数学研究性学习课题成果报告

时间:2024.3.24

数学研究性学习课题成果报告——推翻悖论

20##15冯靖翔

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论,但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。 悖论的成因极为复杂且深刻, 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展,因此具有重要意义。 其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。

首先我举“说谎者悖论”来让大家多多少少了解一下“悖论”的感觉——

古希腊的“说谎者悖论”被认为是最早的悖论。传说公元前6世纪,古希腊的克里特岛上住着一位名叫伊匹门尼德的人。他年幼时,有一天跑到一座荒凉的小山丘上玩耍。玩累了以后,就跑去一个常去的山洞里休息。不料,他在山洞里竟一下子睡着了。这一觉竟然睡了57年。醒来后,他发现自己已经成为一位大学者,谙熟哲学和医学,并能预知将来要发生的种种事情。于是,道上的人就称他为“先知”。他喜欢和人讨论一些难以解答的事情,借以显示自己具有非凡的智慧。

一天,他在和别人讨论关于克里特岛人是否诚实的问题时,伊匹门尼德断言:“所有的克里特岛上的人都是说谎者。

“先知”的这句话极大地困惑着那里的居民。这句话究竟是真是假呢?

结果,克里特岛上的居民对此大伤脑筋。如果“先知”说的这句话是真的,那么“所有的克里特岛上的人都是说谎者”

就成了一个事实,可是伊匹门尼德本身就是克里特岛上的居民,这样一来他说的也就变成了谎话。前后矛盾。而如果“先知”说的是谎话,那么只是一个克里特岛人在说谎,没有办法验证“所有的克里特岛上的人都是说谎者”是真的。所以伊匹门尼德的这句话要构成悖论还存在着一定的缺陷。毕竟“所有的克里特岛上的人都是说谎者”,这句话的反面是“并非所有的克里特岛上的人都是说谎者”而不是“所有的克里特岛上的人都是说真话的”。

后来,公元前4世纪时,麦加拉学派的欧布里德把这一“悖论”作了一个小小的更改——我现在说的是假话。

如果这句话是真的,那么可以知道说话者说的是假话啊,矛盾。

如果这句话是假的,也就是说“我现在说的是假话”是假的,所以说话者现在说的应该是真话,又出现矛盾。

这一说法,由真推出假,由假又能推出真。看似普通的一句话至今让人深陷困惑之中。在实际生活中,如果你仔细观察、仔细思考,还真是会带来一定的困惑。比如为了制止不文明行为,在墙上写“不准在墙上写字”。到底能不能写呢?

……

看完了这个故事,我想你一定对“悖论”有了一定的了解或兴趣。那下面我就来举几个“悖论”的例子并来推翻它们吧。

模块一找错

1

如图1ABCD是矩形,G是外一点,且CG=CD. 试证明:∠DCG=0°

1             2

证明:如图2,连接AG,AG的中垂线FHAD的中垂线EH交于点H.连接AH,BH,CH,GH,则:

由中垂线定理以及矩形性质易证△ABH全等于△GCH (SSS)

∴∠ABH=GCH,又∵∠ABH=DCH

∴∠GCH=DCH,∴∠DCG=GCH-DCH=0°

上述证明看一眼就知道:∠DCG不可能为0°,可作辅助线和证明却又似乎找不出漏洞,这就是“悖论”最精彩的地方,明知道是一个不可能的事却用魔术一般的方式将其做到,要仔细思考一下也许才能找出其中的漏洞。

推翻:再画另一幅图的时候,发现疑点——

3             4

此图虽未画标准,但已经可以知道GH应位于矩形ABCD外侧,此时△ABH也与△GUH全等,但却证不到∠DCG=0°.

所以说,图2其实是出题人为了迷惑我们而可以说是“胡乱”画的图,然后再以错答错,完全就是混淆我们的常识,其实这种悖论,最好先画一个标准图,然后就差不多知道问题出在哪了。

同样,下面的例2也是如此——

2

试证明:任意一个三角形都是等腰三角形

证明:如上图4,任意一个△ABC,作∠BAC的角平分线ADBC的中垂线ED交于点D,DFABDGAC,连接BDCD.则:

HL可以证到△DFB全等于△DGC,得到BF=CG

又易证△ADF全等于△ADG,得到AF=AG

AB=AC

∴△ABC是等腰△

推翻:同例1,作出标准图(这里不作),发现BC的中垂线和∠BAC的角平分线在△ABC中是没有交点的!这样作辅助线证不出来。所以上述证明不成立.

模块二“魔毯”

3

一个爱抽烟的老头,不小心把烟头掉在了地毯上,结果把地毯烧出一个洞。老头很心疼,请教一位数学家。数学家看了看地毯,说:“你这地毯重新拼合一下就可以了。”接着,数学家提出了一个拼接方案(原地毯裁成图5状,重拼成图6)。老头一听,地毯可以整旧如新,而且面积还不减少,欣喜若狂,但转而一想,感到奇怪,只是剪剪拼拼,烧掉的那部分面积怎么会补足了呢?

567

(图5注解:其中ABLG为正方形,AB=12AC=5KH=JL=2HF=IJ=1GF=EK=7,中间黑色为烧坏部分,是边长为1的正方形,整块地毯被分为五块,45两部分全等)

6看似把图5拼的是“天衣无缝”,但想想也知道,这个方案如空中楼阁,根本不可能实现。这只是数学家给老头开的一个玩笑。

推翻:如图7,显然△ABC~BDE

AB=12AC=5BD=5,所以,

而从图7中所注尺寸,DE应等于

12-7-2-1=2

相差1/12.可见,这个裁剪法是根本不可能实现的但是,由于相差不多,颇有迷惑性。

同上例3一题的还有下边的例4,这里我就不再详述了——

例4 (64=65?)(原地毯裁成图8状,重拼成图9

图8  图9

推翻:同上例3一样,64不可能等于65,仔细分析一下,就会发现其中的秘密。原来,拼成长方形时,它们的斜缝并不是完全密合的,中间有一条微细的缝隙,而这个空隙的面积正好等于一个小方格。从图9中仔细观察不难发现,斜缝上的四个红点并不在一条直线上,而是由它们组成了一个面积为一个小方格的微细的狭长的四边形。这就是“眼见未必为实”的体现,所以细心观察,认真分析是很重要的。

模块三 难道π=2 吗?

大家都知道,π=3.1415926…,但下面两个例子却证实了π=2.这究竟是怎么回事呢?我们一起来探个究竟——

例5

将一个半径为r的球放在半径为r、长为2πr的半圆柱面状的槽内,槽的内部涂满红色油漆,将球在槽内滚一圈,球表面积全部被沾上红色油漆,这说明球的表面积等于槽的侧面积。我们知道,球的表面积等于4πr²,而该槽的侧面积等于πr·2πr,即2π²r²。于是有4πr²=2π²r²,所以,π=2.

例6

已知线段AB=2r。以AB为直径作半圆,记为。设AB重点为O,作半圆、,可证

                               =+

再设AO中点为C,BO中点为D,作半圆、、、,可证

                              =+++

继续取以上各线段的中点,作出更小的一组圆……最后,很密很密的半圆组成的波形曲线的长应等于直线段AB。于是=AB,即πr=2r。所以,π=2.

推翻:其实认真想一想就不难明白,上述两例都存在明显漏洞。

第一例的错误在于当球在槽内滚动的同时也有滑动,也就是说,槽面上的点与球面上的点不是一对一地滚过去的。最明显的是,开始滚动时与槽边缘接触的两点在球滚动时与槽边缘上的每一点都接触。可见,球面上的点与槽面上的点不“一样多”,所以球表面积不等于槽侧面积。

第二例的错误在于“很密很密”的半圆组成的波形曲线并不等于直线段AB。长为2πr;分成两道弧后波形曲线长为πr+πr=2πr;再分一次后波形曲线长仍为为π=2πr;……可以看出,不管这样作出的波形曲线怎样密,其总长都是2πr,当然不可能等于直线段AB。

……

所以说,生活中很多事都可能不是你表面看起来的那样。数学也是如此。有的时候也需要你仔细观察、认真思考,你才有可能得到真相。这也便是悖论的有趣性了。

                 

 注:(成果选自部分整理材料,总体收集以网络书籍为主)                      20##-7-17


第二篇:数学研究性学习课题


数学研究性学习课题

1、银行存款利息和利税的调查

2、气象学中的数学应用问题

3、如何开发解题智慧

4、多面体欧拉定理的发现

5、购房贷款决策问题

6、有关房子粉刷的预算

7、日常生活中的悖论问题

8、关于数学知识在物理上的应用探索

9、投资人寿保险和投资银行的分析比较

10、黄金数的广泛应用

11、编程中的优化算法问题

12、余弦定理在日常生活中的应用

13、证券投资中的数学

14、环境规划与数学

15、如何计算一份试卷的难度与区分度

16、数学的发展历史

17、以“养老金”问题谈起

18、中国体育彩票中的数学问题

19、“开放型题”及其思维对策

20、解答应用题的思维方法

21、高中数学的学习活动——解题分析 A)从尝试到严谨、B)从一个到一类

22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧

23、中国电脑福利彩票中的数学问题

24、各镇中学生生活情况

25、城镇/农村饮食构成及优化设计

26、如何安置军事侦察卫星

27、给人与人的关系(友情)评分

28、丈量成功大厦

29、寻找人的情绪变化规律

30、如何存款最合算

31、哪家超市最便宜

32、数学中的黄金分割

33、通讯网络收费调查统计

34、数学中的最优化问题

35、水库的来水量如何计算

36、计算器对运算能力影响

37、数学灵感的培养

38、如何提高数学课堂效率

39、二次函数图象特点应用

40、统计月降水量

41、如何合理抽税

42、市区车辆构成

43、出租车车费的合理定价

44、衣服的价格、质地、品牌,左右消费者观念多少?

45、购房贷款决策问题

其它学科:

学科 研究课题 类型

地理 新疆旅游路线设计 Webquest

历史 儒家思想分析 Webquest

语文 琼瑶小说中诗文风格赏析 Webquest

语文 唐诗宋词和民族音乐意境审美 学科渗透 综合 日本人眼中的鲸鱼 Webquest

化学 生活污水的二次污染 学科渗透

化学 可口可乐的神秘配方 Webquest

英语 九运会单词集中分类 学科渗透

物理 精度的历程 学科渗透

地理 广州骑楼文化调查 生活实践

历史 洋务运动简评 学科渗透

政治 电脑市场价格调查 生活实践

数学 分期付款是否合算 学科渗透

1.空气中悬浮物的测定。

2.碘缺乏的危害与防治。

3.河水污染情况调查。

4.警惕身边的病原菌。

5.永动机的能量守衡研究。

6.生活小区环境质量调查与评价。

7.沙尘暴问题研究。

8.人类未来饮食。

9.本区在就业状况调查。

10.两岸关系之研究。

11.21世纪的家用电器。

12.《红楼梦》中的诗词联语。

13.中国戏剧中的矛盾冲突。

14.高中学生吸烟问题的现状及对策。

15关于城市防盗窗的弊端的调查。

16.汽车尾气铅污染调查。

17.中小学生用眼卫生的调查

大型体育场出口优化方案

对比普通工人月薪与学生的零用钱

汽车站最优位置的选取

“魔鬼路段”揭秘-----对一处公路事故多发地点的建模探求 教室日光灯应如何排列

台灯如何才能达到最好效果?

最省时的洗衣粉用量

学校食堂窗口的设置问题

怎样购车划算?

填报高考志愿的层次分析。

高层建筑采光问题浅谈

关于机动车道分配计划的一种模型

利用灯光促进植物生长的实验

家庭贷款买房的较优计划

城市交通指示灯的学问

浅议对厕所低水箱的改造

关于中学生身高与课桌椅高度关系的模型

完全二分图的拉姆赛着色问题研究

自行车的结构真的合理吗?

给学生的肩膀减负

抖空竹的奥秘

论什么样的壶嘴不漏水

氧气瓶子吸氧装置的改造

哪种电热淋浴器更好

省时省电又好吃-----电饭锅煮饭的技巧

煮饭的数学问题

由暖气片供暖所想到的节能问题

研究性学习的问题与课题 (来自《数学百草园》,作者叶挺彪)

《 立几部分 》

问题1 平几中证点共线、线共点往往较难,通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简单,主要的依据仅仅是平面的基本性质:两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。

问题2 用运变化的观点对待数学问题,将会发现问题的实质及问题之间的联系,但对于立几中的这方面还显得不够,可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。

问题3 作为降维处理的一个例子:可考虑异面直线距离的几种转化,如转化为线面距、点线距、面面距等。

问题4 异面直线的距离是:异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数,利用求函数的最小值达到目的。

问题5 立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要,试给出一种通用方法进行确定。

问题6 作二面角的平面角是立几中的难点,常用方法有:定义法、三垂线法、垂面法。其实质是以点定位,即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形,由于点的个数较多,以哪个点作为定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。

问题7 等积变换在立几中大显上内身手,而非等积变换是它的一般情形,作用更大,却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。

问题8 将三垂线定理进行推广与引伸,即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。以开阔眼界。

《解几部分 》

问题9 对于数学的公式,我们应当做到三会:即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式,定比分点、斜率公式等,考虑其逆用,就可得到构造法证题,试研究解几中的各种公式逆用,以充实构造法证明。

问题10 我们对待任何问题(包括解决数学问题)往往用自己的审美意识去审视,以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材,加以整理与综合研究。

问题11 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材,如用点斜式而忽视斜率存在,截距式而忽视截距为零等。

问题12 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变,达到以点带面,触类旁通的目的。

问题13 将与中点有关的问题及解决方法进行推广,使之适用于定比分点的相应问题与方法。

问题14 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。

问题15 关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中,概括出适用范围更加广阔的解题策略。

问题16 解决椭圆问题不如圆容易,能否使问题化归,即椭圆问题的圆化处理,进而研究圆锥曲线(包括其退化情形如两条相交线,平行线等)的圆化处理。

问题17 整理与焦半径有关的问题,并将之“纯代数化”,进而研究其“纯代数解法”,从中探索新方法。

问题18 把点差法解中点弦问题进行推广,使之能解决“定比分点弦”问题。

问题19 求轨迹问题中,纯粹性的简捷判别。

问题20 在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”,扩大这思想在解几中的地位或功能。

问题21 对平移变换的解题功能进行综述。

问题22 与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题,往往需要建立不等式进行求解,各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。

《函数部分 》

问题23 空集是一切集合的子集,但在解决关集合问题时,常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。

问题24 整理求定义域的规则及类型(特别是复合函数的类型)。

问题25 求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时,往往希望将自变量在一个地方出现,所以变量集中的原则就提供了解题的方向,试研究所有与变量集中原则有关的类型(如配方法、带余除法等)。

问题26 总结求函数值域的有关方法,探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。

问题27 利用条件最值的几何背景进行命题演变,与命题分类。

问题28 回顾解指数、对数方程(不等式)的化归实质(利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号),我们称之为“给函数更衣”,于是我们可以随心所欲地将方程(不等式)进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。

问题29 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程,概括所有这种方程的类型。

问题30 在原点有定义的奇函数,其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。

问题31 把两面镜子相对而立,若你处于其中,将看到许多肖像位置呈现出周期性,你能把这一事实数学化吗?若把轴对称改为中心对称又怎么结论?

问题32 对于含参数的方程(不等式),若已知解的情况确定参数的取值范围,我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数,试概括问题的类型,总结分离参数法。

问题33 改变含参数的方程(不等式)的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。

《三角部分 》

问题34 数形结合是数学中的重要的思想方法之一,而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘,试探它在解决三角问题中的数形结合功能。

问题35 概括sinx+cosx=a时相应x的取值范围,及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。

问题36 整理三角代换的的类型,及其能解决的哪几类问题。

问题37 三角最值的构造证法中,型如 ,可转化成:1)动点(ccosx.asinx)与定点(-d,-b)连线的斜率;2)或先化为 从而转化为动点(cosx.sinx)与定点 连线斜率等,考虑各种构造法的背景的联系,能否以此联系用于解决几何问题。

问题38 一个三角公式不仅能正用,还需会逆用与变用,试将后者整理之。

问题39 概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的常用方法。

问题40 三角形的形状判定中,对于含边角混合关系的条件,利用正、余弦定理总有两种转化,即转化为角关系或边关系,探索其中一种对另一种解法的启示功能。

《不等式部分 》

问题41 一个数学命题若从正面入手分类情况较多,运算量较大,甚至无法求解,此时不妨考虑其反面进行求解得解集,然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”,试整理常见的类型的补集法。

问题42 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ,及拆项、添项的技巧。

问题43 观察式子的结构特征,如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。

问题44 探求一此著名不等式(如柯西不等式、排序不等式等)和多种证法,寻找其背景以加深对不等式的理解。

问题45 整理常用的一此代换(三角代换、均值代换等),探索它在命题转化中的功能。

问题46 考虑均值不等式的变用,及改变之后的不等式的背景意义。

问题47 分母为多项式的轮换对称不等式,由于难以参于通分,证明往往较难。探求一种代换,将分母为多项式的转化为单项式。

问题48 探索绝对值不等式和物理模拟法

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