数列知识点及经典习题

二、重难点击

一、本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

二、数列通项与前项和的关系1．

2．

知识归纳：

1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；

2°.通项公式：

3°.前n项和公式：公式：

②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列

1°.若是等差数列，则

2°.若是等比数列，则

②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且

③设p、q、r、s为正整数，且

1°. 若是等差数列，则

2°. 若是等比数列，则

④顺次n项和性质：

1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；

2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）

⑤若是等比数列，

则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.

⑥若是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；

2°.若n为偶数，则

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.

例1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列                                                    （   ）

（A）为常数数列        （B）为非零的常数数列      （C）存在且唯一       （D）不存在

例2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为                              （   ）

（A）   （B）     （C）或     （D）或

例3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为                        （   ）

（A）        （B）        （C）       （D） 不确定

例4、已知数列中，，若则此数列的第项是         

例5、在等差数列中，与是方程的两根，则为         

例6．在等差数列中，公差，，则的值为（   ）

    （A）40            （B）45                  （C）50             （D）55

例7．已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（   ）

    （A）1或        （B）1或             （C）1或         （D）1或

例8．如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（   B    ）

（A）b=3,ac=9            (B)b=-3,ac=9       (C)b=3,ac=-9    (D)b=-3,ac=-9

例9．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（   B    ）

A.40               B.42               C.43             D.45

例10. 在等差数列中，则的值为（ c ）

A.84           B.72          C.60           D.48

例11. 在等差数列中,若，则的值等于（C  ）

A.45           B.75          C.180          D.300

例12.在等差数列中,若，则的值等于（C  ）

A.45           B.75          C.180          D.300

例13、在等比数列中，如果，，那么为（    ）

A．                 B．                 C．                D．

例14、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（    ）

A．                 B．                  C．                 D．

例15、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（    ）

         A．       B．                C．                D．

第二篇：数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

数列的综合应用

【考纲说明】

1．会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和；

2．能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题；

3 .理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；

【知识梳理】

考点一：通项公式的求解技巧

1.   归纳、猜想数列的通项.

2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.

3.   用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.

4.   已知数列{a_n}前n项和S_n，则.

5.   已知a_n-a_n-1=f(n)(n³2),则可用叠加法求a_n.

6.   已知=f(n)(n³2),则可用叠乘法求a_n.

7.   已知数列{a_n}前n项之积T_n，一般可求T_n-1，则a_n=.

8.   已知混合型递推式f(a_n,S_n)=0,可利用a_n=S_n-S_n-1(n³2)将关系式转化为只含有a_n或S_n的递推式,再求a_n或先间接求出S_n再求出a_n.

9.   已知数列{a_n}的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(a_n)}为等差或等比数列.

例如:形如a_n+1=Aa_n+f(n)或a_n+1=Aa_n+qⁿ,均可以两边同时除以Aⁿ⁺¹后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如a_n＝的递推数列可以两边同时倒数来求通项.

考点二：数列求和的技巧

一、公式法

1、等差数列的前项和公式

 

2、等比数列的前项和公式

 

3、常用几个数列的求和公式

（1）

（2）

（3）

二、错位相减法

 用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。

三、裂项相消法

适用于{}其中{a_n}是各项不为0的等差数列。即:=(-),

特别:;.

   

 

四、倒序相加法

 推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它

 与原数列相加，就可以得到个。

五、分组求和法

 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等

 差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

考点三：数列的综合应用

一、数列与函数的综合

二、等差与等比数列的综合

三、数列的实际应用

  数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合

【经典例题】

【例1】 (20##年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的

 等比中项，为的前n项和, ,则的值为

    A．-110  　　    B．-90 　　     C．90  　           D．110

【解析】D

【例2】(20##年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且

  ,那么 (   )

   A. 1           B. 9             C. 10           D. 55

【解析】A

【例3】（20##年江西省高考题）数列{a_n}的通项公式是a_n=，若前n项和为10，

  则项数为（    ）

     A、11    B、99    C、120    D、121

【解析】C

【例4】（2008安徽）设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，c≠0

1.求数列{a_n}的通项公式；

2.设a=，c=，b_n=n（1-a_n），n∈N*，求数列{b_n}的前n项和S_n。

【解析】（1）∵a_n+1-1=c（a_n-1）

  ∴当a≠1时，{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列

  ∴a_n-1=（a-1）c^n-1，即a_n=（a-1）c^n-1+1

  当n=1时，a_n=a仍满足上式。

  ∴数列{a_n}的通项公式为a_n=（a-1）c^n-1+1（n∈N*）

（2）由（1）得b_n=n（1-a）c^n-1=n（）ⁿ，

  S_n=b₁+b₂+…+b_n=+2（）²+…+n（）ⁿ  ①

  S_n=（）²+2（）³+…+（n-1）（）ⁿ+n（）ⁿ⁺¹  ②

  ∴①-②得S_n=+（）²+…+（）ⁿ-n（）ⁿ⁺¹

  ∴S_n=1++（）²+…+（）^n-1-n（）ⁿ=2[1-（）ⁿ]-n（）ⁿ

  ∴S_n=2-（2+n）（）ⁿ

【例5】（2008浙江省） 已知数列{x_n}的首项x₁=3，通项x_n=2ⁿp+nq（n∈N*，p，q为常数），

  且x₁，x₄，x₅成等差数列，求：

（1）   P，q的值；

（2）   数列{x_n}前n项和S_n的公式。

【解析】

（1）   由x₁=3，得2p+q=3

      又x₄=2⁴p+4q，x₅=2⁵p+5q，且x₁+x₅=2x₄，得3+2⁵p+5q=2⁵p+8q

      解得p=1，q=1

（2）S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）=2ⁿ⁺¹-2+

【例6】 (20##年福建理16)已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和S₃=。

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）若函数在处取得最大值，且最大值

     为a₃，求函数f（x）的解析式。

【解析】（I）由

解得

所以

（II）由（I）可知

因为函数的最大值为3，所以A=3。

因为当时取得最大值，

所以

又

   所以函数的解析式为

【例7】(20##年全国新课标卷)等比数列的各项均为正数，且

(1)求数列的通项公式.

(2)设 求数列的前项和.

【解析】（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由得所以。

由条件可知a>0,故。

由得，所以。

故数列{a_n}的通项式为a_n=。

（Ⅱ ）

故

所以数列的前n项和为

【例8】(20##年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.

【解析】

（Ⅰ）

  则 ，

（Ⅱ） 

因为，所以

当时， 即；

所以当时，；当时， .

【课堂练习】

1.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中

  项, ,则等于          

     A.  18            B.  24           C.  60        D.  90     

2.（2010江西理数）等比数列中，，=4，函数，则（  ）

     A．      B.      C.       D.

(1)（2010湖北文数）7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数

 列，则

      A.      B.            C.          D

4.（2010福建理数）设等差数列的前n项和为,若,,则当

   取最小值时,n等于

  A．6              B．7                C．8                D．9

5.（20##年福建（理））已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是(    )

A.数列为等差数列,公差为      B.数列为等比数列,公比为

C.数列为等比数列,公比为     D.数列为等比数列,公比为

6．（20##年重庆（理））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则

7．（20##年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.

8、（20##年全国卷）设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，已知的通项公式。

9、（2011浙江卷）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对，试比较与的大小．

10、（20##年山东卷）已知等差数列满足：，，的前项和为

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令（），求数列的前项和为。

11.（20##年湖北卷（理））已知等比数列满足:,.

(I)求数列的通项公式;

(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.

12．（20##年山东（理））设等差数列的前n项和为,且,.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.

【课后作业】

1.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（    ）    

A．     B．     C．     D．

2.（2010安徽理数）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别 为，则下列等式中恒成立的是

A、                       B、

C、                          D、

 3．（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题:

             

            

其中的真命题为

(A)      (B)        (C)     (D)

4．（20##年新课标Ⅱ卷）等差数列的前项和为,已知,则的最

 小值为________.

 

5. 已知（20##年湖北省质检题）求和：S_n=-1+3-5+7-…+（-1）ⁿ（2n-1）      

6. {a_n}的通项a_n=lg，求{a_n}的前n项和S_n。

7．（20##年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.

8.（2009辽宁卷）等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列

  （1）求{}的公比q；

  （2）求-=3，求  

9.（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.

（Ⅰ）求通项及；

（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

10.若函数对任意都有。

（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论；

（2）求数列的的前项和。

【参考答案】

【课堂练习】

1、C  2、C  3、C  4、A  5、C  6、64  7、63

8、解： 设的公差为，的公比为

由得             ①

由得                ②

由①②及解得  

     故所求的通项公式为  

9、解：设等差数列的公差为，由题意可知

    即，从而  因为

    故通项公式

   （Ⅱ）解：记

    所以

    从而，当时，；当

10、解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，

由于，，所以，，

解得，，由于， ，

所以，

（Ⅱ）因为，所以

因此

故

     所以数列的前项和

11、解:(I)由已知条件得:,又,,

    所以数列的通项或 

(II)若,,不存在这样的正整数;

   若,,不存在这样的正整数.

12、解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为, 

     由,得 , 

        解得,,      因此  

(Ⅱ)由题意知:

    所以时,   故,    

所以,

   则

   两式相减得 

整理得

所以数列数列的前n项和

【课后作业】

1、A   2、D   3、D  4、-49   5、当n为偶数时，S_n=n；当n为奇数时，S_n=-n

6、∵a_n=lg=lg（n+1）-lgn

   ∴S_n=（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+（lg（n+1）-lgn）=lg（n+1）-lg1=lg（n+1）

7、解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得

    . 所以,

  解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

  所以数列的前项和或 

8、解：（Ⅰ）依题意有

          由于 ，故  

          又，从而                  

    （Ⅱ）由已知可得

          故             

9、

10.解：（1）、（倒序相加）

 

则，由条件：对任意都有。

从而：数列是的等差数列。

（2）、

=

=

故：=