx?0, limarccotx??
x???
x???
x???
x
x?1. limex?0, limex??, lim?
x???
x?0
（七）连续函数的概念
1. f?x?在x?x0处连续,需满足三个条件：
①
f?x?在点x0的某个领域内有定义
②f?x?当x?x0时的极限存在
f?x0??x??f?x0??③limf?x??f?x0??lim?y?lim???0. ?x?0x?x0?x?x
2. f?x?在x0左连续：f?x?在?x0??,x0?内有定义,且lim?f?x??f?x0?.
x?x0
3. f?x?在x0右连续：f?x?在?x0,x0???内有定义,且lim?f?x??f?x0?.
x?x0
4. f?x?在?a,b?内连续：如果f?x?在?a,b?内点点连续．
5. f?x?在?a,b?内连续：如果f?x?在?a,b?内连续,且左端点x?a处右连续,右端点x?b处左连
8
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
续．
（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)
1．有界性定理：设函数f?x?在?a,b?上连续,则f?x?在?a,b?上有界,即?常数M?0,对任意的x??a,b?,恒有f?x??M．
2．最大最小值定理：设函数f?x?在?a,b?上连续,则在?a,b?上f?x?至少取得最大值与最小值各一次,即??,?使得：
. f????max?f?x??,???a,b?; f????min??,???a?,b?f?xa?x?ba?x?b
3．介值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续,?是介于f?a?与f?b?(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在?a,b?上至少?一个?,使得
f?????.?a???b?．
4．零点定理：设函数f?x?在?a,b?上连续,且f?a??f?b??0,则在?a,b?内至少?一个?,使得f????0?a???b?.
（九）连续函数有关定理
1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数．
2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．
3．复合函数的连续性：u???x?在点x0连续,??x0??u0,而函数y?f?u?在点u0连续,则复合函数y?f????x???在点x0连续．
4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．
（十）间断点的定义及分类
1．定义：若在x?x0处,limf?x?不存在,或f?x0?无定义,或limf?x??f?x0?,则称f?x?在x?x0处间x?x0x?x0
断,x?x0称为f?x?的间断点．
9
新东方在线 [ ] 20xx年考研全科全程辅导
更多考研免费资料请访问新东方在线
10
