初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
a?0）b，c是常数，1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，的函数，叫做二次函数。 这
c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，
数．
2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，
二、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
2三、二次函数y?ax?bx?c的性质
?b4ac?b2?b???x??2a4a??a?02a 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． bbbx??x??2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y随x的增大而增大；当2a时，y有最小当
4ac?b2
值4a． x??
?b4ac?b2?bb???x??x??4a?2a，顶点坐标为?2a2a时，y随 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为．当
4ac?b2bbx??x??x的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y有最大值4a．
四、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；
2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
五、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次
方程ax?bx?c?0?a?
0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1.
2
② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；
2'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
六、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
k?； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，
2
⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
七、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y?ax2?c的性质： 上加下减。
3. y?a?x?h?的性质：
左加右减。
2
4. y?a?x?h??k的性质：
2
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在a?0的前提下，
当b?0时，?
当b?0时，?
当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a
⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b?0时，?
当b?0时，?
当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴x??b在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是2a
“左同右异”
总结：
3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x轴对称
y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
2. 关于y轴对称
y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； 22
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
3. 关于原点对称
y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c；
y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x?h??k；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2222
b2
y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?； 2a22
y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
5. 关于点?m，n?对称
n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，2222
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
y=3(x+4)y=3x
2
2
2
二次函数图像参考：
2
2-3
y=-2x
2
十、函数的应用
?刹车距离
二次函数应用??何时获得最大利润
??最大面积是多少
y=-2(x-3)2
二次函数对应练习试题
1.如果函数y?(k?3)xk
2.函数
函数.
3.若函数y?a(x?3)2过（２.９）点，则当X＝４时函数值Y＝
2.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x相同，这个函数解析式为________。
４.（08绍兴）已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y?x2?1上，下列说法中正确的是（ ）
A．若y1?y2，则x1?x2
B．若x1??x2，则y1??y2 C．若0?x1?x2，则y1?y2
D．若x1?x2?0，则y1?y2
5.二次函数y?ax2?a?5的图象顶点在Y轴负半轴上。且函数值有最小值，则m的取值范围是
6.抛物线y?(3x?1)2当Y随X的增大而增大
7.抛物线y?x2?ax?4的顶点在X轴上，则a值为
8.已知二次函数y??2(x?3)2，当X取x1和x2时函数值相等，当X取x1+x2时函数值为9.若二次函数y?2x2?6x?3当X取两个不同的值X1和X2时，函数值相等，则10.若二次函数y?ax2?k，当X取X1和X2（x1?x2）时函数值相等,则当X取X1+X2时，函数值为
11.已知二次函数当x=2时Y有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？
12.将y?2x2?12x?12变为y?a(x?m)2?n的形式，则m?n=_____。
13.如果抛物线y=x-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ ）
（A）8 （B）14
（C）8或14 （D）-8或-14
214.二次函数y=x-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则
k的值应取（ ）
（A）12 （B）11 （C）10 （D）9
15.若b?0，则二次函数y?x2?bx?1的图象的顶点在 （ ）
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
16.已知二次函数y?ax?2x?2的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是 17.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。 222?3k?2?kx?1是二次函数,则k的值是______ y?(a?5)xa2?4a?5?2x?1, 当a?_______时, 它是一次函数; 当a?_______时, 它是二次
1+2上，求函数解析式。 2
219.（天津市）已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，下列结论：① abc?0；② b?a?c；
③ 4a?2b?c?0；④ 2c?3b；⑤ a?b?m(am?b)，（m?1的实数）其中正确的结论有（ ）。 18.抛物线y= (k-2)x+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -22
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
20已知y=ax+bx+c的图象如下，
则：a____0 b___0
c___0
a+b+c____0，
a-b+c__0。2a+b____0
2b-4ac___0 4a+2b+c 0
21.在同一平面直角坐标系中，一次函数y?ax?b和二次函数y?ax2?bx的图象可能为（ ）
2
ＡＢ
2ＣＤ 22.二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则直线y?bx?c的图象不经过（ ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
23.（大连）右图是二次函数
2y1=ax+bx+c和一次函数y2=mx+n的
图像，?观察图像
写出y2≥y1时，x的取值范围_______．
22y?ax?bx?cb24.二次函数中，?ac，且x?0时y??4，则（ ）
A.
y最大??4B.y最小??4C.y最大??3D.y最小??3
22y?(x?1)?(x?3)25.已知二次函数 ，当x＝_________时，函数达到最小值
26.函数y??x2?9。当-2<X<4时函数的最大值为27.若函数y?x2?2x?3，当?4?x??2函数值有最 值为
28.已知二次函数图象的对称轴是x?3?0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,?
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
5). 2第15题图
29.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式h?v0t?
212gt （0<t≤2），其中重2力加速度g以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
30.如图，抛物线y?x2?bx?c经过直线y?x?3与坐标轴的两个交
点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S?APC：S?ACD?5 ：4的点P
的坐标。
31. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
练习试题答案
15．(1)设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c,由题意可得
?b??2a??3
??a?b?c??6
?5?c??2? 解得a?? 1515,b??3,c?? 所以y??x2?3x? 2222
(2)x??1或-5 (2)x??3
16．（1）由已知得，15?20t?1?10?t2，解得t1?3,t2?1当t?3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃2
2后1秒离地15米．（2）由题意得，h??5t?20t＝?5(t?2)2?20，可知顶点的横坐标t?2，又抛物
线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．
17．（1）直线y?x?3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则?
2?9?3b?c?0?b??2解得? ?c??3c?3??所以此抛物线解析式为y?x?2x?3．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与x轴的另一个交点C（－
21，0）.设P(a,a2?2a?3)，则(?4?a?2a?3):(?4?4)?5:4.化简得a?2a?3?5 1
221
2
当a?2a?3＞0时，a?2a?3?5得a?4,a??2 ∴P（4，5）或P（－2，5）
当a?2a?3＜0时，?a?2a?3?5即a?2a?2?0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
18．（1）45?22222260?240260?x．（2）y?(x?100)(45??7.5)，化简得： ?7.5=60（吨）1010
333（3）y??x2?315x?24000??(x?210)2?9075． y??x2?315x?24000．444
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额W?x(45?260?x?7.5)??3(x?160)2?19200来说， 104
当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．