y = ax + k
上下平移 y = a( x – h )2 + k 上下平移 y = a( x – h )2
2一般地,抛物线 y = a(x- h )+k与y = ax2的形状相同,位置不同。 向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位【或左(h<0)】
第二篇:二次函数的总结
【知识要点】
1.二次函数的定义:一般地,如果y=ax+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时,二次函数y=ax是最简单的二次函数.
2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置,将y=ax沿着y轴(上“+”,下“-”)平移k(k﹥0)个单位得到函数y=ax
22222?k;将y=ax2沿着x轴(左“+”,右“-”)平移h(h﹥0)个单位得到y=a(x?h).在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿y
轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减),若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减((左加右减).
【典型例题】
例1(2010 陕西省中考题 )已知抛物线C:y=x+3x-10,将抛物线C平移得到抛物线C’.若两条抛物线C、C’关于直线x=1对称,则下列平移方法中,正确的是( )
A. 将抛物线C向右平移25个单位 2
B. 将抛物线C向右平移3个单位
C. 将抛物线C向右平移5个单位
D. 将抛物线C向右平移6个单位
【知识要点】
bb4ac?b2
1、二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是以(-,)为顶点,以x=-2a2a4a2
为对称轴的一条抛物线.
2、在画二次函数的图象时应抓住以下五点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴交点,与y轴交点.
3、抛物线y=ax+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系:
(1)当a﹥0时,开口向上,a越大,开口越小,图象两边越靠近y轴.在对称轴x=-的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴x=-2b2ab的右侧,y随x的增大而增大.此时,y有2a
b4ac?b24ac?b2
最小值y=,顶点(-,)为最低点.(同样的方法,分析当a﹤0时的2a4a4a
情况)
(2)ab﹥0时,对称轴在y轴左侧;ab=0时,对称轴是y轴;ab﹤0时,对称轴在y轴右侧.c﹥0时,与y轴正半轴相交;c=0时,经过原点;c﹤0时,与y轴负半轴相交.
【典型例题】
例1 若抛物线y=a(x+1)+b和抛物线y=2x的形状相同,且经过点(2,3),求a,b的值。例2 已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②b<a+c;③a+b+c>0;④2a-b>0;⑤9a-3b+c<0.其中正确的有( )
222
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
【知识要点】
1、二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点?△﹥0?抛物线与x轴相交.②有一个交点?△=0?抛物线与x轴相切.③没有交点?△﹤0?抛物线与x轴相离.
2.一次函数y=kx+n(k≠0)的图象L与二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象G的交点,222
?y?kx?n由方程组?的解的数目确定:①当方程组有两个不同的解时?L与G有两个2?y?ax?bx?c
交点;②方程组只有一组解时?L与G只有一个交点;③方程组无解时?L与G有没有交点.
3.二次函数与x轴的两交点坐标分别为A?x,0?,B?x,0?,则12
AB?x2?x1=?=?4x1x2a x1?x22【典型例题】
例1 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0).
(1)求b、c的值.
(2)若抛物线与y轴交点为B,坐标原点为O,求△OAB的周长(答案可带根号).
例2 二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示,则一次函数y?bx?b2?4ac与反比例函数y?a?b?c
x在同一坐标系内的图象大致为( )
y
y y y
? x x x
1O 1 O O x O A. C. D.
【知识要点】
求二次函数的解析式,要根据具体情况,选择适当方法.二次函数常见的表达式有三种:
(1)已知任意三点求解析式用一般式,即y=ax2+bx+c(a≠0).其方法是:把三点坐标值分别代入一般式,得到关于a,b,c的三元一次方程组,求出a,b,c,即可得二次函数解析式.
(2)已知顶点或最大(小)值求解析式用顶点式,即y=a(x-h)2+k(a≠0).其方法是:先将顶点坐标(h,k)或最大(小)值代入顶点式,再把另一点坐标代入求出a,即可得二次函数解析式.
(3)已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式,即y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).其方法是:将抛物线与x轴两交点横坐标x1,x2代入交点式,然后将抛物线上另一点坐标代入求出a,即可得二次函数解析式.
【典型例题】
例1 如图20-4-1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=2时,y的值相等.直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M,求这条抛物线的解析式.
x
图例1
例2 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为
分析:方法一:因为抛物线的对称轴为x=2,则可设解析式为y=a(x-2)2+b,再将两点坐标代入求出a、b的值.
b方法二:将两点坐标代入y=ax2+bx+c中,得到两个方程式,再由x=-=2得到一2a
个方程,然后联立解这个方程组,得a、b、c的值.
方法三:因为抛物线的对称轴是x=2,由线的对称性可知,抛物线与x轴另一交点为(-1,0).可由交点式求出解析式.
51解:y=-x2+2x+ 22
【能力提升】
存在问题
1.如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图像与x轴交于点A(-2,0),B,与y轴交
于点C,tan∠ABC=2.
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得经过点P
的直线PM垂直于直线CD,且与直线OP的夹角为75°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物
线与线段EF
总有公共点.试探究:抛物线最多可以向上平移多少个单位长度?