授课时间： 5月26日          授课地点：东岗路                    年级：初三

课型：一对一                  上课人数：1

课题：二次函数概念、性质、对称、平移、图像

教学目标：1.掌握二次函数的概念及其考察方式

          2.掌握二次函数的性质及其与各系数的关系

          3.掌握二次函数的对称和平移，会用平移解化计算

4.掌握二次函数图像的相关题型解题原理

教学过程：

一、     二次函数概念的考查（二次项系数不能为零）

例1：函数f(x)与x轴有且只有一个焦点，求未知量的取值范围；（先通过例题引入）

二、     二次函数三个系数的作用（简单分析）

三、             二次函数解析式的确定思路------先介绍三种方法

（一）三点式。

例：已知抛物线y=ax²+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

（二）顶点式。

例：已知抛物线y= x²-2ax+ a²+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

（三）交点式。

例：已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。

（四）定点式。

例：在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。

（五）平移式。

例：将抛物线向上平移,使平移后的抛物线经过点C(0,2),求平移后抛物线的解析式.

（六）距离式。

例：抛物线y=ax²+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

四、二次函数图像的平移与对称（左加右减，上加下减）

1、抛物线与的形状相同，则 =（        ）

 A、              B、            C、            D、

2、抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到                

3、已知抛物线C1、C2关于x轴对称，如果C2的解析式为，则C1的解析式为__________________。

4、关于x的方程的解是x₁=－2，x₂=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是                 。

五、图形判别问题（数形问题）

2、根据下列表格的对应值：

判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）

       A、8＜x＜9          B、9＜x＜10

       C、10＜x＜11              D、11＜x＜12

3、若x₁,x₂(x₁ ＜x₂)是方程(x -a)(x-b) = 1(a < b)的两个根，则实数x₁,x₂,a,b的大小关系为（  ）

A．x₁＜x₂＜a＜b  B．x₁＜a＜x₂＜b  C．x₁＜a＜b＜x₂     D．a＜x₁＜b＜x₂

4、设一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足（   ）

A.   1<α<β<2       B. 1<α<2 <β       

C.  α<1<β<2        D.  α<1且β>2

5.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax²+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（     ）

 

6.在同一坐标系中，函数y= ax²+c与y= (a<c)图象可能是图所示的(   )

    A             B             C           D

六、二次函数的顶点、对称轴、最值（配方法）

1、若二次函数配方后为则、的值分别为 （      ）

A）0，5         B）0，1        C）—4，5      D）—4，1

2、抛物线的对称轴是直线                 ．

3、二次函数的图像的顶点坐标是                 

4、二次函数的最小值是               

七、二次函数与一元二次方程的关系

1、关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是（   ）

A．1　　B．－1　　　C．1或－1　　　D．　2　

2、 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（   ）

（A）2      （B）3     （C）－1，2  （D）－1，3

3、关于方程式的两根，下列判断何者正确？（    ）

A．一根小于1，另一根大于3    

B．一根小于－2，另一根大于2

C．两根都小于0       D．两根都大于2

4、用配方法解方程时，原方程应变形为（   ）

A．    B．     C．    D．

5、下列四个结论中，正确的是（   ）

A.方程x＋=－2有两个不相等的实数根

B.方程x＋=1有两个不相等的实数根

C.方程x＋=2有两个不相等的实数根

D.方程x＋=a（其中a为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根

6、一元二次方程x²=2x的根是    （  ）

A．x=2    B．x=0   C．x₁=0, x₂=2  D．x₁=0, x₂=－2

7、已知关于x的方程x²＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为（  ）

A．－１   B．0   C．1    D．2

8、关于x的方程的根的情况描述正确的是（    ）

A . k 为任何实数，方程都没有实数根

B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

9、已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是 （   ）

(A)     (B)

(C)     (D)

10、已知a、b是一元二次方程x²－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于________.

11、已知关于x的方程x²－2（k－1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂.

（1）求k的取值范围；

（2）若，求k的值.

八、二次函数与一次函数的关系（判别式与交点个数的关系问题）

九、二次函数的实际应用题型

第二篇：初三.二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数知识点：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。        这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：的性质：

结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

2. 的性质：

          

结论：上加下减。

总结：

3. 的性质：

结论：左加右减。

总结：

       

4. 的性质：

总结：

二次函数图象的平移

  1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

 

      2. 平移规律

         在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

三、二次函数与的比较

请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。

总结：

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

四、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

五、二次函数的性质

  1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

  2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

     ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

   ⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

  3. 常数项

     ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

     ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

     ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

     总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

二、二次函数图象的对称

    二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  2. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  3. 关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

  4. 关于顶点对称

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

  5. 关于点对称  

关于点对称后，得到的解析式是

    根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点.

 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.