数列常见题型分析与做法
一、等差、等比数列的概念与性质
1、已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且,求;
(I)依题意
二、求数列的通项
类型1
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足,,求 答案:
类型2
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足,,求 答案:
类型3 (其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中,,,求.
提示: 答案:.
类型4 递推公式为与的关系式。(或)
解法:这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。
例:已知数列前n项和. (1)求与的关系;(2)求通项公式.
解:(1)由得: 于是
所以.
(2) 两边同乘以得:
由.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
三、数列求和
1、设的前n项和,求.
解:
而
2、求和:. 答案:
3、求数列的前n项和 答案:
4、已知集合A={a|a=2n+9n-4,n∈N且a<2000},求A中元素的个数,以及这些元素的和
提示:210=1024,211=2048 答案:10 ; 2501
5、求证: 倒序相加
6、求数列,,,…,,…的前n项和S
7、求数5,55,555,…,55…5 的前n项和Sn
解: 因为 55 … 5=所以 Sn=5+55+555+…+55…5 =
= =
一、选择题 1.在数列中,等于( )
A. B. C. D.
2.等差数列项
的和等于( ) A.B. C. D.
3.等比数列中, 则的前项和为( )
A. B. C. D.
4.与,两数的等比中项是( )
A. B. C. D.
5.已知一等比数列的前三项依次为,那么是此数列的第( )项
A. B. C. D.
6.在公比为整数的等比数列中,如果那么该数列的前项之和为( )A. B. C. D.
二、填空题
1.等差数列中, 则的公差为______________。
2.数列{}是等差数列,,则_________
3.两个等差数列则=___________.
4.在等比数列中, 若则=___________.
5.在等比数列中, 若是方程的两根,则=___________.
6.计算___________.
三、解答题1.成等差数列的四个数的和为,第二数与第三数之积为,求这四个数。
2.在等差数列中, 求的值。
3.求和:
4.设等比数列前项和为,若,求数列的公比
《数列》参考答案
一、选择题 1.C
2.B
3.B
4.C
5.B
6.C
而
二、填空题
1. 2.
3.
4. 5.
6.
三、解答题
1. 解:设四数为,则
即,当时,四数为当时,四数为
2. 解:
∴
3. 解:原式=
4. 解:显然,若则而与矛盾
由
而,∴
第二篇:-数列常见题型总结 -
--数列(常见、常考题型总结)
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)
A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知为等差数列的前项和,,求;
2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.
B)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知为等差数列的前项和,,则 ;
2、设、分别是等差数列、的前项和,,则 .
3、设是等差数列的前n项和,若( )
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=( )
5、已知为等差数列的前项和,,则 .
6、在正项等比数列中,,则_______。
7、已知数列是等差数列,若 ,且,则_________。
8、已知为等比数列前项和,,,则 .
9、在等差数列中,若,则的值为( )
10、在等比数列中,已知,,则 .
11、已知为等差数列,,则 .
12、等差数列中,已知= .
题型二:求数列通项公式:
A)给出前几项,求通项公式
3,-33,333,-3333,33333……
B)给出前n项和求通项公式
1、⑴; ⑵.
2、设数列满足,求数列的通项公式
C)给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式,可利用迭加法或迭代法;
例:已知数列中,,求数列的通项公式;
b、已知关系式,可利用迭乘法.
例、已知数列满足:,求求数列的通项公式;
c、构造新数列
1°递推关系形如“”,利用待定系数法求解
例、已知数列中,,求数列的通项公式.
2°递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解
例、,求数列的通项公式.
3°递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解
例、已知数列中,,求数列的通项公式.
4°递推关系形如",两边同除以
例1、已知数列中,,求数列的通项公式.
例2、数列中,,求数列的通项公式.
d、给出关于和的关系
例1、设数列的前项和为,已知,设,
求数列的通项公式.
例2、设是数列的前项和,,.
⑴求的通项;
⑵设,求数列的前项和.
题型三:证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
例1、已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.求证:{}是等差数列;
B)证明数列等比
例1、设{an}是等差数列,bn=,求证:数列{bn}是等比数列;
例2、设为数列的前项和,已知
⑴证明:当时,是等比数列;⑵求的通项公式
例3、已知数列满足
⑴证明:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;
⑶若数列满足证明是等差数列.
题型四:求数列的前n项和
基本方法:
A)公式法,
B)拆解求和法.
例1、求数列的前项和.
例2、求数列的前项和.
例3、求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3)
C)裂项相消法,数列的常见拆项有:;;
例1、求和:S=1+
例2、求和:.
D)倒序相加法,
例、设,求:
⑴;
⑵
E)错位相减法,
例、若数列的通项,求此数列的前项和.
F)对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.
题型五:数列单调性最值问题
例1、数列中,,当数列的前项和取得最小值时, .
例2、已知为等差数列的前项和,当为何值时,取得最大值;
例3、数列中,,求取最小值时的值.
例4、数列中,,求数列的最大项和最小项.
例5、设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;(Ⅱ)若,,求的取值范围.
例6、已知为数列的前项和,,.
⑴求数列的通项公式;
⑵数列中是否存在正整数,使得不等式对任意不小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.
例7、非等比数列中,前n项和,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由。