考研数学:微积分考点总结(5000字)

发表于:2020.10.7来自:www.fanwen118.com字数:5000 手机看范文

考研数学微积分考点总结

凯程考研

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考研数学:微积分考点总结

一、历年微积分考试命题特点

微积分复习的重点根据考试的趋势来看,难度特别是怪题不多,就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少,而今年变大了。微积分一共74分,填空、选择占32分。第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习,选择填空题很重要。几大运算,一个是求极限运算,还有就是求导数,导数运算占了很大的比重,这是一个很重要的内容。当然,还有积分,基础还是要把基本积分类型基础搞清楚,定积分就是对称性应用。二重积分就是要分成两个累次积分。三大运算这是我们的基础,应该会算,算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。

二、微积分中三大主要函数

微积分处理的对象有三大主要函数,第一是初等函数,这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数,在微积分的概念里都有分段函数,处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

三、微积分复习方法

微积分复习内容很多,题型也多,灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法,首先要看看辅导书、听辅导课,老师给你提供帮助,会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西,比如说我在辅导课程中总结了很多的点,每一个点要掌握重点,要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲,基本运算是考试的重要内容。应用方面,无非是在工科强调物理应用,比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用,弹性概念、边际是经济学的重要概念,包括经济的函数。还有一个更应该掌握的,比如集合、旋转体积应用面等等,大的题目都是在经济基础上延伸出的问题,只有数学化了之后,才能处理数学模型。

还有中值定理,还有微分学的应用,比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。应用部分包括证明推断的内容。

总的来说,学好微积分,就是要掌握三个基本函数、三大运算,所以广大研友们要在这些方面多下功夫!

凯程考研,考研机构,10年高质量辅导,值得信赖! 以学员的前途为已任,为学员提

供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学员引路。

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凯程考研:

凯程考研成立于20xx年,具有悠久的考研辅导历史,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;

凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里;

信念:让每个学员都有好最好的归宿;

使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构;

激情:永不言弃,乐观向上;

敬业:以专业的态度做非凡的事业;

服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学员引路。

特别说明:凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布,同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导,真真实实的案例,凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里。

如何选择考研辅导班:

在考研准备的过程中,会遇到不少困难,尤其对于跨专业考生的专业课来说,通过报辅导班 凯程考研,考研机构,10年高质量辅导,值得信赖! 以学员的前途为已任,为学员提

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来弥补自己复习的不足,可以大大提高复习效率,节省复习时间,大家可以通过以下几个方面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素,考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价,询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力,因为任何一门课程,都不是由一、两个教师包到底的,是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集,李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。

对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解,才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下2015五道口金融学院状元,考取五道口15人,清华经管金融硕士10人,人大金融硕士15个,中财和贸大金融硕士合计20人,北师大教育学7人,会计硕士保录班考取30人,翻译硕士接近20人,中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元,更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜,成功学员经验谈视频特别多,都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩,凯程集训营班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌,成就显著!

在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人,占五道口金融学院录取总人数的约50%,五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如,20xx年状元武玄宇,20xx年状元李少华,20xx年状元马佳伟,20xx年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连,总计达到150人以上,此外,还有考入北大清华人大法硕的张博等10人,北大法学考研王少棠,北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院,另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人,创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人,中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元,王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元,(他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布,随时可以查看播放。)对于如此优异的成绩,凯程辅导班班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的凯程考研,考研机构,10年高质量辅导,值得信赖! 以学员的前途为已任,为学员提

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考研数学微积分考点总结

凯程考研

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刻苦学习,是很难达到优异的成绩。

考研路上,拼搏和坚持,是我们成功的必备要素。

王少棠

本科学校:南开大学法学

录取学校:北大法学国际经济法方向第一名

总分:380+

在来到凯程辅导之前,王少棠已经决定了要拼搏北大法学院,他有自己的理想,对法学的痴迷的追求,决定到最高学府北大进行深造,他的北大的梦想一直激励着他前进,在凯程辅导班的每一刻,他都认真听课、与老师沟通,每一个重点知识点都不放过,对于少棠来说,无疑是无比高兴的是,圆梦北大法学院。在复试之后,王少棠与凯程老师进行了深入沟通,讲解了自己的考研经验,与广大考北大法学,人大法学、贸大法学等同学们进行了交流,录制为经验谈,在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班,回忆自己的辅导班的经历,他说:“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方,我有明确的复习目标,有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理,每天6点半就起床了,然后是吃早餐,进教室里早读,8点开始单词与长难句测试,9点开始上课,中午半小时吃饭,然后又回到教室里学习了,夏天比较困了就在桌子上睡一会,下午接着上课,晚上自习、测试、答疑之类,晚上11点30熄灯睡觉。”

这样的生活,贯穿了我在辅导班的整个过程,王少棠对他的北大梦想是如此的坚持,无疑,让他忘记了在考研路上的辛苦,只有坚持的信念,只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)

作为跨地区跨校跨专业的三跨考生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班,虽然学习很辛苦,但是每天他都能感觉到自己在进步,改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态,进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大,例如公司理财老师,推理演算,非常纯熟到位,也是每个学生学习的榜样,公司理财老师带过很多学生,考的非常好。在学习过程中,拿下了这块知识,去食堂午餐时候加一块鸡翅,经常用小小的奖励激励自己,寻找学习的乐趣。在辅导班里,学习成绩显著上升。

在暑期,辅导班的课程排得非常满,公共课、专业课、晚自习、答疑、测试,一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真,在这个没有任何干扰的考研氛围里,充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后,龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后,最凯程考研,考研机构,10年高质量辅导,值得信赖! 以学员的前途为已任,为学员提

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考研数学微积分考点总结

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终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择,决定之后,让他更加发奋努力。

五道口成绩公布,龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训,优秀的学习氛围,让他感觉有质的飞跃,成功的喜悦四处飞扬。

另外,在去年,石继华,本科安徽大学,成功考入五道口金融学院,也就是说,我们只要努力,方向正确,就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油,五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生)

本科院校:中国青年政治学院

报考院校:中国人民大学金融硕士

总分:跨专业380+

初试成绩非常理想,离不开老师的辛勤辅导,离不开班主任的鼓励,离不开她的努力,离不开所有关心她的人,圆梦人大金融硕士,实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子,英语基础算是中等,专业课是0基础开始复习,刚刚开始有点吃力,但是随着课程的展开,完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来,虽然考的不错,班主任老师没有放松对复试的辅导,确保万无一失,拿到录取通知书才是最终的尘埃落地,开始了紧张的复试指导,反复的模拟训练,常见问题、礼仪训练,专业知识训练,每一个细节都训练好之后,班主任终于放心地让她去复试,果然,她以高分顺利通过复试,拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博,从山东理工大学考入北京大学法律硕士,我复习的比较晚,很庆幸选择了凯程,法硕老师讲的很到位,我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功,也祝愿凯程越办越好。

张亚婷,海南师范大学小学数学专业,考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向,成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

孙川川,西南大学考入中国传媒大学艺术硕士,播音主持专业。在考研辅导班,进步飞快,不受其他打扰,能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责,真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班,他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说:考取人大,是我的梦想,我一直努力,肯定能够成功的,只要我们不放弃,不抛弃,并且一直在努力前进创造成功的条件,每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信,每个人都能够成功。

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第二篇:考试点 白云霄、桑园20xx考研数学《微积分》考点精讲与过关习题(数三) 39600字

考试点白云霄桑园20xx考研数学微积分考点精讲与过关习题数三

考点精讲

目 录

第一章 函数???????????????????????????????????(1)

第二章 一元微分学????????????????????????????????(3)

第三章 一元函数积分学?????????????????????????????(28)

第四章 多元函数微分学?????????????????????????????(45)

第五章 二重积分????????????????????????????????(53)

第六章 微分方程????????????????????????????????(58)

第七章 无穷级数????????????????????????????????(66)

《微积分》考点精讲

第一章 函 数

一、函数的定义:

1.函数的两大属性:定义域,对应法则

【例1】 下列函数是否相同

(1)f(x)=ln(1-x2),g(x)=ln(1+x)+ln(1-x)

(2)f(x)=ln(x2-1),g(x)=ln(x+1)+ln(x-1)

解 (1)定义域均为-1<x<1,对应法则相同,f(x)=g(x);

(2)f(x)的定义域为|x|>1,g(x)的定义域为x>1,f(x)与g(x)不同.2.函数的解析式

【例2】 (已知解析式)

(1)设f(x)x

1+x,求f(1),1

x),f(f(x))

解 f(1)11

1+12

x)x1

111+x

f(f(x))f(x)1+xx

1+f(x)1x1+2x

1+x

(2) 设f(x)x求f(f(x)),f[f…f(x)+x]

{n

解 f(f(x))f(x)+xx

+f(x)1x+21+x2x归纳得:f[f…f(x)]x

+nx【例3】 (未知解析式)

(1)f(ex)=x+1,求f(x).

解 令ex=t x=lnt  f(t)=lnt+1

即f(x)=lnx+1   x>0

(2)f(x1

x)=x21

x2,f(x)=

解 f(x1

x)=(x1

x)2-2

—1—

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2∴f(x)=x-2   |x|≥2

二、函数的性质

1.奇偶性

x-x),e-e,f(x)+f(-x)(偶),几种常见的奇、偶函数:sinx,cosx,ln(x++x,y:f(x+y)=f(x)+f(y)(奇)x

【例4】 研究f(x)=ln(x++x)的奇偶性

1解 f(-x)=ln(x++x)=l=-f(x)x++x

∴f(x)为奇函数.

2.有界性

22xx2,闭区间上的连续函数,有极限与有界几种常见的有界函数:sinx,arcsinx,x-[x]221+xx+y

的关系等

【例】 设f(x)∈C(-∞,+∞),且limf(x)=A,证明:f(x)有界x→∞

证明 ∵limf(x)=A ∴M X>0当|x|>X1>0x→∞

|f(x)|≤M1

当|x|(x)在[-X,X]连续,使≤X时fM2>0

|f(x)|≤M2

以M=max{M,M}  x-∞,∈(∞)12

    |f(x)|≤M

三、几种特殊函数

(1)f(x)=[x]

(2)f(x)=sgnx:xsgnx与的关系

(3)分段函数

(4)复合函数

x2e,xx+1,x>0≥0【例5】 设f(x)=,g(x)=2xx,x<0e,x≤0{{

求f(g(x))

解 f(g(x)={x+1   x>0e

eex2x≤0

xx+2,x<0e,x<1例6 设f(x)=,g(x)=求f(g(x))2x,xx-1,x≥1≥0{{

x+2   x<-1?e,

?,-1≤x<0?x+2解 f(g(x))=?2x-1e,0≤x<??

2?x-1,x≥—2—

《微积分》考点精讲

第二章

考试点白云霄桑园20xx考研数学微积分考点精讲与过关习题数三

一元微分学

一、求导数

1.导数公式

2.求导类型

(1)利用运算法则求导

【例1】 求下列函数的导数(f(x)可导)

f(x)x22x2+x+2;xe;xf(x)x

x22x2解 (2+x+2)′=2ln+2x

xx(xe)′=(x+1)e

(xf(x))′=f(x)+xf′(x)

f(x)xf′(x)-f(x))′=2xx

已知f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2013),f′(0)=2013!(3)复合函数的导数

2fx(e)·ex的导数【例2】 求复合函数y=[arctan],y=f()

2arctaarcta2,y′解 y=(arcta1+x)1+x)xf(x)xxf(x)xf(x)y=f(e)·e,y′=f′(e)ee+f(e)·ef′(x)

11)=sinx,求fx),f′(f(x)),[f(f(x))]′【例3】 22

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解 由1

2x)=2sinx得f(x)=sin2x,f′(x)=2cos2x

f1

2x)=2cosx,f′(f(x))=2cos(2sin2x)

[f(f(x))]′=f′(f(x)),f′(x)=2cos(2sin2x)·2cos2x

=4cos(2sin2x)·cos2x

同学们要大量练习,做到熟能生巧

(4)参数方程所确定的函数的导数

例4 设{x=ln1(+t2)

y=t-arctant,求dydy

dxdx2.

dy11

解 dydt1+2t

dxt

dx2t2

dt1+t2

dy′1

d2ydt21+t2dx2dx2t4t

dt1+t2

【例5】 设在极坐标下ρ=2θ,求dy

dx

解 {x=ρcosθ=2θcosθ

y=ρsinθ=2θsinθ

dydydθsin+cos

dxθθθ

dxcosθ-θsinθ

dθ

(5)隐函数求导

【例6】 设ey-xy=1,求y′(0)

解 两边对x求导

eyy′-y-xy′=0

y′y

ey-x  y′(0)=0

【例7】 设y=tan(x+y),求y″

解 两边对x求导

y′=sce2(x+y)(1+y′),y′=-csc2(x+y)

y″=2csc2(x+y)cot(x+y)·(1+y′)

=2csc2(x+y)cot(x+y)·(1-csc2x+y)

【例8】 设y=sinx·x3·-x,求y′

解 两边取对数 lny1

2(lnsinx+3lnx1

2ln1-x2)

—4—

y′

y1

2cosx3x

sinxx1-x2)

y′=sinx·x3·-x·1cosx3x

2sinxx1-x2)

(6)幂指函数的导数

【例9】 y=xx,求dy

dx

解 y=exlnx  y′=xx(lnx+1)

【例10】 设y=x2

1+xx,求y′

解 y=exx2

=ex(2lnx-ln1+x)

y′=x2x21

1+x)x[l2

1+x2+xx1+x)]

(7)高阶导数

常用公式:

1.(xn)(n)=n!,(xn)(m)=0(m>n).(m,n均为自然数)2.(ex)(n)=ex,(ax)(n)=?,(eax)(n)=?解 (ax)(n)=axlnna  (eax)(n)=eaxa3.(sinx)(n)=sin(xnπ)(n)

2,(cosx)=cos(xnπ)(n)

2,(sin(ax+b))=?

解 [(sin(ax+b))](n)=ansin(ax+bnπ

2)

4.(1(n)(-1)nn!

a+x)(a+x)n+1

5.(ln(1+x))(n)=(1(-1)(-1)n-1(n-1)!

1+x)(1+x)n

【例11】 (sin(2x+3))(10),(cos2x)(20)(1(5)1(4)

2x+1)(x2-2x-3)

解 [sin(2x+3)](10)=210sin(2x+3+5π)=-210sin(2x+3)

(20)(2

(cos2x)=1+cos2x(0)

2)1

220cos(2x+10π)=219cos2x

(1

+1)(5)5-1)55!

2x=2(

(2x+1)6

(1(4)

x2-2x-3)=1

(x-3)(x+1)](4)=1(14x-31)()

x+1]4

1(4!4!

4(x-3)5(x+1)5)

=3!(1

(x-3)51(x+1)5)

—5—《微积分》考点精讲

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(n)k()(k)6.(u·v)=∑cun-kvnk=0

2-(n)【例12】 y=xex,求y

(n)k-x()2()解 y=∑C(e)n-k(x)k

nk=0

0-x()21-x()2-x()=C(e)nx+C(e)n-1·2x+C(e)n-2·2nnn

0(n)-21(n)-n-22-=C(-1)exx+C(-1)ex·(2x)+2(-1)Cex

nnnnn

(8)积分上限函数的导数

dx1.(f(t)dt)′=f(x),或f(t)dt=f(x);adxa∫x∫

【例13】 设φ(x)=

2′(x)=sinx解 φsintdt,求导数φ′(x).∫21x

设φ(x)=intdt,求导数φ′(x),.φ(π

2)1x

ππ解 φ′(x)=-inx φ=-si24()2.如果F(x)=∫0(x)f(t)dt,则F′(x)=

2x(t)dt=f((x))′(x).φφ(∫f)′0(x)【例14】求函数(x)=

解 φ′(x)=2xsinx

3.如果F(x)=sit的导数.∫0(t)dt,则F′(x)=f((x))′(x)-f((x))′(x).φφψψ∫f(x)ψ(x)φ

d2costdt.【例15】 求2dxxd

解 2costdt2cosxx4-2xcosxdx24.F(x)=(x-t)f(t)dt,F′(x)∫0

0x.(x-t)g(t)dt,求f′(x),f″(x).∫【例16】 设g(x)处处连续,f(x)=

(t)dt-解 f(x)=xg0∫xtg(t)dt∫0

0xf′(x)=g(t)dt+xg(x)-xg(x)=∫g(t)dt∫0

xxf″(x)=g(x)5.F(x)=sin(x-t)dt,F′(x)∫2

0.

解 令x-t=u F(x)=sinudu∫2

0x

2F′(x)=sinx

—6—

《微积分》考点精讲

【例17】 设f(x)连续,求函数F(x)=

f(u)du∫解 令xt=u  F(x)0xf(xt)dt(x>0)的导数.∫01

xf(x)-f(u)du0F′(x)2x

6.设f(x)连续,F(x)=(t)dt,F′(x)x-f0

11

0001∫x.1(x)=解 当x≥1时 F(x-t)f(t)dt=xf(t)dt-∫tf(t)dt∫∫

f(t)dt∫01F′(x)=

当x(x)=≤0时 F∫0

x1(t-x)f(t)dt=f(t)dt∫01∫011tf(t)dt-xf(t)dt0∫1F′(x)=-当0<x<1 F(x)=∫0

x(x-t)f(t)dt+x(t-x)f(t)dt∫x11xx=xf(t)dt-F′(x)=

=∫0xtf(t)dt+∫tf(t)dt-xf(t)dt∫∫01xf(t)dt+xf(x)-xf(x)-xf(x)-∫f(t)dt+xf(x)∫f(t)dt-∫f(t)dt∫0x1

(9)函数在一点的导数

12xxsi≠0x【例18】 已知f(x)=,试讨论在x=0的可导性.0x=0

12xsi-0f(x)-f(0)x=lim=0解 limxxxx-0-0→0→0

∴f′(0)=0,f(x)在x=0处可导

x   xe≥0在x=0连续,试讨论在x=0的可导性.【例19】 已知f(x)=cosxx<0

xf(x)-f(0)e-1解 f′(0)=lim=lim=1+x-0xxx→0+→0+{{

f′0)=lim-(f(x)-f(0)cosx-1=lim=0x-0-0xx→0-→0-x

∴f′0)′0)≠f+(-(

f(x)在x=0处不可导

,y,f(x)f(y)=f(x+y),f′(0)=2,求f(x)【例20】 已知x

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解 f′(x)=limf(x+x)-f(x)f(x)·f(x)-f(x)x)-f(0)f(=lim=limf(x)·xxxΔΔΔxxx→0→0→0ΔΔΔ

=f′(0)f(x)=2f(x)

2∵f(0)可以求出为1(f(0)=f(0) f(0)=0或1 如果f(0)=0 f(x)=f(x)·f(0)=0

f′(x)=0与f′(0)=2不符)

由f′(x)=2f(x)可知f(x)=e2x

(10)分段函数的导数

【例21】 已知f(x)={x2arcta1

x  x≠0, 求f′(x)

 0 x=0

解 x≠0,f′(x)=2xarcta1

xx2

1+x2

x2arcta10x=0,f′(0)=lx-

xi→m0x-0=lxi→m0xarcta1x=0

(11)反函数的导数

【例22】 用y′,y″,y来表示dxd2xd3x

dydy2dy3,

并化简微分方程d2xdx3

dy2+(y+sinx)dy)=0

解 dx1

dyy′

11

d2xy′yxy″1y″

dy2dy′

dx·ddyy′2·y′y′3

d2xd(y″)(y″

y′3dy′3)dxyy′3-3y′2y″21yy′-3y″2

dy3dydxdy(y′)6·y′

y′5

d2x

dy2+(y+sinx)(dx)3dy=0可化简为

y″

y′3+(y+sinx)·1y′3=0

即y″-y=sinx

第一节 求极限

1.求极限的方法归类:

1)洛必达法则;

2)等价无穷小因子代换;

3)无穷小与有界量之积为无穷小

—8—

4)重要极限

5)导数的定义

6)夹逼准则

7)定积分的定义

8)单调有界原理

9)泰勒公式

2.多项式的极限

【例1】 求极限lxi→x+3x-3-13x2+9;xl→i3x2-9;xl→i1-1解 lxi→mx+33x2+91

limx-3

x→3x2-9=lxi→m13x+316

11

l-12xxi→m1-1=lxi→m113

22

3x?0  n<m

ann-1?0x+a1x+…+an-1x+an?a0xln=→i∞b0xm+b1xm-1+…+b=?m-1x+bm?bm

?0

?∞n>m

【例3】 求极限(3x4+2x2+x+6)3(2x2-3)9

xl→i∞(5x6-4x3+7)4(x3-1)23

解 原式3·29

54

【例4】 lx→ix3+2x2-12∞x+2+ax+bx=1,a=?,b=?323解 lx→imx+2x-1∞x+2+ax2+bx=xl→imx+2x2-1+(ax2+bx)(x+2)∞x+2=1{1+a=0

2+2a+b=0   ∴a=-1 b=03.重要极限1x1∞xl→im∞(1x)=e或lxi→m0(1+x=e(1型)

【例5】 求极限()(x2+x+11

nl→im∞11nn;xl→im12+2)2x∞x2;lxi→m0(cosx解 l(1

n→im∞1n)-n·n=e-1

2+12x1-(x+2)·2x2+1lim=-(x+2)x→∞(xx2+2)2+xl→im11∞(x2+2)2=e-2lim(cosx1lim(cosx1lim(1-s1-sin2x

xx→0=22xx→0=in2x-sinx·=e12xx→0

—9—《微积分》考点精讲

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4.无穷小与有界量之积为无穷小

12xsi+sinxxnsinn1,li2,lim(【例6】 lix-[x])sixnxx→0→∞n+→∞2n-1x

12sinxxsi+xsinx1=limlim=0+1=1解 lixsi+xxxxx→0→0→0x

nsinnn=lim2·sinn=0li2n→∞n+→∞n+2n-1n2n-1

11im(0lim(x-[x])si=lx-[x])·=xxxx→∞→∞

5.等价无穷小因子代换

常用的几个等价代换公式:当x→0时,

xsinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,e-1~x,ln(1+x)~x

2xx(1+x)-a1~x,1-cosx,-1~xlnaα2α

+sinx-1tanx-sinxe-e111n,【例7】 (1)li,(2)li,(3)limxcsl(4)li2,x→02xx→03sinxx→∞x(x)3xxx→0x

1-(5)lix→0+(1-cox12inx+sinx-121解 (1)li=lim22xx2→0→0xxtanx-sinxtanx(1-cosx)=lim(2)li=lim33xxx→0→0→0sinxxx·122132x

11111csllim·2=1(3)limxn2=x1xx→∞→∞xx

3xx2xe-e12xxe-=lim=lim=2(4)lie·xxxxx→0→0→0x()

12x21-1-1-cosx111(5)li=lim··=lim=lim121222xx→0+(→0+→0+→0+121-coxxx1+xxx222

6.导数的定义

【例8】 已知函数f(x)在x试问A与f′(x)的关系?0点可导,0

f(x2x)-f(x)Δ0+0(1)A=li=xΔx→0Δ

f(x2x)-f(x)f(x2x)-f(x)ΔΔ0+00+0=lim·2=2f′(x解 A=li)0xxΔx2x→0→0ΔΔ

f(xh)-f(xh)0+0-=(2)A=lihh→0

—10—

《微积分》考点精讲

f(xh)-f(xh)f(xh)-f(x)+f(x)-f(xh)0+0-0+000-解 A=li=lim=2f′(x)0hhhh→0→0

7.数列的极限

【例9】 求数列和的极限

(1)limn→∞(111+…·3n·(n+11·22))

)()111111…解 原式=lim1+=lim1=1n223nn+1n+1n→∞→∞

(2)limn→∞(11+…1+2n+n+1

1解 ∵≤11111+…+…+n+n+n+1+2n+n11+…+1n+1+11

n→∞而lim(1n+…=lim=1n→∞+n+n+n11n→∞lim(1+…=1n+1+11

∴原式=1(3)limn→∞n+11

n+21+…2n+n1?1?解 原式=lim?n→∞n?

=(4)limn→∞1??+???1+?n?10??+…+???1+?n?(1=ln12???1+n?12x=ln+x01x++x11+…(n1)+1n+2n+n

111?+…1?解 原式=lim?n??11121?n→∞nnnn??

1(1+x)dx-ln=01+x11

02=ln

2nπππsisisinnn(5)lim+…)n12n→∞nnnnnn

2nπππsisisi2nnnn1πππsi+si+…+si解 ∵+…≤nnn12nnnnnnnn()—11—

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2nnsisisisisinnnnn+…+…≤n+1n+1n+11nnnn

n1ππ…+sisi+=而limnnn→∞n

n→∞2sinxdxπ()∫πnn1n12si+…+sisi+…+si·lim=lim=∫sinxdxπ()()nnnnn+1n+1nπ101n→∞0

2∴原式π

?2?(6)limsinn?→∞?11n11n

+…1??1n?111???11?nn?2?解 原式=li?n→∞n?11n11n+…1=2x-limn10n→∞=4-1)【例11】 其它数列的极限

n→∞+3lim解 ∵+3+3=3≤≤又∵lim=3  lim3·=3n→∞

n→∞∴lim+3=3n→∞8.单调有界原理

xn=2,3,…;试证明limx并求出极限值【例12】 (1)设x1n=n-1n存在,n→∞

解 单调性:xx>x 不妨设xx2=1=11>k-1xxk-1=k>k-1=k

∴xn单调增加

<2,不妨设x2 x=2有界性:x1k<k+1=k<∴x2n<

于是用单调有界原理 limxn存在设为An→∞

对x A=则A=2n=n-11,xn=2,3,…;试证明limx并求出极限(2)设0<x1<n+1=nnn存在,n→∞

证明 xn+1=nn

∴xn有上界3322

—12—

《微积分》考点精讲

xn+1nn=-1≥1xxxnnnxn单调增加

∴limx 两边求极限n存在设为An→∞

3A=A2

9.洛必达法则

0【例13】 型)0

x-sinxx-arcsinxx-ln(1+x)e-(1+x(1)li3 ((4)li2)li (3)li3xxxxxx(1+cosx)xsin→0→0→0→0xsinx1

sintdt∫(5)li20

x→02(x-sinx)2x

12xx-sinx1-cosx12解 (1)li3=li=li32xxx→0→03→03xxx6

x-arcsinxx-arcsinx(2)li=li=li33xxx→0→0→0sinxx112x21-x=li22x6→033xx1

1x11+x-ln(1+x)x-ln(1+x)x1+x1=li=li=li(3)li2xxx(1+cosx)xsinxx4xx4→0→0→0→042x

x-ln(1+x)1e-(1+x-[(1+x]′x1+·=li=-lim(4)li(1+x2x0x0x0x1→→→x1111

2x(1+x)1+=-lime·x2x→0

-x

21+x)ee(i2xx2→0

sintdt∫(5)li=li20

x→02(x-sinx)2x4532xsinx2x2x=lili2=xx2(x-sinx)(1-cosx)xx-sinx→0→0→0(x-sin)x

26x=12=lix1-cosx→0

∞【例14】 型)             ∞2lnx(1)lim2x∞x+→+1

解 原式=lim2lnx2=lim022=xx∞2∞4→+→+xx

—13—

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xln(1+e)(2)limx∞→++xxe

x1+e解 原式=lim=1x∞x→+

+x【例15】 (0·∞型)

(1)limxlnxx→0+-1lnxxlnx=li-1=li0解 limx-2=xxx→0+→0+x→0+-x

πarctanx)(2)limx-x∞2→+

1-arctanx21+x2解 原式=lim=lim=1-1xx∞∞1→+→+x2x

2)(3)lim(1-x)tanxx2→1

21-x-2x4解 原式=li=lix→1→1πxπ2ππccoxscx222

【例16】 (∞-∞型)

(1)limx→0(

(11xxe-1)xxxe-1-xe-1-xe-11解 原式=lix=li=li2xxx2→0→0→02x(e-x1)x

(2)limx→01122xsinx

2222)122x)(sinx-xsinx-xsin2x-2x2cos2x-221解 原式=li22=li=li=li=li4322xxxx3→0x→0→0→0→04x12xsinxxx6x

本例小结

00∞【例17】 (1,0,∞)

x(1)limxx→0+

-1lnxx解 原式=lime=eli-1=eli1-2=xxx→0+→0+x→0+-xxlnx

sinxx(2)limxx→0+()1

cosx1lnsinx-lnxsinxxxcosx-sinxcosx-xsinx-cosx1解 原式=lim=elim=elim=elim=e2322xxxxx→0+→0+→0+→0+x2x6x

—14—

《微积分》考点精讲

f(x),x≠0x【例17】 设f(x)在(-,+)二阶可导,f(0)=0,g(x)=求g′(x)∞∞

f′(0),x=0

f′(x)x-f(x)解 x,g′(x)≠02x

f(x)-f′(0)g(x)-g(0)xf(x)-f′(0)xx=0,g′(0)=lim=lim=lim2xxxxx-0-0→0→0→0x

=lim

=limf′(x)-f′(0)x2x→0f′(x)-f′(0)(导数定义)x2(x-0)→0{

f″(0)2

2-xln(1+x)+e-110.泰勒公式li6x→0x

4646xxxx166266x+x+o(x)+1-x+o(x)-1o(x)232!3!61解 原式=lim=lim66xx6→0→0xx22

第二节 极限的应用

一、研究分段函数的连续性、可导性

1kxsi  x≠0x【例1】 已知fx,试讨论k取何值时在x=0处连续、可导、导函数连续?()=

=0 0   x

>01kk解 limxsif(0) ∴k>0时f(x)在x>0处连续0=xx→0{

lim>1f(x)-f(0)1kk-1=limxsif′(0) ∴k>1时f(x)在x=0处可导0=xxx-0x→0→0

1k-21k-1当xf′(x)=kxsi-xco≠0时,xx

>21k-21kk-1xclimf′(x)=lim(kxsi-of′(0)0=xxxx→0→0

∴当k>2时f′(x)在x=0处连续

(1-cosx)?2,x<02x??=0处连续性【例2】 讨论f(x)=?1,x=0在x

?x2?1costdt,x>0?x0∫

—15—

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costdt∫cosx=lim=1解 f(0+0)=lim202

x→0+xxx→0+1

12x22(1-cosx)f(0-0)=lim=lim=122xx→0-→0-xx

∴f(0+0)=f(0-0)=f(0)=1

于是f(x)在x=0处连续.

【例3】 设f(x)在(-+有二阶连续导数,∞,∞)

-xf(x)-e,x≠0xf(0)=1,f′(0)=-1,g(x)=求g′(x)并讨论g′(x)的连续性.(){

0,x=0

-x-x)x-(f(x)-e)(f′(x)+e解 x′(x)≠0时 g2x

-xf(x)-e-0-xg(x)-g(0)xf(x)-e=lim=limx=0时 g′(0)=lim2xxxxx-0-0→0→0→0x

-x-xf″(0)-1f′(x)+ef″(x)-e=lim=limxx2x22→0→0

-x-xf″(0)-1f″(0)-1(f′(x)+e)x-(f(x)-e)limg′(x)=lim=f″(0)-1=g′(0)2xx22→0→0x

∴g′(x)在x=0处连续

x′(x)显然连续≠0时g

∴g′(x)在(-+连续.∞,∞)

111π1π=+=注意:lim,lim0,limarcta,rctalima∞x2xx2xxx→0+→0-→0+→0-

x→0+x]=0,lim[x]=-1lim[x→0-

【例4】 指出下列函数的所有间断点,并进行分类.

1(1)f(x)=arctax

解 x=0

1πf(0+0)=limarctax2x→0+

1πf(0-0)=limarctax2x→0-

∴x=0为第一类跳跃间断点.

(2)f(x)x(x+2)

2(x-4)

解 间断点有x=0,x=2,x=-2

x=2为无穷间断点

—16—

limx(x+2)x

x→-2|x|(x2-4)=lx→im-2|x|(x-2)1

x=-2为第一类可去间断点.

lim)=limx(x+2)

x→0+f(xx→0+x(x2-4)1

limf=limx(x+2)1

x→0-(x)x→0--x(x2-4)2

∴x=0为第一类跳跃间断点

(3)f(x)x(x+2)

sinπx

解 间断点x=k k=0±1±2…

x=0为第一类可去间断点 lxi→mx(x+2)x(x0sinπx=lxi→m+2)0πx2

π

x=-2为第一类可去间断点 limx(x+2)

x→-2sinπx=lx→im2x+22-2πcosπxπ

其它的整数点均为无穷间断点

(4)f(x)1

1-x

解 间断点有x=0 x=1

x=0为无穷间断点

f(1+0)=1 f(1-0)=0

x=1为第一类跳跃间断点

(5)f(x)=1-x2n

nl→i∞1+x2nx

x|x|<1

解 f(x)={0|x|=1

-x|x|>1

x=1为第一类跳跃间断点    x=-1为第一类跳跃间断点(6)f(x)=nl→i1-e-nx∞1+e-nx

{1x>1

解 f(x)=0x=0

-1x<1

   x=0为第一类跳跃间断点

(7)f(x)=nl→im∞+解 f(x)={|x|3|x|>1

1|x|≤1

    f(x)处处连续

—17—《微积分》考点精讲

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三、研究无穷小

xx【例】 当x2+3-2是x的 1 阶无穷小→0时,

xxx2x32+3-22ln+3ln6解 lim=lim=lnxxx1→0→0

132当x(1+ax-1与cosx-1是等价无穷小a=  →0时,2

123解 ∵(1+ax-1∽a212  cosx-1∽x23

3∴a2

把下列无穷小按阶数由高到低排列顺序当x→0时,

costdt,tat,sintdt∫∫23

000x2x解 costdt为1阶无穷小 ∫tat为3阶无穷小 sintdt为2阶无穷小∫23

000x2x第三节 几何应用

一、求曲线的切线

例1 求曲线y4,2)的切线及法线方程.11解 y′k41切线方程为 y-2(x-4)4

法线方程为 y-2=-4(x-4)

x【例2】 求过原点的曲线y=e的切线方程

x0解 设切点为(x,e)0

x0e-0e x=1x00

0-x0

切线为:y=ex

【例3】 求由极坐标表示的曲线ρ=1+cos在θ处的切线方程θ4

解 {x=cos=(1+cos)cosρθθθ+1+1 切点为22y=sin=(1+cos)sinρθθθ()

2ddy-sin+(1+cos)coskθ Rddx-sincos-(1+cos)sinθθθθ2—18—

《微积分》考点精讲

+1+1)x切线方程为:y222+二、曲线的单调性、凹凸性、极值、拐点、渐近线、函数作图.

2x【例4】 求y=1极值、凹凸区间、拐点.2(x-1)

解 略

32【例5】 已知曲线y=x+bx+cx+d上有拐点(1,-1),且在x=0处的切线平行于x轴,求b,c,d

解 1+b+c+d=-1…  ①

2y′=3x+2bx+c

c=0…

y″=6x+2b

6+2b=0…

c=0 b=-3 d=1②③

【例6】 设f(x)在闭区间[0,1]上二次可微,且f(0)=0,f″(x)>0,证明函数调增加的.

证明 f(x)在(0,1]上是单x(f(x)f′(x)x-f(x)f′(x)x-(f(x)-f(0))′22xxx

f′(x)x-f′()xξ(0<<x)ξ2x)

∵f″(x)>0f′()<f′(x)ξ

于是(x)f(x)′>0   单调增加(f)xx

【例7】 设y=f(x),y″-2y′-4y=0,f(x)>0,f′(x)=0则f(x)在x=x000处取解 y″=2y′+4y

y″(x)=4y(x)>000

∴x=x0处取极小值

f(x)-f(a)【例8】 若li2则f(x)在x=a处取2=x→a(x-a)

f(x)-f(a)解 li2>02=x→a(x-a)

∴u(a-) δ。f(x)-f(a)0  即f(x)>f(a)2>(x-a)

∴f(a)为极小值

【例9】 设y=f(x)在x=x如果f′(x)=0,f″(x)=0,f(x),≠00的某邻域内具有三阶连续导数.000试问x=xx,f(x))是否为拐点?为什么?0是否为极值点?为什么?又(00

解 不妨设f(x)>00

—19—

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f″(x)-f″(x)f″(x)0f(x)=li=li>00xxxx-xx-x→x→0000

>0 当x(x,) δ∈uδ0。f″(x)>0x-x0

当x<x<x,f″(x)<0 当xx<x f″(x)>0 ∴x=xδδ0-00<0+0为拐点当x<x<x,f″(x)<0 f′(x)  f′(x)=0 ∴f′(x)>0δ0-00

当xx<x,f″(x)>0 f′(x)  f′(x)=0 ∴f′(x)>0δ0<0+0

得x=x0不是极值点

【例10】 写出下列曲线的渐近线

3xx;(2)y2;(3)y=ln(1+e(1)y2);x+2x-3x+x-2

解 (1)x=-3x=1为垂直线近线

3x32xx+2x-3-x=-=1,b=lim22k=lixxx→0→∞x+2x-3()

y=x-2为斜渐近线

(2)x=-2x=1为垂直渐近线

=1x∞x+→+x-2lim2

=-1x∞x+→-x-2lim2

y=1,y=-1为水平渐近线

x(3)limln(1+e)=0 y=0为水平渐近线x∞→-

xxxxln(1+e)e(1+e)(1+e)x=lim1  b=lim(ln-x)=limln-lne=0k=limx=xxxx∞∞1∞∞x→+→+→+→++e

y=x为斜渐近线

2x+x+1【例11】 y=arcta的渐近线有(x-1)(x+2)1

x解 x=0为水平渐近线ππ(x)  y为水平渐近线limfx44→∞三、证明不等式

(1)利用单调性证明

(2)利用极值或最值证明

(3)利用中值定理

(4)利用凹凸性证明

(5)利用泰勒公式证明

—20—

【例1】 证明下列不等式

1)当x>0x

1+x<ln(1+x)<x

证明 令f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0  f′(x)=11

1+x>0

∴f(x)>0  即ln(1+x)<x令g(x)=ln(1+x)x

1+x

g(0)=0 g′(x)1

1+x1

(1+x)2>0

∴g(x)>0 即x

1+x<ln2(1+x)

2)当0<x<1时,(1+x)ln2(1+x)<x2证明 令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)f(0)=0  f′(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)f′(0)=0  f″(x)=2-ln(1+x)

1+x2

1+x=x-ln(1+x)

1+x>0

f′(x)>0近而f(x)>0

即 (1+x)ln2(1+x)<x2

3)设x>0,当a>e时,证明:(a+x)a<aa+x证明 令f(x)=(a+x)lna-aln(a+x)

f(0)=0

f′(x)=lnaa

a+x>0

∴f(x)>0

即(a+x)lna>aln(a+x)

化简可得(a+x)a<aa+x

4)设b>a>0,求证:lb

a2(b-a)

b+a

证明 令f(x)=lnx-lna2(x-a)

x+a

f(a)=0

f′(x)1

x4a(x-a)2

(x+a)2x(x+a)2>0

∴f(x)>0

即 lnx-lna2(x-a)

x+a

取x=b可得

—21—《微积分》考点精讲

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2(b-a)

b+a

5)设e<a<b<e2,证明ln2b-ln2a4e2(b-a)

证明 令F(x)=ln2x-ln2a4e2(x-a)

F(a)=0

F′(x)=ln4xe2

xF″(x)=1-ln

x2<0

F′(e2)=0

∴F′(x)>0从而F(x)>0取x=6可得

ln2b-ln2a4e2(b-a)

【例2】 证明下列不等式

1)1+xln(x++x)≥+x证明 令f(x)=1+xln(x++x)-+xf′(x)=ln(x++x) f′(0)=0

f″(x)1x=0为最小值点+xf(x)≥f(0)=0 即1+xln(x++x)≥+x2)设f(x)在(0,+∞)上二次可微,f(0)=0,f″(x)<0,证明:对x1>0,x2>0,f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)证明 不妨设x1<x2

f(x1)-f(0)=f′(ξ1)x1   0<ξ1<x1

f(x1+x2)-f(x2)=f′(ξ2)x1   x2<ξ2<x1+x2f″(x)<0   f′(x)   f′(ξ2)<f′(ξ1)

f(x1)-f(0)>f(x1+x2)-f(x2)

即f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)

3)xlnx+ylny>(x+y)lx+y

2(x>0,y>0,x≠y)

证明 研究f(x)=xlnx的凹凸性

f′(x)=lnx+1   f″(x)1

x>0   f(x)为凹

xyxlnx+ylny+yx+y

2x

2l2

即 xlnx+ylny>(x+y)lx+y

—22—

《微积分》考点精讲

2sinxx4)证明:当0<x时,2π

sinx证明 研究f(x)的单调性x

xcosx-sinxxcosx-(sinx-sino)f′(x))<0=(cosx-cosξxx

si22sinxπf(x)>  2xππ

2()

2即 sinxπ

【例3】 设函数f(x)在[a,b]具有二阶连续导数,f′(a)=f′(b)=0,证明:a,b),ξ∈(≥f″(ξ4(b)-f(a2f(b-a)

f″()ξ12(x-a)证明 f(x)=f(a)+f′(a)(x-a)!2

)f″(ξ22f(x)=f(b)+f′(b)(x-b)(x-b)2!

a+b取x2

2)(f″(ξa+bb-a)1…①=f(a)22!4()

f″(ξ)(a+bb-a)=f(b)…②(2)2!422

①-②得

2″(f″()f)ξξ(b-a)12O=f(a)-f(b)422()

f″()-f″(f″()+f″(介值定理fξξξξf(b)-f(a″(ξ1212≤2222(b-a)四、证明等式

11)证明:x>0时arcta+arctanxx2

1πarctanx证明 令f(x)=arcta+x211f′(x)022=1+x1+x

f(x)=C   f(1)=0   C=0

1arctanx即 arcta+x2

—23—

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2)设f(x)是l以为周期的连续函数,证明:对任意的常数a,有:

f(x)dx=∫f(x)dx∫a0a+ll

证明 

∴a+l

af(x)dx∫=f(a+l)-f(a)=0aa+ldaf(x)dx=C∫

l取a=0C=f(x)dx0∫

∴∫aa+lf(x)dx=f(x)dx0∫l

第四节 理论应用

1.零点定理

2.介值定理

3.罗尔定理

4.拉格朗日中值定理

5.柯西中值定理

6.泰勒中值定理

7.积分中值定理

8.费马引理

【例1】1)设f(x)在区间[0,1]上连续,且f(0)=1,f(1)=0,试证明,0,1),使得f()=.ξ∈(ξξ证明 令F(x)=f(x)-x   F(x)在[1,1]上连续   F(0)=f(0)-0=1

F(1)=f(1)-1=-1   F(0)·F(1)<0

由零点原理知

t(0,1)使F()=0ξξ

即f()=ξξ

2)设f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),试证明,0,2a),使得f()=f(+a).ξ∈(ξξ证 令F(x)=f(x+a)-f(x)

F(0)=f(a)-f(0)  F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)

2F(0)·F(a)=-(f(a)-f(0))

如果 f(a)=f(0)=f(2a)=f(a+a) 取ξ=a

2否则 F(0)·F(a)=-(f(a)-f(0))<0

F(x)满足零点原理  ξ0,a),F()=0 即 f(+a)=f()∈(ξξξ

32【例2】1)证明方程x-4x+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根

—24—

《微积分》考点精讲

32证明 令f(x)=x-4x+1

f(0)=1  f(1)=-2

f(x)在[0,1]上满足零点原理

0,1)  f()=0ξ∈(ξ

32即 x-4x+1=0在(0,1)内至少有一个根

2)讨论方程lnx=ax,(a>0)有几个实根

解 令f(x)=lnx-ax   f(+∞)=-∞

1f′(x)-a   f(0+0)=-∞x

11f″(x)2   x为最大值点ax

()

11当(x)有一个零点方程lnx=ax只有1个根 即a时 f(a)=0e

1(x)有两个零点方程lnx=ax有2个根当>0 即a时 f(1)ae

ππ)内根的个数.3)就k的不同取值情况,确定方程xsinx=k在开区间(022

πinx-k  f(0)=-k  解 令f(x)=xs(2)=-k2当11(x)无零点方程lnx=ax无根<0 即a时 fae

2ππosx  f″(x)sinx>0  x=arcco为最f′(x)=1c22π

π上无零点方程无根k(x)在0≥0时 f2

22π2当k<0时 f(arcco)=arccosinarcco-k>0ππ2π

2π2即  k<arccosinarcco  方程无根π2π

2π2k=arccosinarcco  方程只有一个根π2π

22k>arccosinarcco  方程有两个根π2π

【例3】 若函数f(x)在[a,b]上连续,a<xx…xb,则在区间[x,x]上至少有一点ξ,使1<2<n<1n

f(x)+f(x)+…+f(x)12n得f()ξn

证明 f(x)在[a,b]连续 f(x)在[x,x]连续f(x)在[x,x]有最大值M,最小值m1n1n

m(x)=1,2,…,n≤f≤M ii

(x)+f(x)+…+f(x)M+M+…+Mm+m+…+mf12n=Mm≤≤nnn

—25—()

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由介值定理知x,x]<(a,b)使ξ∈[1n

)+f(x)+…+f(x)f(x12nf()ξn

【例4】 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x)=f(x)=f(x),其中a<xxxb,1231<2<3<证明至少存在一点ξa,b),使得f″()=0.∈(ξ

,x],[x,x]上分用罗尔定理证明 对f(x)在[x1223

x,x),x,x)ξ∈(ξ∈(112223

使f′()=0  f′()=0ξξ12

再对f′(x)在[,]上用罗尔定理ξξ12

,)<(a,b)使ξ∈(ξξ12

f″()=0ξ

2【例5】 设函数f(x)在区间[1,2]上二阶可导,且f(2)=f(1)=0,又F(x)=(x-1)f(x),那么

在区间(1,2)内至少存在一点ξ,使得F″()=0ξ

证明 ∵F(1)=0 F(2)=f(2)=0

∴F(x)在[1,2]上满足罗尔定理

1,2)使F′()=0η∈(η

2又 F′(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)f(x) F′(1)=0

F′()=F′(1)η

F′(x)在[1,]上满足罗尔定理η

1,)使F″()=0ξ∈(ηξ

【例6】 设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导f(1)=0.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f()+f′()=0如果将结论改为2f()+f′()=0ξξξξξξ

证明 令F(x)=xf(x)  F(0)=0  F(1)=f(1)=0

F(x)在[0,1]上满足罗尔定理

0,1)F′()=0ξ∈(ξ

即f()+f′()=0ξξξ

a+b【例7】 f(x)[a,b],f(x)(a,b),f(a)·<0,f(a)f(b)>0证明:至少存在一个∈C∈D2

a,b)使得f′()=f()ξ∈(ξξ

a+ba+b证明 f(a)·<0  f(a)·f(b)>0  于是·f(b)<022

a+ba+bb上适用零值定理f(x)在a·22()()()[][]

a+ba+bb使,  ξξ∈a∈1222

f()=f()=0ξξ12

-x令F(x)=ef(x)()()

—26—

《微积分》考点精讲

F()=F()=0ξξ12

,]上满足罗尔定理F(x)在[ξξ12

,)使F′()=0ξ∈(ξξξ12

)=f()即f′(ξξ

a,b),使得【例8】 f(x),g(x)在[a,b]上可微,g′(x)≠0证明至少存在一点ξ∈(

′()f)f(a)-f(ξξg()-g(b)g′()ξξ

证明 令F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(x)+g(b)f(x)

F(a)=g(b)f(a)

F(b)=f(a)g(b)

F(a)=F(b)  F(x)在[a,b]上满足罗尔定理

a,b)使F′()=0ξ∈(ξ

即)f′()f(a)-f(g(′()-g(b)g)ξξ

a【例9】 f(x)[a,b],f(x)(a,b),证明:至少存在一个ξa,b)使得f(b)-f(a)=l∈C∈D∈(

f′()·ξξ

证明 对f(x)、lnx在[a,b]上用柯西中值定理

′(f(b)-f(a)f)ba1lnln-

ξ

b即f(b)-f(a)=l·ξf′()ξa

【例10】 设函数f(x)在[-1,1]具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0证明:

1,1),使f()=3.ξ∈(-ξ

f″(0)2()3fη证明 f(x)=f(0)tf′(0)xx-x2!3!

()ξf″(0)f1f(-1)=f(0)…①32!!

()ξf″(0)f2f(1)=f(0)…②2!3!

f()+f()1ξξ121f() (介值定理)ξ63

得f()=3ξ

—27—

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第三章 一元函数积分学

第一节 不定积分

一、基本概念(原函数和不定积分的概念)

【例1】 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为(B)

A1+sinx      B1-sinx      C1+cosx      D1-cosx【例2】 下列各式正确的是(C).Adf(x)dx=f(x)Cdf(x)dx=f(x)dx

Bf(x)dx=f(x)+Cdx

dDf(x)dx=f(x)dxdx

二、求不定积分

1.利用积分表(1)0·dx=c;

+1α

+c;(3)xdx

α+1

αx

(2)kdx=kx+c;(4)

∫∫

α≠-1

;dx=l+c

(5)edx=e+c;(7)cosxdx=sinx+c;

ecxdx=tanx+c;(9)s

∫∫

+c;(6)adx=lna

(8)sinxdx=-cosx+c;

(10)cscxdx=-cotx+c;

∫∫

(11)secxtanxdx=secx+c;(13)

∫∫

(12)cscxcotxdx=-cscx+c;(14)

x=arcsinx+c;-x∫

dx=arctanx+c;2

1+x

(15)tanxdx=-lncosx+c;

(17)secxdx=ln(secx+tanx)+c;(19)(21)

11x-a

x=l+c;2ax+ax-a

(16)cotxdx=lnsinx+c;

(18)cscxdx=ln(cscx+cotx)+c(20)

11x

dx=arcta+caaa+x

x=arcsi+c;aa-x1

(22)—28—

x=ln(x+x±a)+cx±a1

《微积分》考点精讲

【例3】 求下列不定积分

1.1x22dx(1+x)

111d-arctanx+Cxxx+122解 原式=

2.1dx1+cos2x

111ecxdx=tanx+Cdx=s222cosx2

2解 原式=

3.1dxsinxcosx22

22sinx+cosx22ecx+cscxdx=tanx-cotx+ε解 原式=dx=s22sinxcosx∫

24.sin∫

∫xdx2xsinx1-cosxdx=+C222解 原式=

25.tanxdx

2解 原式=secx-1dx=tanx-x+C∫

2.凑微分法(第一换元法)

本例小结

【例4】 求下列不定积分

211sinx13x+1odx;   (4)3dx;   (2)1.(1)x;   (3)2cdx;3dxcosxxx+x+21+x)1arcta2xx-2x(5)(x-1)edx;  (6)x;  (7)2d(1+x)∫

ln(x++x)+5dx+x解 (1)(2)112arcta+Cdx=21+x)(1+2sinx1--3dx=-cosxdcosx=cos2x+C32cosx∫(3)11111codx=-co=-si+C2xxxxx∫233x+1132|x+x+2|(4)3dx=3d(x+x+2)=ln+Cx+x+2x+x+2x-2xx-1)edx=(5)(22221x1xx2-2xe-d(x-2x)=e+C22∫1arctax11112+C(6)dx=-arctadarctaarcta2xx2x1+x∫()

—29—

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=32+C(ln(x++x)+53

2342.(1)sinxdx; (2)sinxdx; (3)secxdx; (4)∫∫∫1sinxdx; (5)dx;1-cosx1+sinx(6)∫

sinx1dx; (7)x22dsinx+cosxsinx+2cosx2inxdx=解 (1)s∫1-cos2x11x=xsin2x+C22413cosx-cosx+C332(2)sinxdx=-(1-cosx)dcosx=∫42(3)secxdx=(tanx+1)dtanx=∫13tanx+tanx+C3(4)1dx=1-cosxxdx=-co+C22x2sin21(5)sinxsinx(1-sinx)sinx2dx=anxdxdx=x-t22d1+sinxcoscosxx∫2ecx-1dx=sec-tanx+x+C=secx-s∫(6)sinx1sin+cosx-(cosx-sinx)dx=dxsinx+cosx2sinx+cosx=11xlnsinx+cos+C22

21secxtanx1(7)rcta+Cx=dx=22d2sinx+2tanx+2cosxxe11x;  (2)x  (3)xdx3.(1)xdxd-x1+e1+ee+exe1xx解 (1)dx=d(1+e)=ln(1+e)+Cxx1+e1+exx11+e-exx=x=x-ln(1+e)+C(2)xdxd1+e1+ex1ex(3)xdx=arctanedx=+C-xx2e+e(e)+14.xdx2x+x+1

解 2x12x+1-11(1x+x+1)lndx=dx=222x22x+x+1+x+1(1x123x42)

1x2x1(12+1)rcta+C=lnx+2/2—30—

《微积分》考点精讲

x-xx【例5】 1)已知f′(e)=xe,且f(1)=0,求f(e)

x2(x)dx=e+C,xf(1-x)dx=2)f∫

∫2∫3)f(x)dx=F(x)+C,x=at+b,f(t)dt=

AF(x)+C

1(at+b)+CCFa

xxxx解 (1)ef′(e)=x  f′(e)edx=xdx∫BF(t)+CDF(at+b)+C∫∫

xf(e)=1212xx+C  f(1)=0  ∴f(e)=xC=022

2211(221-x)f(1-x)d(1-x)e+C222(2)xf(1-x)d∫∫

(3)选“B”

【例6】 设F(x)是f(x)的一个原函数,F(x)>0,F(0)=1,当x>0时f(x)F(x)=cos2x求f(x)解 f(x)F(x)=cos2x

F′(x)=F(x)=cosx

∫121in2x+CF(x)F′(x)dx=cos2xdx(x)=s22∫

1(x)=F(0)=1  C  F2

cos2xcos2xf(x))F(x3.第二换元法(三角代换,无理代换,倒代换等)

【例8】 (1)-xdx解 令x=asint 1+1≤

222原式=acostdt=aπ2∫cos2tdt1-

12t=asin2t+C24

22-xaπaxrcsi·+C=a222aa

2aπx=arcsi-x+C222()

(2)x+a1

解 x=atant  ≤2

—31—

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   原式=∫12asectdtasect

=sectdt

=ls+Cect+tan

=ln(x+x+a)+C

(3)dx-a1

解 令x=asect

原式=1asecttantdtatant

=ln|sect+tan-1|+C

-a)+C=ln(x+x

【例9】 (1)111dx;   (2)dxx   (3)1+(x+3)+e解 (1)令=t

11dx=·2dt=2arctan+C=2arctan+C2(t+1)(x+3)(2)令+e=tx=+e112t+e-+C=l-+C·2dt=lttt-1t++e+(3)令5216tt+1-1=3t=6t=6(t-arctant)+C22dt(1+t)1+t1+=6-arcta+C【例10】 1dxx(x+1)6解 原式 56x1xn6+Cdx=l666xx(x+1)+1()

4.分部积分法

【例8】 求下列不定积分

(2)xsinxdx;∫∫

解 (1)xedx=∫xde=xe-∫edx=(x-1)e+C∫

(2)xsinxdx=-∫xdcosx=-(xcosx-∫cosxdx)=-(xcosx-sinx)+C∫

2.(1)xlnxdx(2)arctanxdx(3)arcsinxdx∫∫∫x1.(1)xedxxxxxx2

—32—

《微积分》考点精讲

2222xxxxx解 (1)xlnxdx=lnx=lnx-dx=lnx+C22224∫∫rctanxdx=xarctanx-(2)a∫

∫x12dx=xarctanxl)+Cn(1+x221+x

22(3)arcsinxdx=xarcsinx-2∫xarcsinxx-x2=xarcsinx+2arcsinxd-x

2=xarcsinx+2(-xarcsinx-1dx)2x+2(-xarcsinx-x)+C=xarcsinx3.(1)esinxdx∫∫∫

解 (1)esinxdx=∫sinxde=sinx·e-∫ecosxdx=sinx·e-∫cosxde∫3(2)secxdxxxxxxx

xxx=esinx-ecosx-esinxdx∫

xsinxdx=∴e∫1xe(sinx-cosx)+C2

3(2)secxdx=secxdtanx=secxtanx-tanxsecxtanxdx∫∫∫

3ecx-secxdx=secxtanx-s∫

3∴secxdx=∫1secx+tanx+lns)+Cecx+tan2

(2)4.(1)xcosxx3sinxxxedx2(x+1)

解 (1)xcosx11-2-2-2dxdsin(xsinx-sinxdx)322sinx∫∫

1xotx+C2+c2sinx()

xxxe1xexx(2)dx=-xe=--edx2x+1x+1(x+1)∫(∫)

xxex=-+C-ex+1()

2x2(tanx+1)dx5.e∫

2x22x解 原式=esecx+e2tanxdx∫

2x2x2x=etanx-2etanxdx+e·2tanxdx

2x=etanx+C∫∫

—33—

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【例9】 设函数f(x)的一个原函数是sinx

x,求积分∫xf′(x)dx.

解 ∫xf′(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx

=x·(sinx

x)′sinx

x+C

=xcosx-sinxinx

xs

x+C

5.几类特殊类型函数的积分

(1)有理函数的积分

(2)三角函数的积分

(3)指数函数的积分

(4)简单无理函数的积分

(5)分段函数的积分

【例10】 ∫max(1,x2,x3)dx

≥1

解 max(1,x2,x3)={x3x1|x|≤1

x2x<-1

?1

?4x4+C1x≥1

∫max(1,x2,x3)dx=??x+C2≤1

???1

3x3+C3x<-1由原式数的连续性知

{1

4+C1=1+C2

C1

2-1=C33

令C2=C  C1=C3

4 C3=C2

第二节 定积分

1.定积分的概念

(1)定积分的定义

【例1】 求下列极限

1.nl→i∞n

—34—

《微积分》考点精讲

1n!nnnim解 li=lnn→∞n→∞…+++)=eli(12n1

n→∞=es′lnxdx0

-1=e

【例2】 设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2f(x)dx,求f(x)0∫1

解 令f(x)dx=k0∫1

f(x)=x+2k

1f(x)ax=∫x+2kdx=+2k=k∫20011

∴f(x)=x-1

2.定积分的性质

(1)区间可加性

(2)比较性质

(3)估值定理

(4)积分中值定理

3.重要公式12

1)若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数,则

f(x)dx=2∫f(x)dx;∫-a0aa

若f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数,则

f(x)dx=0∫-aa

2)0a2aπ-xdx=43)设f(x)是以l为周期的连续函数,证明

∫aa+lf(x)dx=f(x)dx.0∫l

4)In=sinxdxcosxdx(=)=nn00ππ{n-1n-331π·…··,n为正偶数nn-2422n-1n-342·…·,n为大于1的正奇数nn-253

π5)xf(sinx)dx=20∫

∫0ππf(sinx)dx∫0πn6)sinxdx=2sinxdx0n—35—

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4.定积分的计算

(1)牛顿—莱布尼兹公式

【例5】 求下列积分1dx,1+x)1

41解 x=2arcta11+x)144

=2arctan24

(2)对称性【例6】 求下列积分

(1)(x+sinx)cosxdx322

ππ()

124解 原式=2sinxcosxdx=2sinx-sinxax=21·π31·π=π800224223

02222()(2)(xln(x++x)--x)dx∫2-33解 原式=2

(3)π99ππ--xdx=-2·∫4248(xarctanx+cosx+sinx)dx2

π48解 原式=2cosx+sinxdx02

=2·317531··+2·····42286422

83=π128

(4)∫-112f(x)(x+1)dx,,y,f(x+y)=f(x)+f(y)x

解 ∵f(x+y)=f(x)+f(y)

f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)

f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=0

∴f(x)为奇函数

∴f(x)f(x+1)dx=0∫2

-11

x++x(5)-xldx,-121解 原式=-x(lnx++x-ln2)dx-11

=-2ln2-xdx01

—36—

《微积分》考点精讲

ln22

(3)换元法

2sinxdx【例7】 (1)π-x1+e解 令t=-x

2sinx设A=πdx=-x1+eπ2sintdttπ1+eπxe12A=πsinxdx=xx1+e1+e(24)1-cos2xπ1sinxdx=2dx=2(284)2

π440

∴A=1π184xrctanedx,(2)a-1∫

-1解 令t=-xA=∫

1xarctanedx=arctanedt∫-t-112A=

A=dx=ππ2-1π

【例8】 (1)

解 令t=设A=

2A=

A=(2)02012sinxx20122012dsinx+cosxπ-x20π2012sinxx=20122012dsinx+cosx0π2012costt20122012dcost+sintπdx=202π40

π1dxα1+tanxπ-x2解 令t=A=0

π1dx=α1+tanx0π1dtα1+cott2A=

A=dx=20π

—37—

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【例9】 (1)

π

xsinx

x2d1+cosx

2π

inxππsππ

rctancos解 原式=a=2d201+c24osx0

(2)xsinxdx

π

2231π3ππ4π4解 原式=sinxdx=πsinxdx=π···=

02042216

【例10】 

ln(1+tanx)dx0

π

解 令t=

π

-x4

1-tantdA=lt=lt=ln(1+tanx)dx=ln1+tanπ-tdn1n2-ln(1+tant)dt

00004t1+tan

[

()][

]

2A=A=

ln24

πln28

(4)分部积分法【例12】 (1)

ln(1+x)

x2d(2-x)

11

111ln(1+π=·dx解 原式=ln(1+x)-

02-x2-x002-xx+1

1x-=ln2l3x+(cosx-sinx)

(2)x

10

21

=ln2ln2=ln2

33

π

解 原式=

x-πxxπxπsinx

dx=π

ππ

d+2πππx

+)(-dx=ππ

【例13】 f(2)=1,f′(2)=0,f(x)dx=1,xf″(2x)dx=

2解  xf″(2x)dx

111

1122=xf′(2x)dx)xdf′(2x)=(xf′(2x-2

02020

∫∫

111

11=x(2x)dx)f′(2x)dx=xdf(2x)=(xf(2x-f

002020

∫∫

111

=f(2x)dx220

—38—

《微积分》考点精讲

112=f(u)du240∫

=1

2x【例14】f(x)dx,其中f(x)=1)计算x0∫11sintdtt

22xx解 xf(x)dx=f(x)=·0022∫1∫1inxsint1-1x·sxdxd2·2021tx02x222=1cosx210=

2)计算积分

解 π1(cos1-1)2xπsintf(x)dx,其中f(x)=dt∫t0π

∫0πf(x)dx=xf(x-x·0

0∫πsinxxx

=-sinxdx0∫π

=-2

(5)分段函数的积分

【例15】

21)max(x,x)dx-22∫

解 原式=

=xdx+∫xdx+∫xdx∫22-201012817323

11=2

2)设f(x)={≤0x+1-1≤x

x0<x≤1,F(x)=

xf(t)dt,x-1,1]的表达式.∈[∫-1xx解 当-1≤x(x)=≤0时 F

0<x F(x)=≤1x∫-1f(t)dt=∫-1t+1dt=12(x+1)2f(t)dt=∫1+tdt+∫tdt∫-1-100x

=112x22

3)设f(x)={-xxe,2x≥0(x-2)dx,计算f11,-1<x<01+cosx

—39—∫4

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解 令x-2=t  f(x-2)dx=

f(t)dt∫

-10

21-tedt=dt+t

-11+c0ost

20

2t-t

=ta1e

2-21

11-4

=ta(1-e)

22

(6)含绝对值的积分【例16】 

x;      (2)x(1)1l-4x+4dx;      (3)tndd-20

π0

(4)

x      (5)x0

π

(1)解 

-lnxdx+∫lnxdx=2x=lnde

1eee

(2)解 

25

x+4dx=x-2)dx=∫2-xdx+∫x-2dx=-42

-21

-2

-2

5525

(3)解 txd0

当t-xdx=t≥1时 原式=tt

∫∫

01

x-t)dx=当t≤0时 原式=t(当0<t<1时 原式=(4)解 

π

t2

-t2

(∫

0π0

t-xdx+x-tdx=t-tt

)

32

x=0

πxxxxxxdx=co-sidx+si-codxsi-co0222222=4-4(5)解 

0-x

π

x=0

π

cosxdx=0

osxdx+-osxdx=2π

(7)广义积分【例17】(1)(4)

edx      (2)∫x∫

+∞

+∞

-x+∞

xe1

dxdx      (3)-x222

0(1+e)(x+1)(x+4)

-∞

+∞

++∞∞

111

dx    (6)dx    (5)dx22α00(x(x+4x+9)+1)(1+x)1+x)∫∫

(1)解 

edx=-(x+1)e∫x

-x

0+∞

-x

+∞

+∞

+∞-x

=1

(2)解 

xexe

dx=∫dx=(x-ln∫(1+e)(1+e)

-x2

x2

x(1+e)

x1+e

)

+∞

=ln2

—40—

《微积分》考点精讲

(3)解 

+∞

11+11

dxdx=2222

30x+1x+4(x+1)(x+4)

∫()

11x=arctanxrcta322

()

+∞

π=12

(4)解 

-∞

+∞

x=2

x+4x+9

-∞

+∞

11

dx+dx22

0(x+2)+5(x+2)+5

x+0x++11

=rctarcta0-∞=π5

(5)解 (6)解 令u=

+∞

+∞

dx=2arctan=π1+x)0∫

+∞

dx  令x=tant  原式=2α

(x+1)(1+x)1

dt1+tant

α

π

π

-t2

π1

dt=α

1+tant

π

1111

u=dtααα

201+t1+cotuant1+cott

π

1π

=dt=204

π

【例18】(1)

xxx-1

-2

-1

解 

-2

-1

x=xx-1

-2

-1

-x

12

x=arcsix-1

-2

π

(2)

dxx(1-lnx)

11

解 原式=dx+x

2xex(1-lnx(1-lnx))

e4

=-ln1-ln2

+(-l1-lne

发散

(8)定积分不等式的证明

【例19】 设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,证明柯西不等式:f(x)g(x)dx[∫]

ab

f(x)dxg(x)dx∫∫

222

证明 令F(x)=f(t)dtg(t)dt-(f(t)g(t)dt)

∫∫

—41—

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F(a)=0

F′(x)=f(x)g(t)dt+g(x)f(t)dt-2f(x)g(x)f(t)g(t)dtaaa

2=(f(x)g(t)-f(t)g(x))dt≥0a2∫x22∫2x∫x∫

b4∴F(x)≥0 取x=b即可得f(x)g(x)dx(∫)a2≤f(x)dxg(x)dx∫∫22aabb

【例20】 设f(x)在[0,1]可导,f(0)=0,0<f′(x).≤1

试证:f(x)dx(∫)012≥f(x)dx∫30

x3(t)dtf(t)at-0f21证明 令F(x)=

F(0)=0(∫)0∫x

3F′(x)=2f(x)f(t)dt-f(x)0∫

0x2=f(x)2f(t)dt-f(x)

x(∫)3f(0)=0 f′(x)>0 ∴f(x)>0  令φ(x)=2f(t)dt-f(x)0∫

(0)=0φ

′(x)=2f(x)-2f(x)f′(x)φ

=2f(x)(1-f′(x))>0

∴F′(x)>0  可得F(x)>0

取x=1有

f(x)dx(∫)012≥f(x)dx∫301

a+b【例21】 设f(x)在区间[a,b]上有二阶导数,且=0,证明:2()

∫3M(b-a),其中M=max{f″(x)}f(x)d≤xa,b]∈[24ab

证明 设F(x)=f(t)dta∫x

Fa+b

2()ξa+b2Fa+b3F(x)=Fa+b+Fa+bxa+bxx2!3!22222(

())(()())()()()Fa+b

23F()(ξb-a2(b-a)b-a)1a+ba+bF(b)=F+F2!4!82322

Fa+b

23F()(ξa-b2(b-a)a-b)2a+ba+b+FF(a)=F22!43!822()()()()

—42—

《微积分》考点精讲

3)+f″()f″(ξξ(b-a)12F(b)-F(a)=f(x)dx=a38!∫b

∫33(b-a)f″()+f″(M(b-a)ξξ12≤f(x)d=2424a2b

5.积分的应用

(1)定积分的微元法

(2)几何应用a)平面图形面积直角坐标,参数方程和极坐标

b)旋转体体积

c)平面曲线的弧长直角坐标,参数方程和极坐标

【例22】 求由曲线y=lnx与两直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积

y+1-y-edy=解 面积为e0∫

a132【例23】 求下列曲线所围图形的面积33(1)x=acost,y=asint解 面积为4ydx=43asintcostdt=12a00

2∫sint(1-sint)dt=12a(3·1·π5·3·1·π)42264222422042

=32aπ8

2π(2)摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱与横轴解 面积为A=dx=∫a(1-cost)dt∫y22

002aπ

2=a(1-2cost+cost)dt∫2

02π

2a=3π

2【例24】 (1)求双扭线ρ=2cos2所围成区域的面积θ

解 A=40

ππ412d=22cos2d=2sin2θθθ=2020π2(2)求ρin2,=os所围成区域的面积θρθ解 A==011in2)d+os)dθθθθπ22ππ  (0≤x)≤π6

π【例25】 求曲线y=sinx与x轴所围图形分别绕x轴,y轴,y=1旋转所成立体体积.πsinxdx=2inxdx=解 Vππsx=002∫π222

ππ2V2xsinxdx=2·sinxdx=2πππy=020∫π∫

绕y=1旋转的体积

—43—

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V=∫ππ12dx-∫π

0π(1-sinx20)dx

=π2-(π22

-4ππ2)

=4ππ2

【例26】 过原点作曲线y=lnx的切线,

(1)求切线,曲线及x轴所围图形的面积

解 设切点为(x0,lnx0)

lnx0-0

x1  x

0-0x0=e

切线为yx

面积为∫1

0ey-eydy=e2-1

(2)求此图形绕直线x=e旋转一周所成立体体积解 体积为V=11

3πe2-∫0π(e-ey)2dy=52π

6πe-2πe2

—44—

《微积分》考点精讲

第四章 多元函数微分学

一、二元函数

1、二元函数的解析式

2xy,求f(x,f(x,x))【例1】 设f(x,y)x+y

22xxx解 f(x,x)x+x2

2xx·2x2f(x,f(x,x))=fx22xx2()

2x22+x

y22【例2】 设f(x+y)=x-y,求f(x,y)x

解 令u=x+y

vy

22u2uv2u(1-v)f(u,v)=-21+1+vv(1+v)()()

22(1-y)x∴f(x,y)2(1+y)

2、二元函数的极限

xy22y≠02x+x+y,讨论P(x,y)【例3】 设f(x,y)=(0,0)时函数极限→O2{

022+y=0x

解 取y=kx

2xykxklim22=lim3222x0x+→0x+yxkx1+ky=kx

 其极限随k变化而不同

∴limxy不存在2x→0x+yy→02

2yx22y≠042x+x+y,讨论P(x,y)(0,0)时函数极限【例4】 设f(x,y)=→O{

022x+y=0

2解 取y=kx

—45—

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lxiy=→mxykx4k0kx2x4+y2=lxi→m0x4+k2x41+k2随k变化而不同

∴lximxy42不存在

y→0→0x+y

【例5】lxix+yy→0→0-1

解 令x+y=u

原式=limu

u→0=lu=2-1ui→m01

2【例6】 (1)lxim(x2+y2)si1y→0→0x2+y2

解 原式=0(无穷小与有界量之积)

(2)lx3+y3

xiy→0→0x2+y2

解 lx3+y3x2

xi22=l

y→0xim22xy222·y=0

→0x+yy→0→0(x+yx+y)

【例7】 (1)lxyxiy→0x+y→0

x2+y2

解 0≤x2+yx+y+y2

而lxi+y=0y→0→02

∴lixy

xy→0→0+=0y

(2)lim(x2+y2)2x2y2

xy→0→0

解 原式=l2x2y2ln(x2+y2)

ximey→0→0

(20≤xn(x2+y≤x+y2)22y2l2

2ln(x2+y2而lui→m40ulnu=0

∴lxi(x2+y2)2ln(x2+y2=0y→0→04

∴lim(x2+y2)2x2y2

x=1y→0→0

3、二元函数连续;偏导存在;可微的讨论

(1)函数在(x0,y0)处连续lx→imxf(x,y)=f(x0,y0)

y→y0

(2)函数在(x0,y0)处的偏导

—46—

考试点白云霄桑园20xx考研数学微积分考点精讲与过关习题数三

f′f(x0+Δx,y0)-f(x,y)x(x0,y0)=00

Δlix→0Δx

f′f(x,y0)-f(x,y)

x(x0,y0)=l00

x→ix0x-x0

(3).函数在(x0,y0)处可微

Δlif(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)-f′x(x0,y0)Δx-f′y(x0,y0)Δy=0Δxy→0→0x+Δy

xy22

【例8】 设f(x,y)={x2+y2,x+y≠0试问该函数在点(0,0)处

0,x2+y2=0

(1)是否连续?(2)偏导数是否存在?

解 f(x,y)在(0,0)处不连续 ∵lxy

xiy→0→0x2+y2不存在

f′f(x,0)-f(0,0)0-

x(0,0)=lxi→0x-0=lxi→00x-0=0

同理 f′y(0,0)=0

【例9】 设f(x,y)={xyx+yx2+y2≠0试问该函数在点(0,0)处

0,x2+y2=0

(1)是否连续?(2)偏导数是否存在?(3)是否可微?

解 lxy

xiy→0→0+=0=f(0,0)y

∴f(x,y)在(0,0)处连续

(2)f′f(x,0)-f(0,0)

x(0,0)=lxi→0x-0=lxi→0-00x-0=0

同理f′y(0,0)=0

(3)f(0+Δx,0+Δy)-f(0,0)-f′x(0,0)Δx-f′y(0,0)xyΔliΔxy→0→0Δx+Δy

 xy

=lΔiΔxx+Δy y→0=lΔxΔy

→0x+ΔyΔiΔxy→0→0Δ2+Δ2y不存在

∴f(x,y)在(0,0)处不可微

—47—《微积分》考点精讲

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12222(x+y)si22 x+y≠0x+y,试问该函数在点(0,0)处【例10】 设函数f(x,y)=

022+y=0 x{

(1)是否连续?(2)偏导数是否存在?(3)是否可微?

122(x+y)si22=0=f(0,0)解 limx→0x+yy→0

∴f(x,y)在(0,0)处连续

12xsi2-0f(x,0)-f(0,0)x=li=0(2)f′(0,0)=lixxx-0-0xx→0→0

同理 f′(0,0)=0y

122(+)si2x-0y0ΔxΔyΔΔ2-1+ΔxΔy=limx+ysi20(3)liΔΔ2=xxΔΔ→0→0x+yΔΔ+ΔxΔyyyΔΔ→0→0∴f(x,y)在(0,0)处可微

33xy-xy22  x+y≠022,x+y【例11】 设f(x,y)=(0,0);f″(0,0) 求f″xyyx{

0,22x+y=0

f(x,0)-f(0,0)解 f′(0,0)=li=0xxx-0→0

33y-xyx 22 f(x,y)-f(0,y)x+y=li=-yf′(0,y)=lixxxx-0x→0→0

f′(0,y)-f′(0,0)-yxx=li=-1f″=lixyyyy-0→0→0y

同理f″(0,0)=1yx

二、求偏导

1.具体的复合函数求偏导

y【例12】 (1)设u=x,求

zuzy=yx-1

xzuuuxyz解 

zuyz-1=xlnx·zyy

zzuy=xylnyz

222rrr2(2)设r=x+y+z,证明222=rxyzrxryrzxyz+y+z+y+zy+z+

—48—

zx2

2rx+y+x+y+zx2x2+y2+z2

2r+y+zy2

y2x+y+zx2+y2+z2

r2+y+zz2rz2x2+y2+y+z+z2

x+y2+z2

2r2r23+y+z2+y+zxr

2y2z2x2+y2+22zr(3)z=-x-y求+zx+zy

解 z-x

xa-x-yzy-y

-x-y+za

x+zy-x-y2.抽象的复合函数求偏导

【例13】 

(1)设z=f(xyxy2z

y)+gx,其中f,g有连续二阶偏导数,求xy

解 z

x=yf′1

1yf′2yyx2g(x)

2z

xy=f′x11

1+y(xf1″1y2f1″2)y2f′2y(xfx

2″1y2f2″2)

1yy(y

x2g(x)x3gx)

(2)z=yz

f(x2-y2),求x

z2xyf′(2-y2)xx

f2(x2-y2)

(3)设u=f(x,xy,xyz)且f具有二阶连续偏导数,求u2u

xxz

u

x=f′1+yf′2+yzf′3

2u

xz=f1″1·0+f1″2·0+xyf1″3+y(f2″3·xy)+yf′3+yzf3″3·xy

=xyf1″3+xy2f2″3+yf′3+xy2zf3″3

—49—《微积分》考点精讲

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(4)设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)=1=2=3,(1,1)(1,1)

3(x)=f(x,f(x,x)),求dφxφ(dxx=1

3x)dφ(2=3解 x)·φ′(x)φ(ax

′(x)=f′(x,f(x,x))+f′(x,f(x,x))·(f′(x,x)+f′(x,x))φ1212

′(1)=2+3(2+3)φ

=17

3dxφ(∴=51dxx=1

3.隐函数求偏导

【例14】

2z(1)设e-xyz=0,求 2xz

z解 令F(x,y,z)=e-xyz

zyz Fxz Fe-xyFx=-y=-z=

FFzzyzxzxyz zxFyFxyxyze-ze-

zzzze--y)(xy)-yz(exxz

2z2(ex-xy)2

yz2zz-yz(e-y)yze-xyz2(e-xy)

zzy(x)其中F(u),(x)均有连续偏导数,确定z=zz求证+=z.(2)已知Fx=0,y,v,yxyzz()

证:对Fy)=0两边对x求导.(x

zz

zz?z?--??xx?+?=F′·?F′·?012????22?z??z?

zF′z1xxF′+yF′12

对F(xy=0两边对y求偏导zz)

zz?-?z?-?xy?+??=F′·?F′012????22?Z??z?

zF′z2yxF′+yF′12

—50—

《微积分》考点精讲

xF′+zyF′zzz12+=zxyxF′+yF′12

duφ2y(3)u=f(x,y,z),(x,e,z)=0,y=sinx≠0,求φzdx

解 dzdu=f′f′cosx+f′·1+23dxdx

2sinx对φ(x,e,z)=0两边对x求导.

dzsinx′cosxe′φ′=02xφφ1+2dx3

sinx-2x′cosxe′φφdu1-2=f′f′cosx+f′·1+23dx′φ3()

4.求全微分

22【例15】 求函数z=ln(1+x+y),当x=1,y=2时的全微分

解 z2x22x1+x+y

2yz2y1+x+y

12dzdxdy33

三、多元微分学的应用

求极值

222【例16】 设z=z(x,y)是由x-6xy+10y-2yz-z+18=0确定的函数,求

z=z(x,y)的极值点和极值

解 略

22【例17】 椭圆x+4y=4上求一点,使其到直线2x+3y-6=0的距离最短

|2x+3y-6|解 d(x,y)222)=(2x+3y-6)+(x+4y-4)令L(x,y,λλ

′6(2x+3y-6)+8y=0令Lλy=

22x+4y=4{L′4(2x+3y-6)+2x=0λx=

解出(x,y),即可找到极值点.

【例18】 已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2,求f(x,y)在椭圆

2y域D={(x,y)|x≤1}上的最大值和最小值42

解 ∵dz=2xdx-2ydy

22z=x-y+C

—51—

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∵f(1,1)=2

∴C=2 于是f(x,y)=x2-y2+2

f′x=2x f′y=-2y

{x=0

y=0为驻点

令L(x,y,λ)=x2-y2+2+λ(x2y2

4-1)

?L′x=2x-2λx=0

?

令??L′λ

y=-2y2y=0

???x2y2

4=1

可得 (0,2) (0,-2) (1,0) (-1,0)

∴最大值为3 最小值为-2.

—52—

《微积分》考点精讲

第五章 二重积分

一、二重积分f(x,y)dσD

1.二重积分的定义

2.二重积分的几何意义和物理意义

若f(x,y)二重积分f(x,y)d=f(x,y)为顶,以D为底,侧面是以D的边界曲线≥0,σ表示以z

D

为准线,母线平行与z轴的柱面的曲顶柱体的体积.若f(x,y)≥0,二重积分

上占有区域D的,面密度为f(x,y)的平面薄片的质量.

222【例1】 已知D:x+y求I=≤a,f(x,y)dσ表示在平面D-x-ydσD

解 用几何定义有

Da-x-ydaσ=π323

3.二重积分的性质

(1)d其中σ为区域D的面积,据此可求平面图形的面积σ=σ,

D

(2)比较性质

若f(x,y)≤g(x,y),(x,y)∈D,则

特别的f(x,y)dg(x,y)dσ≤σDDσf(x,y)df(x,ydσ≤DD

推论:f(x,y)在D上非负连续,若f(x,y)d则f(x,y)=0σ=0,D

(3)估值性质设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,其中σ为区域D的面积,则有mσ≤f(x,y)dσ≤MσD

(4)中值定理设函数f(x,y)在闭区域D上连续,其中σ为区域D的面积,则在D上至少存在一点(,),使ξηf(x,y)d(,)·σσ=fξηD

(5)二重积分的计算

1)利用直角坐标计算二重积分f(x,y)df(x,y)dxdyσ=DD

a)若区域D是X型区域,则D可以用不等式{(x)≤y(x)φ≤φ12来表示,则

a≤x≤b

(x)φ2

(x)φ1Df(x,y)dxdy=dxa(x,y)dy∫∫fb

—53—

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(y)≤x(y)ψ≤ψ12来表示,则b)若区域D是Y型区域,则D可以用不等式

c≤y≤d{

Df(x,y)dxdy=dyc(x,y)dx∫∫f(y)ψ1d(y)ψ2

c)若区域D即不是X型区域,也不是Y型区域,则用分块可加性,将D分成若干个X型区域和Y型区域上的积分之和.

【例2】 计算下列二重积分

222I=(x+y)d其中D为y=x,y=0,x=1所围平面区域σ,

12x

D2622解 原式=dx(x+y)dy=01050∫∫

∫0222d其中D:x+y=8,y=0,y=1,y=2x所围成平面区域I=xσ,yy解 原式=d21-y457xdx120

-yI=ed其中D:y=x,y=1,x=0所围成平面区域σ,

12

21-y解 原式=dyedx=yedye00020∫∫1y2-y∫12-y

-11-e2

2)利用极坐标计算二重积分

a)若积分区域可用不等式

则f(x,y)df(rcos,rsin)rdrdσ=θθθDD{

{()≤r()φθ≤φθ12来描述,α≤θ≤ββ()φ2θ

()φ1θαf(rcos,rsin)rdrdd(rcos,rsin)rdrθθθ=∫θθθ∫fD

(r)≤θ(r)φ≤φ12b)若积分区域可用不等式来描述,

a≤r≤b

则f(rcos,rsin)rdrddr(rcos,rsin)rdθθθ=∫θθθ∫f

Da(r)φ1b(r)φ2

222222【例3】 I=(x+y)d其中D为aσ,≤x+y≤b所围平面区域

D

a解 I=πddb-a)θρρρ=(∫∫2244

02π

【例4】 计算I=解 I=π-x-yd其中D:x+y=Rx所围成平面区域σ,22D∫0dθRcosθ022-ρdρρ=Rπ69()

—54—

《微积分》考点精讲

3)利用对称性计算二重积分

i.D关于x轴对称,D则≥0,1表示D的y

a)如果f(x,-y)=-f(x,y),则

b)如果f(x,-y)=f(x,y),则f(x,y)dσ=0Df(x,y)df(x,y)dσ=2σDD1

ii.D关于y轴对称,D则≥0,1表示D的x

a)如果f(-x,y)=-f(x,y),则

b)如果f(-x,y)=f(x,y),则f(x,y)dσ=0DD1f(x,y)df(x,y)dσ=2σD

【例5】 设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D1是D的第一象限部分,则(xy+cosxsiny)dxdy等于D

A.2cosxsinydxdy   B.2xydxdy   C.4(xy+cosxsiny)dxdy   D.0D1D1D1

答:选A.

2x+y22【例6】 计算I=(x+xye)d其中a)D:x+yb)D为y=x,y=-1,x=1所围σ,≤1,

D22

成平面区域

解 a)原式=

b)原式=12xdσ2D1

-122x+y≤12122x-cydσ2132-1∫∫02π1π2ddθρρρ042xddxxdy=∫x+xdxσ=∫∫32

D-1x

3【例7】 设f(t)为连续函数,D为y=x,y=1,x=-1所围成平面区域,计算

22[1+yf(x+y)]dI=xσ

12dx3xdy-1x51解 I=Dxdσ=∫∫

2222222【例8】 I=(x+y)dxdy,D:x+yI=(x+y)dxdy≤R,

DD

(x+y+1)dxdy2

Dxdxdy2D

 22xy22)dxdyabD解 πx+ydxdy=∫ddRθρρρ∫2222D002222πR4(x+y+1)dx+y+1+2x+2y+2xydσ=σDD

=D22x+y+1dσ=π42222x+ydRR+Rσ+ππ2D

—55—

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14222xdxdyx+ydσR2D4D

22x111ydσ22222abab()11π4111π422RRx+yd=σ2222224abab()()DD

【例9】 D:(x-1)2+(y-1)2≤1,(x+y+1)dxdy=

解 xdσ=x·s(D)=π

同理 ydσ=π

x+y+1dσ=π+π+1dσ=3π

DD

6.二重积分中的题型

1)交换积分次序

【例10】 计算二次积分I=∫2

1dxxiπx42dy+dxiπx2y∫2dy2y

解 原式=∫2y2

1dy∫siπxdσy2y

【例11】 交换二次积分的积分次序:∫0

-1dx∫1-x2f(x,y)dy

01-y02解 ∫-1dx∫2f(x·y)dy=∫1dx∫1-x-f(x,y)dy

∫20=1dy∫1-y-f(x,y)dx

=∫21-y

1dy∫0f(x,y)dx

22【例12】 计算∫0dx∫xe-y2dy

2y解 交换积分次序得原式=∫0dy∫e-y20dx=∫20ye-y2dy

=1-y2

2e

1-

21-e4)

11【例13】 计算∫0dyx-ydx

解 交换积分次序

1x原式=∫dxx-y1dy=πx2

0004dxπ

12

2)直极相互转化【例14】 将下列极标下的二次积分化为直标下的二次积分π∫secθ

0dθ0f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ—56—

《微积分》考点精讲

解 原式=

∫∫001dxf(x,y)dyxdsindθθρ=∫ρ002cosθ

解 原式=dx∫002x-xyyx+y3)分段函数的二重积分

max{x,y}【例15】 计算I=edxdy,其中D={(x,y)|0≤x,0≤y}≤1

考试点白云霄桑园20xx考研数学微积分考点精讲与过关习题数三

≤1

D

222解 原式==D11

0xedxdy+x2Dyedxdy1y2∫∫0

Dxdxedy+∫∫00ydyedx2=e-12222【例16】 计算I=(|x+y-4|)dxdy,其中D={(x,y)|x+y}≤9

2解 原式=

=22x+y≤4y-4dσ+x+σ4-x-yd222224+y≤x≤9∫∫002πd4-dθ(ρ)ρφ+22∫∫022π2d4)dθ(ρ-ρρ3

41π2

22【例17】 计算I=xy[x+y+1]dxdy,其中

D

222222D={(x,y)|x+yx,y},[x+y+1]表示不超过x+y+1的最大整数.≤≥0≥0

解 原式=∫00πdcosv·esind+θeθρρ13dcossindθ2ρθρθρρ108π6.二重积分的应用

1).空间曲面的面积

设曲面S由方程z=f(x,y)给出,D为曲面S在xOy面上的投影区域,函数f(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则曲面面积A=2).平面薄片的质心

设平面薄片占有xOy平面上的闭区域D,在点(x,y)处面密度为ρ(x,y),假定ρ(x,y)在D上连

x(x,y)dy(x,y)dρσρσ续,则薄片的重心坐标为,x=,y=

(x,y)d(x,y)dρσρσDD

DD1+)+)dσxy22D

特别地,若ρ(x,y)为常数,则平面图形的形心坐标为x=

其中A为D的面积.

—57—11xd,y=ydσσ,ADAD

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