二次函数专题知识归纳

目 录

课本目录... 2

课程目标... 2

二次函数的定义... 2

二次函数的图像和性质... 3

〖考查重点与常见题型〗... 5

求抛物线的顶点、对称轴的方法... 6

用三种方式表示二次函数... 6

二次函数的最值问题... 6

二次函数和一元二次方程... 7

二次函数总结归纳... 8

一、    二次函数（12）

课本目录

22.1 二次函数的图象和性质（6） 

22.1.1 二次函数   

22.1.2二次函数y＝ax²的图象和性质

22.1.3 二次函数y＝a（x－h）²＋k的图象和性质

22.1.4 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质

2.2 用函数观点看一元二次方程（1） 

信息技术应用  探索二次函数的性质

22.3实际问题与二次函数（3） 

阅读与思考  推测滑行距离与滑行时间的关系

数学活动

小结（2）

课程目标

二次函数的定义

 

1、二次函数的定义（重点）

形如的函数叫做二次函数，即叫做的二次函数。其中，x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

注意3点：（1）函数的关系式是整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于0。

任何一个二次函数的解析式，都可以化的形式，因此，把叫做二次函数的一般式。

二次函数的图像和性质

2、二次函数（a是常数，且a≠0）的图像和性质

图象是一条抛物线，抛物线是向两方无限延伸的。作法：?列表；?描点；?连线

1、二次函数（a、h是常数，且a≠0）的图像和性质（重点）

        由抛物线向左（或右）平移  个单位得到。

2、二次函数（a是常数，且a≠0，k是常数，≠0）的图像和性质（重点）

      由抛物线向上（或下）平移  个单位得到的。

3、二次函数（a、h、k是常数，且a≠0）的图像和性质（重点）

        由抛物线向左（或右）平移  个单位，再向上（或下）平移  个单位得到的。

4、二次函数的图象与性质：

通过配方法

〖考查重点与常见题型〗

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数

y＝(m－2)x²＋m²－m－2额图像经过原点，  则m的值是         

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

  

 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用三种方式表示二次函数

一、二次函数的三种表示方法：1、解析法（用函数表达式表示）、2、表格法 3、图像法

二、用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

二次函数的最值问题

对二次函数，若自变量为任意实数，则取最值情况为：

（1）当时，

（2）当时， 

若自变量的取值范围为，则取最值分和两种情况，由、与的大小关系确定。

1．对于：

（1）当，因为对称轴左侧随的增大而减小，所以的最大值为，最小值为。这里、分别是在与时的函数值。

（2）当，因为对称轴右侧随的增大而增大，所以的最大值为，最小值为。

（3）当，的最大值为、 中较大者，的最小值为.

2．对于

（1）当，的最大值为，最小值为。

（2）当，的最大值为，最小值为。

（3）当，的最小值为、 中较大者，的最大值为.

综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：、、

二次函数和一元二次方程

1、 二次函数与一元二次方程的关系：二次函数（，当y=0时，二次函数就变成了一元二次方程，因为x轴可以用y=0表示，所以的根就是二次函数与x轴交点的横坐标

2、直线与抛物线的交点

 （1）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

（2）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点；

②方程组只有一组解时与只有一个交点；

③方程组无解时与没有交点。

 

二次函数总结归纳

 1．二次函数的解析式：

（1）二次函数解析式的一般式（通式）：                ，化为顶点式为：                   ，其中二次项系数是  ，一次项系数为   ，常数项为   ；它的顶点坐标为（            ，            ），对称轴为         。

（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：                ，顶点坐标为（            ，         ）对称轴是               。化为一般式：                   ，（一般式与顶点式可以互相转化）

（3）二次函数解析式的交点式：                 。此时抛物线的对称轴为        。其中，（x₁,0）（x₂,0）是抛物线与X轴的交点坐标。与一般式的关系：                                 ，显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的。

 2.．二次函数y=a(x-h) ²+k的图像和性质（换成一般式：y=ax² +bx+c（a≠0））

3．二次函数y=ax² +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系：

（1）a的符号与开口方向：a    0开口方向向    ；     a    0开口方向向   ；

（2）a、b的符号与对称轴x = －位置：在Y轴的左侧 a、b     ；

在Y轴的右侧 a、b      ；      Y轴 b     0

（3）c的符号与抛物线和y轴的交点位置： 点（0，c）在Y轴正半轴 c     0；

点（0，c）在原点c      0；点（0，c）在Y轴负半轴 c      0；

4．抛物线y=ax²+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系：

抛物线y=ax² +bx+c（a≠0）与x轴交点有三种情况：当二次函数y=ax² +bx+c的图象与x轴有交点时，即：当y=0时，一元二次方程ax² +bx+c=0的解就是抛物线与x轴交点的横坐标。

（1）b²-4ac    0 方程有两个不相等的实数根抛物线与X轴有两个不同的交点；

（2）b²-4ac    0 方程没有实数根          抛物线与X轴没有交点

（3）b²-4ac    0 方程有两个相等的实数根  抛物线与X轴只有一个交点；

5．点与二次函数图象的关系：

（1）点A在函数y=ax² +bx+c（a≠0）的图像上.则有                  .

（2）求一次函数的图像与二次函数的图像的交点，解方程组                .

（3）抛物线与轴两交点：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

第二篇：初三数学二次函数知识点汇总教案

★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线中，的作用

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：

①时，对称轴为轴；②(即、同号)时,对称轴在轴左侧；

③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

 (1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

 (1)轴与抛物线得交点为()

 (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

 (3)抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

(4)平行于轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故  

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．

(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根

14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．