一.基本概念和原理： 立体几何知识点

1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么

这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量)

（规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为

0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]）

斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的

最小角

如果平面内的一条直线,

与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线

a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，

那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，

经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行。

8.（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（2） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（3） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面

互相垂直。记为 ⊥

一条垂线，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

10.二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系） 11.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质：（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形

12.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等

（3）a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心

14.注意建立空间直角坐标系， 空间向量也可在无坐标系的情况下应用

15.多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2

正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体

16.数学简单记法：

线线垂直证角是90°，或向量相乘等于0

线面垂直证一条线与面上的两条相交直线垂直

线面平行一条线与面上的一条直线平行

a面b面垂直（先证一条线与A面上的两条相交直线垂直，再证

这条线属于B面）

面面平行(

一个面中的两条相交直线‖另一个面中的两条相交直线)

b四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。

第二篇：高中数学立体几何知识点总结

一、立体几何初步

'h特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

S直棱柱侧面积?ch

S正棱锥侧面积?

S正棱台侧面积?

1

ch' 2

1

(c1?c2)h' 2

S圆柱侧?2?rh

S圆柱表?2?r?r?l?

S圆台表??r2?rl?Rl?R2

S圆锥侧面积??rlS圆锥表??r?r?l?

S圆台侧面积?(r?R)?l

柱体、锥体、台体的体积公式

??

V柱?Sh

1V锥

?Sh

3

1

V台?(S'?S)h

3

V圆柱?Sh??r2h

1

V圆锥

??r2h

3

11

V圆台?(S'?S)h??(r2?rR?R2)h

33

球体的表面积和体积公式：V球=4?R3

3

； S球面=4?R2

二、直线与平面的位置关系

2.1.1

1 2 三个公理：

（1符号表示为

A∈L

A

B∈

l?? LA∈α

B∈α

（2A B

· C · 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

·

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理

（3公理

1 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b =>a∥c c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 3 4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； ?② 两条异面直线所成的角θ∈(0，；

2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

1简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α

b β∥α a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1

符号表示： a β

b β

a∩β

∥α a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：

a ∥α

a β∥b α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2符号表示：

α∥β

α∩γ∥b β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线

2注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭

β

B

α

2α-l-β或α-AB-β

3

1

2

三、空间角的求法

1．直线和直线所成的角：范围是0,90

（1）几何法：通过平移转化成求相交直线所成的角；

（2）向量法：求二直线上的方向向量的夹角或补角。直线的方向向量为n1和n2，线线角为θ，则

?

??

?

cos??

2、直线和平面所成的角：范围是0,90 （1）几何法：找出射影，求线线角；

?

??

?

??

（2）向量法：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面角为θ,??

??n?a

|. 则sin??|cos?n,a?|?||n|?|a|

3、二面角：范围是[0,180]；两个平面的夹角：范围是0,90

（1）几何法：①用定义法作二面角的平面角，②用三垂线法作二面角的平面角。

?

?

?

??

?

（2）向量法：求两个平面的法向量的夹角（或补角）. 设两个平面的法向量为n1和n2，两平面夹角为θ，则cos??，若是求二面角，则要判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。