高考双曲线知识点归纳
2．双曲线的标准方程及其几何性质
3.等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其标准方程为
，离心率为 
，渐近线方程为
（互相垂直）
4.共轭双曲线：双曲线
的共轭双曲线是
，性质如下：
⑴双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；
⑵双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距，四焦点共圆；
⑶双曲线与它的共轭双曲线离心率分别为
,则有
和
.
5.双曲线系:
⑴与双曲线共渐近线的双曲线系方程为
,它们的渐近线为
⑵与双曲线共焦点的双曲线系方程为
6.点与双曲线的位置关系
⑴点P
在双曲线内
⑵点P在双曲线上
⑶点P在双曲线外
7.直线与双曲线的位置关系
可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于X（或Y）的一元二次(或一元一次)方程的解来判定。
直线与双曲线相交
；
直线与双曲线相切 
(只有一个公共点)；
直线与双曲线相离
(无公共点)。
若
为双曲线
的弦,
,弦中点
①弦长
②
③直线的方程为:
④直线的垂直平分线方程为: 
8.焦点三角形：双曲线上的点
与两焦点构成的的三角形称为焦点三角形。
，
,
⑴
⑵
双曲线典型题专练
双曲线定义
2． 若
，则“
”是“方程
表示双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知
是双曲线
右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为
. 设
分别为
双曲线的左、右焦点. 若
，则
4．已知点
，
，
，动圆
与直线
切于点
，过
、
与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
．
． 
．
．
6．以知F是双曲线
的左焦点，
是双曲线右支上的动点，则
的最小值为
7．P为双曲线
右支上一点，M、N分别是圆
上的点，则|PM|-|PN|的最大值为
8．若方程
所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1<t<4; ②若C为双曲线，则t>4或t<1；
③曲线C不可能是圆； ④若C表是椭圆，且长轴在x轴上，
其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）。
几何性质
11.已知双曲线
和椭圆
有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
12.已知F1、F2分别为双曲线C: 
- 
=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| =
14.设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足
：
：
=4：3:2，则曲线I的离心率等于
A．
B．
C．
D．
17.已知椭圆
（a＞b＞0）与双曲线
有公共的焦点
，C2的一条渐近线与C1C2的长度为直径的圆相交于
两点.若C1恰好将线段三等分，则
（A） a2 =
（B） a2=13 （C） b2=
(D) b2=2
18．已知双曲线
的两条渐近线的夹角为
，则双曲线的离心率为 （ ）
A．
B．
C．
D．2
19.设
，则双曲线
的离心率
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
20.设
和
为双曲线
(
)的两个焦点, 若
，
是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．3
23.设双曲线
的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、．若△
为正三角形，则该双曲线的离心率为 （ ）
A.
B. C. D.
24．已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为，点在椭圆上，且
轴， 直线交
轴于点．若
，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
25.已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
，其一条渐近线方程为
，点
在双曲线上.则
·
＝( )
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
26．设O为坐标原点，
,
是双曲线
（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=
,则该双曲线的渐近线方程为
（A）x±y=0 （B）x±y=0 （C）x±
=0 （D）
±y=0
27.已知双曲线
（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A．（1，2） B．（－1，2） C．（2，+∞） D．
28．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为
，若双曲线上有一点M（
），使
，那么双曲线的交点（ ）
A.在
轴上 B.在轴上 C.当
时在轴上 D.当
时在轴上
29．若方程
的两根分别为椭圆，双曲线的离心率，则
的取值范围是_______________
焦点三角形及直线与双曲线
31．无论
为任何实数，直线
与双曲线
恒有公共点，则双曲线C的离心率为_______________
32．直线
与双曲线
交于不同两点，则直线
的倾斜角的范围是_______________
33．设圆
的圆心在双曲线
的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线
截得的弦长等于
，则
的值为（ ）
A．
B．
C． D．
34．若椭圆
与双曲线
均为正数）有共同的焦点
，
，
是两曲线的一个公共点，则
等于_______________
35．设
是双曲线
的两个焦点，P在双曲线上，当
的面积为1时，
的值等于
36．设、分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足
，且到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
37．点P是双曲线
与圆
的一个交点，且
其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为______________
38．设是双曲线
的两个焦点，P在双曲线的右支上，且
，则双曲线离心率的最大值为______________
39．P为双曲线
-
=1（a,b>0）右支上一点，F1，F2分别是左右焦点，且焦距为2c，则△F1PF2的内切圆圆心的横坐标为______________
40.在平面直角坐标系中,对于双曲线,有下面四个结论:①存在这样的点M,使得过M的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点；②存在这样的点M,使得过点M可以作两条直线与双曲线有且只有一个公共点；③不存在这样的点M,使得过点M可以作三条直线与双曲线有且只有一个公共点；④存在这样的点M,使得过点M可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点；这四个结论中，正确的有________________
41．过已知双曲线C：
的一个焦点作直线
与C交于A、B两点，若|AB|=
，根据的大小判断直线可能的条数：（1）若
，则这样的直线 ；（2）若
，则这样的直线 ；（3）若
，则这样的直线 。（4）若d=2时则这样的直线有 ；（5）若d=6时则这样的直线
42．已知
是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线
的斜率乘积
，则该双曲线的离心率为 。
43．过双曲线
的右焦点作直线交双曲线于
两点，若
则这样的直线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
44．已知分别是双曲线
的两个焦点，和是以
(为坐标原点)为圆心，
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.
D.
45．双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，点
）在其右支上，且满足
，则
的值是
A．4020
B．4019 C．4020 D．4019
47．已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线
左支上一点，且满足
，
，则此双曲线的离心率为 ( )
A． B．
C． D．
48．已知点F是双曲线
(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，2) C．(1，1＋) D．(2，1＋)
第二篇：双曲线知识点归纳总结
第二章 2.3 双曲线
① 当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上； 当MF?MF?2a时，则表示点M在双曲线左支上；
2
1
② 注意定义中的“（小于F1F2）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。
若2a=2c时，即MF?MF
1
2
?F1F2
2
,当MF
1
?MF2?F1F2
，动点轨迹是以F2为端点向
右延伸的一条射线；当MF
?MF1?F1F2
时，动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一
条射线；
若2a＞2c时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：
如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上； 如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点P(x0,y0)在双曲线 (2)点P(x0,y0)在双曲线
xaxa
2222
??
ybyb
2222
?1(a?0,b?0)的内部??1(a?0,b?0)的外部?
x0aax0
2222
??
y0bby0
2
22
?1. ?1.
2
4. 形如Ax?By?1(AB?0)的方程可化为
2
2
x
2
1A
?
y
2
1B
?1
当当
1A1A
?0,?0,
1B1B
?0，双曲线的焦点在y轴上； ?0，双曲线的焦点在x轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6. 离心率与渐近线之间的关系
e?
2
ca
22
?
a?ba
2
22
?1?
2
ba
22
ba
22
1）e?
?b?1???
?a?
2）
?
e?1
2
7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为
xa
22
?
ba
yb
22
?1?渐近线方程：
xa
?
yb
22
?0?y??xa
22
ba
x.
(2)若渐近线方程为y??(3)若双曲线与
2222
x?
xa
?
yb
?0?双曲线可设为
xaxax
222
?
yb
22
??.
xa
22
?
yb
22
?1有公共渐近线，可设为
?
ybyb
22
??（??0，焦点在x
轴上，??0，焦点在y轴上）. (4)与双曲线(5)与双曲线
xaxa??yb
2222
222
22
?1共渐近线的双曲线系方程是?1共焦点的双曲线系方程是
?
??(??0yb
a?k
?
y
2
2
b?k
?1
(6)当a?b时?离心率e?2?两渐近线互相垂直，分别为y=?x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2?y2??； 8. 双曲线的切线方程
22
22
(1)双曲线
xa
?
ybxa
?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是
x0xa
2
?
y0yb
2
?1.
22
（2）过双曲线是
x0xa
2
?
yb
22
?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程
?
y0yb
2
?1.
（3）双曲线
Ax?
B?y
xa
22
?
yb
22
?1(a?0,b?0)与直2
2
2
2
2
相切的条件是Aa?Bb?c0?C.
9. 直线与双曲线的位置关系
直线l：y?kx?m(m?0) 双曲线C：
?y?kx?m?2
2 ??xy
?2?2?1
b?a
xa
22
?
yb
22
?1（a＞0，b＞0）
(b?ak)x?2amkx?am?ab?0
ba
222222222
1) 当b2?a2k2?0，即k??曲线C相交于一点； 2) 当b2-a2k2≠0，即k
??
ba
时，直线l与双曲线的渐进线__，直线与双
时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
① ??0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点
② ??0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点 ③ ??0时，直线l与双曲线相离，无公共点
3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）
10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?m(m?0) 双曲线C：
① 联立方程法：
?y?kx?m?2
2 ??xy
?2?2?1
b?a
xa
22
?
yb
22
?1（a＞0，b＞0）
(b?ak)x?2amkx?am?ab?0
222222222
设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出
y1?y2?kx1?m?kx2?m?k(x1?x2)?2m
y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m
2
2
，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长
222
AB??kx1?x2??k(x1?x2)?4x1x2??k2
?a
或 AB??
1k
2
y1?y2?
1?
1k
2
(y1?y2)?4y1y2?
2
?k
2
?a
b. 中点M(x0,y0), x0?
② 点差法：
x1?x2
2
， y0?
y1?y2
2
设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线方程，得
x1a
2
2
?
y1b
2
2
?1
x2a
2
2
?
y2b
2
2
?1
将两式相减，可得
(x1?x2)(x1?x2)
a
2
?
(y1?y2)(y1?y2)
b
2
y1?y2x1?x2
?
b(x1?x2)a(y1?y2)
2
2
b(x1?x2)a(y1?y2)
22
a. 在涉及斜率问题时，kAB?
AB
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段
y1?y2x1?x2
?
b2x0a2y0
2
的中点为M(x0,y0)，
2
2
?
bx0ay0
2
2
，
即kAB?
bx0ay0
2
，
btan
2
11. 焦点三角形面积公式：S?FPF
1
2
?
?
2
,(???F1PF2)。