第一章 函数
一、本章提要
基本概念
函数,定义域,单调性,奇偶性,有界性,周期性,分段函数,反函数,复合函数,基本初等函数,初等函数
第二章 极限与连续
一、本章提要
1.基本概念
函数的极限,左极限,右极限,数列的极限,无穷小量,无穷大量,等价无穷小,在一点连续,连续函数,间断点,第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点),第二类间断点.
2.基本公式
(1) ,
(2) (代表同一变量).
3.基本方法
⑴ 利用函数的连续性求极限;
⑵ 利用四则运算法则求极限;
⑶ 利用两个重要极限求极限;
⑷ 利用无穷小替换定理求极限;
⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限;
⑹ 利用分子,分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限;
⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限;
⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.
4.定理
左右极限与极限的关系,单调有界原理,夹逼准则,极限的惟一性,极限的保号性,极限的四则运算法则,极限与无穷小的关系,无穷小的运算性质,无穷小的替换定理,无穷小与无穷大的关系,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质.
第三章 导数与微分
一、本章提要
1.基本概念
瞬时速度,切线,导数,变化率,加速度,高阶导数,线性主部,微分.
2.基本公式
基本导数表,求导法则,微分公式,微分法则,微分近似公式.
3.基本方法
⑴ 利用导数定义求导数;
⑵ 利用导数公式与求导法则求导数;
⑶ 利用复合函数求导法则求导数;
⑷ 隐含数微分法;
⑸ 参数方程微分法;
⑹ 对数求导法;
⑺ 利用微分运算法则求微分或导数.
第四章 微分学的应用
一、本章提要
1. 基本概念
未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线.
2. 基本方法
⑴ 用洛必达法则求未定型的极限;
⑵ 函数单调性的判定;
⑶ 单调区间的求法;
⑷ 可能极值点的求法与极大值(或极小值)的求法;
⑸ 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法;
⑹ 求实际问题的最大(或最小)值的方法;
⑺ 曲线的凹向及拐点的求法;
⑻ 曲线的渐近线的求法;
⑼ 一元函数图像的描绘方法.
3. 定理
柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则.
第五章 不定积分
一、 本章提要
1. 基本概念
原函数,不定积分.
2.基本公式
不定积分的基本积分公式(20个);分部积分公式.
3.基本方法
第一换元积分法(凑微分法);第二换元积分法;分部积分法;简单有理函数的积分方法.
第六章 定积分
一、本章提要
1.基本概念
定积分,曲边梯形,定积分的几何意义,变上限的定积分,广义积分,无穷区间上的广义积分,被积函数有无穷区间断点的广义积分.
2.基本公式
牛顿-莱布尼茨公式.
3.基本方法
积分上限函数的求导方法,直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法,借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法,两类广义积分的计算方法.
4.定理
定积分的线性运算性质,定积分对积分区间的分割性质,定积分的比较性质,定积分的估值定理,定积分的中值定理,变上限积分对上限的求导定理.
第七章 定积分的应用
一、本章提要
1.基本概念
微元法,面积微元,体积微元,弧微元,功微元,转动惯量微元,总量函数.
2. 基本公式
平面曲线弧微元分式.
3.基本方法
(1)用定积分的微元法求平面图形的面积,
(2)求平行截面面积已知的立体的体积,
(3)求曲线的弧长,
(4)求变力所作的功,
(5)求液体的侧压力,
(6)求转动惯量,
(7)求连续函数f(x)在区间上的平均值,
(8)求平面薄片的质心,也称重心.
第八章 常微分方程
一、本章提要
1. 基本概念
微分方程,常微分方程,微分方程的阶数,线性微分方程,常系数线性微分方程,通解,特解,初始条件,线性相关,线性无关,可分离变量的方程,齐次线性方程,非齐次线性方程,特征方程,特征根.
2. 基本公式
一阶线性微分方程 的通解公式:
.
3. 基本方法
分离变量法,常数变易法,特征方程法,待定系数法,降阶法.
4. 定理
齐次线性方程解的叠加原理,非齐次线性方程解的结构.
第九章 空间解析几何
一、本章提要
1.基本概念
空间直角坐标系,向量,向量的模,单位向量,自由向量,向径,向量的坐标与分解,向量的方向余弦,向量的点积与叉积,平面的点法式与一般式方程,直线的点向式及一般式方程,球面,柱面,旋转面,二次曲面,空间曲线在坐标面上的投影,失函数的导数,失函数的积分.
2.基本公式
两点间的距离公式,向量模与方向余弦公式,点积与叉积坐标公式,点到平面的距离公
式,平面与直线间的夹角公式.
3.方程
直线的点向式方程,直线的参数方程,直线的一般式方程,平面的点法式方程,平面的一般式方程.
第十章 多元函数微分学
一、本章提要
1.基本概念
多元函数,二元函数的定义域与几何图形,多元函数的极限与连续性,偏导数,二阶偏导数,混合偏导数,全微分,切平面,多元函数的极值,驻点,条件极值,方向导数,梯度.
2.基本方法
二元函数微分法:利用定义求偏导数,利用一元函数微分法求偏导数,利用多元复合函数求导法则求偏导数.
隐函数微分法:拉格朗日乘数法.
3.定理
混合偏导数与次序无关的条件,可微的充分条件,复合函数的偏导数,极值的必要条件,极值的充分条件.
第十一章 多元函数积分学
一、本章提要
1. 基本概念
二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分,微元法,柱面坐标系,球面坐标系,积分与路径无关.
2. 基本公式
(1) 格林公式:;
(2) 高斯公式:.
3. 基本方法
将二重积分化为二次积分,关键是确定积分的上下限:有直角坐标系下的计算方法和极坐标系下的计算方法;计算三重积分,有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法;计算对坐标的曲线积分,有基本法,格林公式法,与路径无关法;计算对坐标的曲面积分,有对坐标的曲面积分法,高斯公式法.
4. 定理
格林公式定理,积分与路径无关定理,高斯公式定理.
第十二章 级数
一、本章提要
1.基本概念
正项级数,交错级数,幂级数,泰勒级数,麦克劳林级数,傅里叶级数,收敛,发散,绝对收敛,条件收敛,部分和,级数和,和函数,收敛半径,收敛区间,收敛域.
2.基本公式
在处的泰勒级数系数:,;
(2)傅里叶系数:
.
3.基本方法
比较判别法,比值判别法,交错级数判别定理,直接展开法,间接展开法.
4.定理
比较判别定理,比值判别定理,交错级数判别定理,求收敛半径定理,幂级数展开定理,傅里叶级数展开定理.