5.1二次函数(表格式)

时间:2024.3.19

第二篇:二次函数的基本形式总结


二次函数知识点

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:的性质:

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. 的性质:

上加下减。

3. 的性质:

左加右减。

4. 的性质:

三、

二次函数图象的平移

  1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标

⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

 

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

   方法二:

沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

(或

沿x轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或

四、二次函数的比较

从解析式上看,是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中

五、二次函数图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.

六、二次函数的性质

  1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为

时,的增大而减小;当时,的增大而增大;当时,有最小值

  2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,的增大而增大;当时,的增大而减小;当时,有最大值

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:为常数,);

2. 顶点式:为常数,);

3. 两根式:是抛物线与轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中,作为二次项系数,显然

     ⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;

     ⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.

总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.

   ⑴ 在的前提下,

时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;

时,,即抛物线的对称轴就是轴;

时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.

⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即

时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;

时,,即抛物线的对称轴就是轴;

时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.

总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.

的符号的判定:对称轴轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”

总结:

  3. 常数项

     ⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;

     ⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为

     ⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.

     总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.

 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数:

① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.

② 当时,图象与轴只有一个交点;

③ 当时,图象与轴没有交点.

 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有

 时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有

2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶ 根据图象的位置判断二次函数的符号,或由二次函数中的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

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