组  合⑶

课题：组合、组合数的综合应用⑴

目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．

过程：

一、知识复习：

 1．复习排列和组合的有关内容：

    依然强调：排列——次序性；组合——无序性．

2．排列数、组合数的公式及有关性质

      性质1：    性质2：＝+

      常用的等式：

   3．练习：处理《教学与测试》76课例题

二、例题评讲：

例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．

⑴ 都不是次品的取法有多少种？

⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？

⑶ 不都是次品的取法有多少种？

 解：⑴ ；

⑵ ；

⑶ ．

例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

   解：分为三类：1奇4偶有 ；3奇2偶有；5奇1偶有

       所以一共有++．

例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻

译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

      ① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；

② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；

③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有．

    所以一共有++＝42种方法．

例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？

   解法一：（排除法）

   解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有．所以一共有+＝42种方法．

例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

     解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法．根据分步计数原理，一共有＝1800种方法．

  变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？

变题2： 5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？

  变题3： 5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？

     答案：1．； 2．； 3．．

三、小结：1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质；

          2．组合的应用：分清是否要排序．

四、作业：《3+X》 组合基础训练

《课课练》课时10 组合四

第二篇：20xx(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法

排列组合常用的解题方法

一、相邻问题捆绑法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么

不同的排法种数有 种。

分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人

4

的全排列，A4?24种。

二、相离问题插空法

元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的

种数是 。

52

分析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A652种，不同的排法种数是A5A6?3600种。

三、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。

分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元

15

?60种。 素全排列数的一半，即A5

2

四、标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．

例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。

五、有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。 例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。

分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有

211C10C8C7?2520种。

六、多元问题分类法

元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。

例6 由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。

分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有

113113113135

个，A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个。 A5

七、交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)。

例 9 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？

分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(种)． 八、定位问题优先法

某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。

例10 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______ _种。

14

分析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A414种方法；所以共有A3A4?72种。

九、多排问题单排法

把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。

例11 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。

分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排

6

成一排，共A6?720种。

例12 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？

2

分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某11个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上1255有A5种，故共有A4A4A5?5760种排法。

十、“至少”问题间接法

关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。 例13 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。

分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种

333

型号的电视机，故不同的取法共有C9?C4?C5?70种。

分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；

2112甲型2台乙型1台；故不同的取法有C5C4?C5C4?70种。

十一、选排问题先取后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种

2

分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在233四个盒中每次排3个有A4种，故共有C4A4?144种。

例15 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？

22

分析：先取男女运动员各2名，有C52C4种，这四名运动员混和双打练习有A2222中排法，故共有C5C4A2?120种。

十二、部分合条件问题排除法

在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。

例16 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。 分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有

C84?12?58个。

例17 四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种。

4

分析：10个点中任取4个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：①在44四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C6，四个面共有4C6个；②过空

间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6

44个；所以四点不共面的情况的种数是C10?4C6?3?6?141种。

十三、复杂排列组合问题构造模型法

例18马路上有编号为1，2，3?9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

分析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮

3

的灯C5种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决。

十四、利用对应思想转化法

例19 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 分析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的

4

10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C10个，所以圆周上有10点，以4这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个。

解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握更多的解题技巧。

编辑人：刘金盟

一、相邻问题捆绑法

例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么

不同的排法种数有 种。 二、 相离问题插空法

例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。 三、定序问题缩倍法

例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。 四、标号排位问题分步法

例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

五、有序分配问题逐分法

例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。

六、多元问题分类法

例6 由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。

七、交叉问题集合法

例 7 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？

八、定位问题优先法

例8 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______ _种。

九、多排问题单排法

例9 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。

十、“至少”问题间接法

例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。

十一、选排问题先取后排法

例11 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种

十二、部分合条件问题排除法

例12 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。 十三、复杂排列组合问题构造模型法

例13 马路上有编号为1，2，3?9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

十四、利用对应思想转化法

例14 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？