平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量:既有大小又有方向的量。记作:或。
2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:或。
3.单位向量:长度为1的向量。若是单位向量,则。
4.零向量:长度为0的向量。记作:。【方向是任意的,且与任意向量平行】
5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。
6.相等向量:长度和方向都相同的向量。
7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。。
8.三角形法则:
;;(指向被减数)
9.平行四边形法则:
以为临边的平行四边形的两条对角线分别为,。
10.共线定理:。当时,同向;当时,反向。
11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模:若,则,,
13.数量积与夹角公式:;
14.平行与垂直:;
题型1.基本概念判断正误:
(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。
(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。
(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是。
(5)若,则A、B、C、D四点构成平行四边形。
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。
(7)若与共线, 与共线,则与共线。
(8)若,则。
(9)若,则。
(10)若与不共线,则与都不是零向量。
(11)若,则。
(12)若,则。
题型2.向量的加减运算
1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 。
2.化简 。
3.已知,,则的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知的和向量,且,则 , 。
5.已知点C在线段AB上,且,则 , 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算:(1) (2)
2.已知,则 。
题型4.作图法球向量的和
已知向量,如下图,请做出向量和。
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在中,是的中点,请用向量表示。
2.在平行四边形中,已知,求。
题型6.向量的坐标运算
1.已知,,则点的坐标是 。
2.已知,,则点的坐标是 。
3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为 。
4.已知,,求,,。
5.已知,向量与相等,求的值。
6.已知,,,则 。
7.已知是坐标原点,,且,求的坐标。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:
A. B. C. D.
2.已知,能与构成基底的是( )
A. B. C. D.
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知是坐标原点,点在第二象限,,,求的坐标。
2.已知是原点,点在第一象限,,,求的坐标。
题型9.求数量积
1.已知,且与的夹角为,求(1),(2),
(3),(4)。
2.已知,求(1),(2),(3),(4)。
题型10.求向量的夹角
1.已知,,求与的夹角。
2.已知,求与的夹角。
3.已知,,,求。
题型11.求向量的模
1.已知,且与的夹角为,求(1),(2)。
2.已知,求(1),(5),(6)。
3.已知,,求。
题型12.求单位向量 【与平行的单位向量:】
1.与平行的单位向量是 。
2.与平行的单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知,,当为何值时,(1)?(2)?
2.已知,,(1)为何值时,向量与垂直?
(2)为何值时,向量与平行?
3.已知是非零向量,,且,求证:。
题型14.三点共线问题
1.已知,,,求证:三点共线。
2.设,求证:三点共线。
3.已知,则一定共线的三点是 。
4.已知,,若点在直线上,求的值。
5.已知四个点的坐标,,,,是否存在常数,使成立?
题型15.判断多边形的形状
1.若,,且,则四边形的形状是 。
2.已知,,,,证明四边形是梯形。
3.已知,,,求证:是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内,,求证:是等腰直角三角形。
题型16.平面向量的综合应用
1.已知,,当为何值时,向量与平行?
2.已知,且,,求的坐标。
3.已知同向,,则,求的坐标。
3.已知,,,则 。
4.已知,,,请将用向量表示向量。
5.已知,,(1)若与的夹角为钝角,求的范围;
(2)若与的夹角为锐角,求的范围。
6.已知,,当为何值时,(1)与的夹角为钝角?(2)与的夹角为锐角?
7.已知梯形的顶点坐标分别为,,,且,,求点的坐标。
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,,,求第四个顶点的坐标。
9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成角,求水流速度与船的实际速度。
10.已知三个顶点的坐标分别为,,,
(1)若,求的值;(2)若,求的值。
【备用】
1.已知,求和向量的夹角。
2.已知,,且,,求的夹角的余弦。
1.已知,则 。
4.已知两向量,求当垂直时的x的值。
5.已知两向量,的夹角为锐角,求的范围。
变式:若,的夹角为钝角,求的取值范围。
选择、填空题的特殊方法:
1.代入验证法
例:已知向量,则( )
A. B. C. D.
变式:已知,请用表示。
2.排除法
例:已知M是的重心,则下列向量与共线的是( )
A. B. C. D.
广东省近八年高考试题-平面向量(理科)
1.(2007年高考广东卷第10小题)
若向量、满足||=||=1,与的夹角为,则 .
2.(2008年高考广东卷第3小题)
3.已知平面向量=(1,2),=(-2,m),且∥,则2 + 3 =( )
A. (-5,-10) B. (-4,-8) C. (-3,-6) D. (-2,-4)
4.(2009年高考广东卷第3小题)
已知平面向量a= ,b=, 则向量 =( )
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
5. (2010年高考广东卷第5小题)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件 (8-)·=30,则= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6.(2011年高考广东卷第3小题)已知向量.若为实数, ( )
A. B. C.1 D. 2
7.(2012年高考广东卷第3小题)
8.若向量,,则( )
A. B. C. D.
9.(2012年高考广东卷第8小题)对任意两个非零的平面向量,定义.若平面向量满足,与的夹角,且和都在集合中,则
A. B. C. D.
10.(2014广东省高考数学理科12)已知向量则下列向量中与成夹角的是
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
第二篇:高中数学必修四指数与指数幂的运算(1)教案 知识点总结 典型例题 练习
指数与指数幂的运算(1)
教学重点:分数指数幂和根式概念的理解,掌握并运用分数指数幂的运算性质;
教学难点:运用有理指数幂性质进行化简、求值,有理指数幂性质的灵活应用
一、知识要点归纳讲解
1、n次方根
【问题思考】:
(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?
(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?
(4)可否用一个式子表达呢?
【解答】:
(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4
3的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x=a,则x叫做a的立方根,一个数的立
方根只有一个,如:-8的立方根为-2.
(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.
(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.
【n次方根的意义】:一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.
2、n次方根的性质
【问题思考】:
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?
①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32
6的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a的立方根.
(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?
(3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?
【解答】:
(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.
(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总之,这些数包括正数,负数和零.
(3)一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反
数.0的任何次方根都是0.
(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.
类比平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:
①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,如果是负数,负的n次方根用?a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±a(a>0).
②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号a表示.
③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零.
上面的文字语言可用下面的式子表示:
??n为奇数,a的na,a为正数:? ??n为偶数,a的n次方根有两个为?a.
?a,?n为奇数,a的na为负数:? ?n为偶数,a的n次方根不存在.?
零的n次方根为零,记为0=0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.
【问题思考】:根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?
【解答】:(答案不唯一),比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为?27,而-27的4次方根不存在等.其中?27也表示方根,它类似于a的形式,现在我们给式子a一个名称——根式.
3、根式
【根式的概念】:式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.如?27中,3叫根指数,-27叫被开方数.
【问题思考】:an表示an的n次方根,等式an=a一定成立吗?如果不一定成立,那么an等于什么? 〔如3(?3)3=?27=-3,(?8)4=|-8|=8〕.
【解答】:根据n次方根的意义,可得:(a)n=a.
a?0,?a,通过探究得到:n为奇数,an=a. n为偶数,an=|a|=?
??a,a?0.
因此我们得到n次方根的运算性质: ①(a)n=a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数.
②n为奇数,an=a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数.
a?0,?a,n为偶数,an=|a|=a,?先偶次乘方,再开方(同次),结果为被
??a,a?0.
开方数的绝对值.
二、应用例题
【例1】:求下列各式的值: (1)3(?8)3;(2)(?10)2;(3)(3??)4;(4)(a?b)2(a>b).
·变式训练1:求出下列各式的值: (1)7(?2)7; (2)3(3a?3)3(a≤1); (3)(3a?3)4.
【例2】:下列各式中正确的是( ) (1)a4=a; (2)(?2)2=?2; (3)a0=1; (4)(2?1)5=(2?1).
·变式训练2:若a2-2a?1=a-1,求a的取值范围.
【例3】:3?22+3?22=_________
·变式训练3:
1.以下说法正确的是( )
A.正数的n次方根是一个正数 B.负数的n次方根是一个负数
C.0的任何次方根都是零 D.a的n次方根用a表示(以上n>1且n∈N*).
2.化简下列各式:
(1)64;(2)(?3)2;(3)x8;(4)x6y3;(5)(x-y)2.
3.计算7?40?7?40=__________.
·拓展提升:
【例4】an=a与(a)n=a(n>1,n∈N)哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.
三、课堂小结
1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1且n∈N*.用式子a表示,式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.
(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,如果是负数,负的n次方根用-a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±a(a>0).
(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号a表示.
(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.
a?0,?a,2.掌握两个公式:n为奇数时,(a)n=a,n为偶数时,an=|a|=? ??a,a?0.
·【知识要点归纳】
1、n次方根
【问题思考】:
(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?
(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?
(4)可否用一个式子表达呢?
【解答】:
(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.
(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.
(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.
【n次方根的意义】:一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.
2、n次方根的性质
【问题思考】:
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?
①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.
(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?
(3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?
【解答】:
(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.
(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总之,这些数包括正数,负
数和零.
(3)一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.
(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.
类比平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:
①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,如果是负数,负的n次方根用?a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±a(a>0).
②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号a表示.
③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零.
上面的文字语言可用下面的式子表示:
??n为奇数,a的na,a为正数:? ??n为偶数,a的n次方根有两个为?a.
?a,?n为奇数,a的na为负数:? ?.?n为偶数,a的n次方根不存在
零的n次方根为零,记为0=0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.
【问题思考】:根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?
【解答】:(答案不唯一),比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为?27,而-27的4次方根不存在等.其中?27也表示方根,它类似于a的形式,现在我们给式子a一个名称——根式.
3、根式
【根式的概念】:式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.如?27中,3
叫根指数,-27叫被开方数.
【问题思考】:an表示an的n次方根,等式an=a一定成立吗?如果不一定成立,那么an等于什么? 〔如(?3)3=?27=-3,(?8)4=|-8|=8〕.
【解答】:根据n次方根的意义,可得:(a)n=a.
a?0,?a,通过探究得到:n为奇数,an=a. n为偶数,an=|a|=?
??a,a?0.
因此我们得到n次方根的运算性质: ①(a)n=a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数.
②n为奇数,an=a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数.
a?0,?a,n为偶数,a=|a|=a,?先偶次乘方,再开方(同次),结果为被?a,a?0.?n
开方数的绝对值.
·【应用例题】
【例1】:求下列各式的值: (1)(?8)3;(2)(?10)2;(3)(3??)4;(4)(a?b)2(a>b).
分析:求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.
解:(1)(?8)3=-8; (2)(?10)2=10; (3)(3??)4=π-3; (4)(a?b)2=a-b(a>b).
点评:不注意n的奇偶性对式子an的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.
·变式训练1:求出下列各式的值: (1)(?2)7; (2)(3a?3)3(a≤1); (3)(3a?3)4.
解:(1)(?2)7=-2, (2)(3a?3)3(a≤1)=3a-3,
?3a?3,a?1,(3)(3a?3)4=?
?3?3a,a?1.
点评:本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论,造成错解.
【例2】:下列各式中正确的是( ) (1)a4=a; (2)(?2)2=?2; (3)a0=1; (4)(2?1)5=(2?1). 分析:本题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.
解:(1)a4=a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写an=|a|,故本题错. (2)(?2)2=?2,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为6(?2)2=2,故本题错.
(3)a0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.
(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选
(4).
点评:本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.
·变式训练2:若a2-2a?1=a-1,求a的取值范围.
解:因为a2-2a?1=a-1,而a2-2a?1=(a?1)2=|a-1|=a-1,
即a-1≥0,所以a≥1.
点评:利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.
【例3】:3?22+3?22=_________
分析:这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式. 解:3?22=?22?(2)2=(1?2)2=2+1.
3?22=(2)2?22?1=(?1)2=2-1. 所以3?22+3?22=22.
点评:不难看出3?22与3?22形式上有些特点,即是对称根式,是A?2B形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.
思考:上面的例2还有别的解法吗?
去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.
另解:利用整体思想,x=3?22+3?22,两边平方得:
x2=3+22+3-22+2(3?22)(3?22)=6+232?(22)2=6+2=8,所以x=22.
点评:对双重二次根式,特别是A?2B形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对A?2B?A?2B的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.
·变式训练3
1.以下说法正确的是( ) 答案:C
A.正数的n次方根是一个正数 B.负数的n次方根是一个负数
C.0的任何次方根都是零 D.a的n次方根用a表示(以上n>1且n∈N*).
2.化简下列各式: (1);(2)(?3)2;(3)x8;(4)x6y3;(5)(x-y)2.
答案:(1)2;(2);(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|.
3.计算7?40?7?40=__________. 解:7?40?7?40 =()2?25?2?(2)2?(5)2?2?2?(2)2 =(?2)2?(?2)2 =+2+-?2
=2.
·拓展提升:
【例4】an=a与(a)n=a(n>1,n∈N)哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.
解答:①(a)n=a(n>1,n∈N).
如果xn=a(n>1,且n∈N)有意义,则无论n是奇数或偶数,x=a一定是它的一个n次方根,所以(a)n=a恒成立.例如:()4=3,(?5)3=-5. ?a,当n为奇数,②an=?
?|a|,当n为偶数.
当n为奇数时,a∈R,an=a恒成立.例如:25=2,5(?2)5=-2.
当n为偶数时,a∈R,an≥0,an表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么an=a.例如34=3, 0=0;如果a<0,那么an=|a|=-a,如(-3)2=32=3. 即(ana)n=a(n>1,n∈N)是恒等式,an=a(n>1,n∈N)是有条件的. 点评:实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解. ·【课后作业】
1.化简下列各式: (1); (2)?32; (3)x8; (4)a2b4.
2.若5<a<8,则式子(a?5)2?(a?8)2的值为__________.
3.5?26?5?26=__________.