精华总结版高考复数知识点基础经典解读

时间:2024.3.15

复  数

1.复数的概念:

(1)虚数单位i;

(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R);

(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2.复数集

3.复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。

4.复数的四则运算

    若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,

(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;

(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;

(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;

(4)除法:

(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。

(6)特殊复数的运算:

(n为整数)的周期性运算;  ②(1±i)2 =±2i;

③ 若ω=-+i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.

5.共轭复数与复数的模

(1)若z=a+bi,则为实数,为纯虚数(b≠0).

(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.

6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.

两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。

4.复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。

5.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a-bi)= a2+b2

6.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即.

7.复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

(二)典型例题讲解

1.复数的概念

例1.实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应的点Z在第三象限?

解:复数z=m+1+(m-1)i中,因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部,

∴ (1)m=1时,z是实数;  (2)m≠1时,z是虚数;

(3)当时,即m=-1时,z是纯虚数;

(4)当时,即m<-1时,z对应的点Z在第三象限。

例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.

解:根据复数相等的意义,得方程组,得x=, y=4.

例4.当m为何实数时,复数z=+(m2+3m-10)i;(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.

    解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.

    (1)z为实数,则虚部m2+3m-10=0,即

解得m=2,∴ m=2时,z为实数。

(2)z为虚数,则虚部m2+3m-10≠0,即

解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时,z为虚数.

解得m=-, ∴当m=-时,z为纯虚数.

    诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求.

例5.计算:i+i2+i3+……+i2005.

    解:此题主要考查in的周期性.

i+i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003+i2004)+i2005

   =(i-1-i+1)+ (i-1-i+1)+……+(i-1-i+1)+i

    =0+0+……+0+i=i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解(略)    诠释:本题应抓住in的周期及合理分组.

例8.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m=             .

解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.

∵ m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10, 且虚数不能比较大小,

,解得,∴ m=3.

当m=3时,原不等式成立.

诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

例9.已知z=x+yi(x,y∈R),且 ,求z.

解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法.

,∴,∴

解得, ∴ z=2+i或z=1+2i.

诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)

例10.已知x为纯虚数,y是实数,且2x-1+i=y-(3-y)i,求x、y的值.

解:本题主要考查复数的有关概念,实数与i的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法.

设x=ti (t∈R,且t≠0),则2x-1+i=y-(3-y)i可化为

2ti-1+i=y-(3-y)i,即(2t+1)i-1=y-(3-y)i,

, ∴y=-1, t=-, ∴ x=-i.

2.复数的四则运算

例1.计算:

(1),n∈N+;  

解:(1)=

                  =.

例2.已知复数z满足|z-2|=2,z+∈R,求z.

解:设z=x+yi, x, y∈R,则

z+=z+

∵ z+∈R,∴ =0, 又|z-2|=2, ∴ (x-2)2+y2=4,

联立解得,当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0),

当y≠0时, , z=1±,

∴ 综上所得 z1=4,z2=1+i,z3=1-i.

例3.复数z满足(z+1)(+1)=||2,且为纯虚数,求z.

解:设z=x+yi (x, y∈R),则

(z+1)(+1)=||2+z++1=||2,∴ z++1=0,z+=-1,x=-.

==为纯虚数,

∴  x2+y2-1=0, y=±, ∴ z=-+i或z=-i.

例4.复数z满足(1+2i)z+(3-10i)=4-34i,求z.

解:设z=x+yi (x, y∈R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi) =4-34i,

整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i.

, 解得, ∴ z=4+i.

例5.证明:=1.

    解:此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等.

    设z=a+bi,(a, b∈R),则

    =.

    解2:∵ ,∴ =.


第二篇:高考复数知识点精华总结


复  数

1.复数的概念:

(1)虚数单位i;

(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R);

(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2.复数集

3.复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。

4.复数的四则运算

    若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,

(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;

(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;

(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;

(4)除法:

(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。

(6)特殊复数的运算:

(n为整数)的周期性运算;  ②(1±i)2 =±2i;

③ 若ω=-+i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.

5.共轭复数与复数的模

(1)若z=a+bi,则为实数,为纯虚数(b≠0).

(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.

6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.

两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。

4.复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。

5.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a-bi)= a2+b2

6.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即.

7.复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

(二)典型例题讲解

1.复数的概念

例1.实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应的点Z在第三象限?

解:复数z=m+1+(m-1)i中,因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部,

∴ (1)m=1时,z是实数;  (2)m≠1时,z是虚数;

(3)当时,即m=-1时,z是纯虚数;

(4)当时,即m<-1时,z对应的点Z在第三象限。

例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.

解:根据复数相等的意义,得方程组,得x=, y=4.

例4.当m为何实数时,复数z=+(m2+3m-10)i;(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.

    解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.

    (1)z为实数,则虚部m2+3m-10=0,即

解得m=2,∴ m=2时,z为实数。

(2)z为虚数,则虚部m2+3m-10≠0,即

解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时,z为虚数.

解得m=-, ∴当m=-时,z为纯虚数.

    诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求.

例5.计算:i+i2+i3+……+i2005.

    解:此题主要考查in的周期性.

i+i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003+i2004)+i2005

   =(i-1-i+1)+ (i-1-i+1)+……+(i-1-i+1)+i

    =0+0+……+0+i=i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解(略)    诠释:本题应抓住in的周期及合理分组.

例8.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m=             .

解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.

∵ m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10, 且虚数不能比较大小,

,解得,∴ m=3.

当m=3时,原不等式成立.

诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

例9.已知z=x+yi(x,y∈R),且 ,求z.

解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法.

,∴,∴

解得, ∴ z=2+i或z=1+2i.

诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)

例10.已知x为纯虚数,y是实数,且2x-1+i=y-(3-y)i,求x、y的值.

解:本题主要考查复数的有关概念,实数与i的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法.

设x=ti (t∈R,且t≠0),则2x-1+i=y-(3-y)i可化为

2ti-1+i=y-(3-y)i,即(2t+1)i-1=y-(3-y)i,

, ∴y=-1, t=-, ∴ x=-i.

2.复数的四则运算

例1.计算:

(1),n∈N+;  

(2)若ω=-+i,ω3=1,计算

(3)

(4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.

解:(1)=

                  =.

(2)=

                       =-2.

(3)由于, ,

=

                               =8.

(4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99

=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)

=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+……+(97+98i-99-100i)

=25(-2-2i)=-50-50i.

例2.已知复数z满足|z-2|=2,z+∈R,求z.

解:设z=x+yi, x, y∈R,则

z+=z+

∵ z+∈R,∴ =0, 又|z-2|=2, ∴ (x-2)2+y2=4,

联立解得,当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0),

当y≠0时, , z=1±,

∴ 综上所得 z1=4,z2=1+i,z3=1-i.

例3.设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.

证明:设z=a+bi (a, b∈R,b≠0),于是

z+=(a+bi)+,

所以b≠0, (z+)∈Rb-=0a2+b2=1|z|=1.

例4.复数z满足(z+1)(+1)=||2,且为纯虚数,求z.

解:设z=x+yi (x, y∈R),则

(z+1)(+1)=||2+z++1=||2,∴ z++1=0,z+=-1,x=-.

==为纯虚数,

∴  x2+y2-1=0, y=±, ∴ z=-+i或z=-i.

例5.复数z满足(1+2i)z+(3-10i)=4-34i,求z.

解:设z=x+yi (x, y∈R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi) =4-34i,

整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i.

, 解得, ∴ z=4+i.

例6.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2,

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证u为 纯虚数;

(3)求ω-u2的最小值。

解:(1)设z=a+bi (a, b∈R, b≠0),则

ω=,由于ω是实数且b≠0,∴ a2+b2=1,

即|z|=1,由ω=2a, -1<ω<2, ∴ z的实部a的的取值范围是(-, 1).

(2)u==,由于a∈(-, 1), b≠0,

∴ u是纯虚数。

(3)ω-u2=2a+

          =,

由于a∈(-, 1),∴ a+1>0,则ω-u2≥2×2-3=1,

当a+1=, 即a=0时,上式取等号,所以ω-u2的最小值为1.

例7.证明:=1.

    解:此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等.

    设z=a+bi,(a, b∈R),则

    =.

    解2:∵ ,∴ =.

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