第一章 集合与函数概念
一:集合的含义与表示
1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东 西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属
于。
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
3、集合的表示:{…}
(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}
b、描述法:
①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
6、集合间的基本关系
(1).“包含”关系(1)—子集
定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含
关系,称集合A是集合B的子集。记作:A?B(或B?A)
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分;
(2)A与B是同一集合。
?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?
(2).“包含”关系(2)—真子集
如果集合A?B,但存在元素x?B且x¢A,则集合A是集合B的真子集
如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)读作A真含与B
(3).“相等”关系:A=B
“元素相同则两集合相等”
如果A?B 同时 B?A 那么A=B
(4). 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
(5)集合的性质
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②如果 A?B, B?C ,那么 A?C
③如果AB且BC,那么AC
④有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
7、集合的运算
二、函数的概念
1. 函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使
对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函
数的值域.
2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则
3. 函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域
(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可
以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定
义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数
值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
(2) 画法
A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平移。
(3)函数图像平移变换的特点:
1)加左减右——————只对x
2)上减下加——————只对y
3)函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)
4)函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)
5)函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)
6)函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得 函数y=| f(x)|
7)函数y=f(x) 先作x≥0的图像,然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)
三、函数的基本性质
1、函数解析式子的求法
(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系
时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致 (两点必须同时具备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
5、值域 (先考虑其定义域)
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y
的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类
型。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
7.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射,而映射不一定的函数
8、函数的单调性(局部性质)及最值
(1)、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单
调不减两种
(2)、 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间
上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3)、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ○
2 作差f(x1)-f(x2); ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数:如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
9:函数的奇偶性(整体性质)
(1)、偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则
是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断;
b、确定f(-x)与f(x)的关系;
c、作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
a、复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
10、函数最值及性质的应用
(1)、函数的最值
a 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
b 利用图象求函数的最大(小)值
c 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
(2)、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
(3)、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法
是与0作比较,作商法是与1作比较。
(4)、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。
(5)、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0
并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数
1、 指数与指数幂的运算:
复习初中整数指数幂的运算性质:
am*an=am+n
(am)n=amn
(a*b)n=anbn
2、根式的概念:一般地,若xn?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数。此时,a的n次方根用符号 表示。
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示,负的n的次方根用符号 表示。正的n次
方根与负的n次方根可以合并成 (a>0)。
注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0?0。
当n是奇数时,an?a,当n是偶数时,an?|a|??
?a(a?0)
??a(a?0)
式子a 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。
3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的
a?am(a?0,m,n?N*,n?1),a
mn
?mn
?
1a
mn
?
1
am
(a?0,m,n?N*,n?1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4、 有理数指数米的运算性质 (1)a·a
r
r
?ar?s
(a?0,r,s?R); (a?0,r,s?R);
rsrs(a)?a(2) rrs(ab)?aa (3)
(a?0,r,s?R).
5、无理数指数幂
一般的,无理数指数幂aa(a>0,a是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
(二)、指数函数的性质及其特点
1、指数函数的概念:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变
量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.为什么?
2、指数函数的图象和性质
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];
(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;
(3)对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1),总有f(1)?a;
(4)当a>1时,若X1<X2 ,则有f(X1)<f(X2)。
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果ax?N(a?0,a?1),那么数x叫做以.a为底..N的对数,
记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式)
说明:○1 注意底数的限制a?0,且a?1;
2 ax?N?logaN?x; ○
3 注意对数的书写格式:logaN ○
两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○
2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○
(二)对数的运算性质
如果a?0,且a?1,M
2 ○M?logaMN?0,N?0,那么: 1 loga(M·N)?logaM+logaN; ○loga-logaN;
(n?R). 3 logaMn?nlogaM ○
注意:换底公式
logab?
logcb
(a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0). logca
1n
logab;(2)logab?mlogba
利用换底公式推导下面的结论 (1)loga
n?mb
.
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,
函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y?2log2x,y?log5x
5
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1). ○
2、对数函数的性质:
三、幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数. 2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当?
?1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;
(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右
边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
第三章 函数的应用
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点.
3、函数零点的求法:
(1)(代数法)求方程 的实数根;
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点. (二次函数、二次方程及二次不等式可见文库)