数列常见题型分析与方法总结

时间:2024.3.27

数列常见题型分析与做法

一、等差、等比数列的概念与性质

1已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且,求

(I)依题意               

二、求数列的通项

类型1   

 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。

:已知数列满足,求  答案:

类型2    

 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

:已知数列满足,求    答案:

类型3  (其中p,q均为常数,)。

解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。

:已知数列中,,求.

提示:    答案:.

类型4 递推公式为的关系式。(或)

解法:这种类型一般利用消去 或与消去进行求解。

例:已知数列前n项和. (1)求的关系;(2)求通项公式.

解:(1)由得:  于是

所以.

(2)  两边同乘以得:

.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以

三、数列求和

1、设的前n项和,求.

解:

       而     

2、求和:.                                  答案:

3、求数列的前n项和    答案:

4、已知集合A={a|a=2n+9n-4,n∈N且a<2000},求A中元素的个数,以及这些元素的和

提示:210=1024,211=2048    答案:10   ;  2501

5、求证:   倒序相加

6、求数列,…,,…的前n项和S

7、求数5,55,555,…,555 的前n项和Sn

解: 因为 55 5=    

所以 Sn=5+55+555+…+555 =

        = =

一、选择题  1.在数列中,等于(  

A    B   C    D 

2.等差数列

的和等于    ) AB    C  D

3.等比数列中, 的前项和为(   

     A        B      C       D

4,两数的等比中项是(   

A      B   C    D

5.已知一等比数列的前三项依次为,那么是此数列的第(    )项

 A      B     C      D 

6.在公比为整数的等比数列中,如果那么该数列的前项之和为(    )A      B   C      D

二、填空题

1.等差数列中, 的公差为______________

2.数列{}是等差数列,,则_________

3.两个等差数列­­=___________.

4.在等比数列中, ­­=___________.

5.在等比数列中, 是方程的两根,则­­=___________.

6.计算___________.

三、解答题1.成等差数列的四个数的和为,第二数与第三数之积为,求这四个数。

2.在等差数列中, 的值。

3.求和:

4.设等比数列项和为,若,求数列的公比

《数列》参考答案

  一、选择题   1.C

2.B 

    

3.B 

4.C 

5.B        

6.C 

   

二、填空题  

1.          2.    

3.     

4.      5.       

6  

            

三、解答题 

1.       解:设四数为,则

,当时,四数为时,四数为 

2.       解:

 

3.       解:原式= 

4.       解:显然,若矛盾

 


第二篇:-数列常见题型总结 -


--数列(常见、常考题型总结)

题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)

A)根据基本量求解(方程的思想)

1、已知为等差数列的前项和,,求

2、等差数列中,成等比数列,求数列前20项的和

3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.

4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.

B)根据数列的性质求解(整体思想)

1、已知为等差数列的前项和,,则          

2、设分别是等差数列的前项和,,则      .

3、设是等差数列的前n项和,若(    )

4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=(    )

5、已知为等差数列的前项和,,则         .

6、在正项等比数列中,,则_______。

7、已知数列是等差数列,若  ,,则_________。

8、已知为等比数列项和,,则        .

9、在等差数列中,若,则的值为(    )

10、在等比数列中,已知,则       .

11、已知为等差数列,,则          .

12、等差数列中,已知=                    .

题型二:求数列通项公式:

A给出前几项,求通项公式

3,-33,333,-3333,33333……

B)给出前n项和求通项公式

1、⑴;  ⑵.

2、设数列满足,求数列的通项公式

C)给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式,可利用迭加法或迭代法;

例:已知数列中,,求数列的通项公式;

b、已知关系式,可利用迭乘法.

例、已知数列满足:,求求数列的通项公式;

c、构造新数列

1°递推关系形如“”,利用待定系数法求解

例、已知数列中,,求数列的通项公式.

2°递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解

例、,求数列的通项公式.

3°递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解

例、已知数列中,,求数列的通项公式.

4°递推关系形如",两边同除以

例1、已知数列中,,求数列的通项公式.

例2、数列中,,求数列的通项公式.

d、给出关于的关系

例1、设数列的前项和为,已知,设

求数列的通项公式.

例2、设是数列的前项和,.

⑴求的通项;

⑵设,求数列的前项和.

题型三:证明数列是等差或等比数列

A)证明数列等差

例1、已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.

例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn1=0(n≥2),a1=.求证:{}是等差数列;

B)证明数列等比

例1、设{an}是等差数列,bn,求证:数列{bn}是等比数列;

例2、设为数列的前项和,已知

⑴证明:当时,是等比数列;⑵求的通项公式

例3、已知数列满足

⑴证明:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;

⑶若数列满足证明是等差数列.

题型四:求数列的前n项和

基本方法:

A)公式法,

B)拆解求和法.

例1、求数列的前项和.

例2、求数列的前项和.

例3、求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3)

C)裂项相消法,数列的常见拆项有:

例1、求和:S=1+

例2、求和:.

D)倒序相加法,

例、设,求:

E)错位相减法,

例、若数列的通项,求此数列的前项和.

F)对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.

题型五:数列单调性最值问题

例1、数列中,,当数列的前项和取得最小值时,      .

例2、已知为等差数列的前项和,为何值时,取得最大值;

例3、数列中,,求取最小值时的值.

例4、数列中,,求数列的最大项和最小项.

例5、设数列的前项和为.已知

(Ⅰ)设,求数列的通项公式;(Ⅱ)若,求的取值范围.

例6、已知为数列的前项和,.

⑴求数列的通项公式;

⑵数列中是否存在正整数,使得不等式对任意不小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.

例7、非等比数列中,前n项和

(1)求数列的通项公式;

(2)设,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由。

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