二次函数应用常见题型总结

一、利润型

（2013贵州省毕节市，25，12分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为的取值范围为元。（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

 (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？

（20##山东省青岛市，22，10）（10分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：

⑴试判断y与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；

⑵若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；

⑶若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

二、运动型问题

10、某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高M，与篮圈中心的水平距离为7 M，当球出手后水平距离为4 M时到达最大高度4 M，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3 M

（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中。

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1 M处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 M，那么他能否获得成功？

三、涵洞型问题

2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

       （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．

       （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

 

四、二次函数与三角形

（20##广州市，24， 14分）如图9，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式。

 

五、二次函数与四边形

2013四川宜宾，22，10分）如图，抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5.

（1）  求抛物线顶点A的坐标；

（2）  设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）  在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

六、二次函数与圆

24、（2013?烟台压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

12、（2013?宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

 （1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

七、动点与二次函数

30、（2013?衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

2013衡阳

（2013湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．答案如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则新坐标（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

20、（2013?衢州压轴题）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；

（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）²+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

第二篇：一元二次方程 (知识点汇总+归类总结+题型汇总) Microsoft Word 文档

（人教版）第二十一章 一元二次方程 （知识点汇总+归类总结+题型汇总）

一、一元二次方程的概念

1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________．

二、一元二次方程的解法

1．解一元二次方程的基本思想是 ，

主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.

b2?222．配方法：通过配方把一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0，b－4ac≥0)变形为?x＋＝?2a?

__________的形式，再利用直接开平方法求解．

223．公式法：一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)当b－4ac≥0时，x＝____________.

4．用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__________．

三、一元二次方程根的判别式

1．一元二次方程根的判别式是__________． 222．(1)b－4ac＞0?一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；

22 (2)b－4ac＝0?一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；

22 (3)b－4ac＜0?一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．

四、一元二次方程根与系数的关系

1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．

22．若一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2

22＝__________.注意：（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1?x2

（2）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1?x2；

x1?x2?

五、实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)________；(6)检验；(7)写出答案． 一元二次方程的定义：

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )

12222 A．x＋2＝0 B．ax＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x－2xy－5y＝x0

2.下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）

222 A.ax?bx?c?0 B.ax?1?x?x

2 C.(a2?1)x2?(a2?1)x?0 D.x?

221?a?0 x?33.关于x的一元二次方程（a—1）x+x—2=0是一元二次方程，则a满足（ ）

A. a≠1 B. a≠—1 C. a≠±1 D.为任意实数

4.一元二次方程(1?3x)(x?3)?2x2?1化为一般形式为：， 二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

5.关于x的方程(m?1)x?(m?1)x?3m?2?0,当m 当m 时为一元二次方程。

26.关于x的方程3x?2x?m?0的一个根为-1，则方程的另一个根为______，m?______。。 2

227.已知m是方程x?2x?5?0的一个根，则m?2m?______________。

1

8.关于x的一元二次方程(a?1)x2?x?a2?1?0的一个根是0，则a的值为（ ）

A. 1 B.?1 C.1或?1 D.0 解一元二次方程：

1.选用合适的方法解下列方程

x?12x2

(x?4)?5(x?4) (x?1)?4x (x?3)?(1?2x) 2??1．x?1x2222

2x2?10x?3 3x2＝2x； x（3x－1）＝3－x； 4（x－2）2－（3x－1）2＝0；

（2x－1）＋3（2x－1）＋2＝0； 3x?x?2＝0．； x（2x+3）=4x+6

22.配方法解方程x—4x+2=0，下列配方正确的是（ ）

A．(x?2)2?2

222B．(x?2)2?2 C．(x?2)??2 2D．(x?2)?6 23.解方程（5x—1）=3（5x—1）的适当方法是（ ）

A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法

4.等腰三角形的底和腰分别是方程x2?6x?8?0的两个根，则这个三角形的周长是（ ）

A．8 B．10 C．8或10 D． 不能确定

25.若方程ax?bx?c?0(a?0)中，a,b,c满足a?b?c?0和a?b?c?0，则方程的根是

（ ） A. 1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定

26.关于x的方程(a －5)x－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

27. 用配方法解方程x?4x?2?0,则下列配方正确的是( )

A.(x?2)?2 B.(x?2)?2 C.(x?2)??2 D.(x?2)?6

8. x+3x+ =（x+ ） ；x— +2=（x ）

9.若(a?b)(a?b?2)?8，则a?b=

210.当n?_________时，方程x?nx?7?n的一个根是2 2222 2222

211. 代数式x?2x?5的最小值是__________12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程

_______________________13.如果x－2(m+1)x + m+ 5=0是一个完全平方公式，则m . 根与系数的关系：

注意：

一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，

22

2

从而确定系数的值或取值范围．

21. 关于x的一元二次方程x＋kx－1=0的根的情况是( )

A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根 D、没有实数根

22．已知关于x的一元二次方程(a－1)x－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )

A．a＜2 B．a＞2C．a＜2且a≠1 D．a＜－2

23.关于x的一元二次方程x＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )

A．0 B．8 C．4±2 D．0或8

24.已知三角形的两边长是方程x—5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）

A. 1＜L＜5 B. 2＜L＜6 C. 5＜L＜9 D. 6＜L＜10

25.方程x—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长为（ ）

A. 12 B. 12或 15 C. 15 D. 不能确定

26.若x1，x2是一元二次方程x＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( )

A．4 B．3 C．－4 D．－3

7.若m是关于x的一元二次方程x2?nx?m?0的根，且m≠0，则m?n的值为（ ）

11 D. 22

8.设m是方程x2?5x?0的较大的一根，n是方程x2?3x?2?0的较小的一根，则m?n?（ ） A. ?1 B. 1 C.? A. —4 B. —3 C. 1 D. 2

229.已知关于x的方程x－2(k－1)x＋k＝0有两个实数根x1，x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

10.已知方程

(1)求证方程必有相异实根。

（2）取何值时，方程有两个正根。

（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？

（4）取何值时，方程有一根为零？

11.已知a,b,c是三角形的三条边，求证：关于x的方程bx?(b?c?a)x?c?0没有实数根.

一元二次方程解决实际问题：

1.某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为 元。

2.某小区准备在两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程为___________

3.某同学存入300元的活期储蓄，存满三个月时取出（利息按单利息计算），共得本息和为302.16元，则活期储蓄的月利率为（ ）

A、0.24%； B、0.24； C、0.72； D、0.82。

4.县化肥厂第一季度增产a吨化肥，以后每季度比上一季度增产x，则第三季度化肥增产的吨数为（ ） A．a(1?x)2 B．a(1?x%)2 C．(1?x%)2 D．a?a(x%)2

5.某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

A．200(1?a%)2=148 B．200(1?a%)2=148 222222

3

C．200(1?2a%)=148 D．200(1?a2%)=148

6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.

A．12 B．10 C．9 D．8 7.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?

【数字问题】

【规律】两位数=十位数上的数字×10+个位数字；

三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字。

（一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他数位上的数字为不大于9的非负整数。）

1.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置之后，得到新的两位数比原来两个数字的积还大38，求这个两位数。

【利润问题】解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；

②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％ ；

③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出。

1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

2.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？

3.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为

2.8元，则第二次采购玩具多少件？

【面积问题】

1.学校课外生物小组的试验园地是长35米，宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）

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