1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12 两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R／180

145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

第二篇：初中数学四边形知识点总结大全

四边形知识点总结大全

一  基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二  定理：中心对称的有关定理

※1．关于中心对称的两个图形是全等形.

※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

三 公式：

1．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）

2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）

3．S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）

四 常识：

1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.

2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.

5．梯形中常见的辅助线：

第三篇：大学物理化学知识点归纳

第一章  气体的pvT关系

一、       理想气体状态方程

pV=（m/M）RT=nRT                                                    （1.1）

或pV_m=p（V/n）=RT                                                       （1.2）

式中p、V、T及n的单位分别为P_a、m³、K及mol。V_m=V/n称为气体的摩尔体积，其单位为m³·mol。R=8.314510J·mol^-1·K^-1称为摩尔气体常数。

此式适用于理想，近似于地适用于低压下的真实气体。

二、理想气体混合物

1．理想气体混合物的状态方程                                                （1.3）

pV=nRT=（）RT

pV=mRT/M_mix                                                                                             （1.4）

式中M_mix为混合物的摩尔质量，其可表示为

M_mixM_B                                                                                        (1.5)                                                                                                                                                                      M_mix=m/n=  /                                                                                （1.6）

式中M_B为混合物中某一种组分B的摩尔质量。以上两式既适用于各种混合气体，也适用于液态或固态等均匀相混合系统平均摩尔质量的计算。

2.道尔顿定律

p_B=n_BRT/V=y_Bp                                                             （1.7）

P=                                                                  (1.8)

                                                                                                     

理想气体混合物中某一种组分B的分压等于该组分单独存在于混合气体的温度T及总体积V的条件下所具有的压力。而混合气体的总压即等于各组分单独存在于混合气体的温度、体积条件下产生压力的总和。以上两式适用于理想气体混合系统，也近似适用于低压混合系统。

3.阿马加定律

V_B^*=n_BRT/p=y_BV                                                          （1.9）

V=∑V_B^*                                                                                                   （1.10）

V_B^*表示理想气体混合物中物质B的分体积，等于纯气体B在混合物的温度及总压条件下所占有的体积。理想气体混合物的体积具有加和性，在相同温度、压力下，混合后的总体积等于混合前各组分的体积之和。以上两式适用于理想气体混合系统，也近似适用于低压混合系统。

三、临界参数

   每种液体都存在有一个特殊的温度，在该温度以上，无论加多大压力，都不可能使气体液化，我们把这个温度称为临界温度，以T_c或t_c表示。我们将临界温度T_c时的饱和蒸气压称为临界压力，以p_c表示。在临界温度和临界压力下，物质的摩尔体积称为临界摩尔体积，以V_m,c表示。临界温度、临界压力下的状态称为临界状态。

四、真实气体状态方程

1.范德华方程

   （p+a/V_m²）(V_m-b)=RT                                                 (1.11)

或（p+an²/V²）(V-nb)=nRT                                                 (1.12)

上述两式中的a和b可视为仅与气体种类有关而与温度无关的常数，称为范德华常数。a的单位为Pa·ｍ^６·mol，b的单位是m³mol.^-1。该方程适用于几个兆帕气压范围内实际气体p、V、T的计算。

2.维里方程

   Z(p，T)=1+Bp+Cp+Dp+…                                              （1.13）

或Z(V_m, ,T)=1+B/V_m+C / V_m² +D/ V_m³ +…                                  （1.14）

  上述两式中的Z均为实际气体的压缩因子。比例常数B’,C’,D’…的单位分别为Pa^-1,Pa^-2,Pa^-3…;比例常数B,C,D…的单位分别为摩尔体积单位[V_m]的一次方，二次方，三次方…。它们依次称为第二，第三，第四……维里系数。这两种大小不等,单位不同的维里系数不仅与气体种类有关，而且还是温度的函数。

   该方程所能适用的最高压力一般只有一两个MPa，仍不能适用于高压范围。

五、对应状态原理及压缩因子

1.压缩因子的对应式

ZPV/(nRT) =pV_m/(RT)                                              （1.15）

压缩因子Z是个量纲为1的纯数，理想气体的压缩因子恒为1。一定量实际气体的压缩因子不仅与气体的T，P有关，而且还与气体的性质有关。在任意温度下的任意实际气体，当压力趋于零时，压缩因子皆趋于1。此式适用于纯实际气体或实际气体混合系统在任意T，p下压缩因子的计算。

2.对应状态原理

P_r=p/p_c                                                                                            (1.16)

V_r=V_m/V_m,c                                                                                      (1.17)

T=T/T_c                                                                                           (1.18)

p_r、V_r、T_c分别称为对比压力、对比体积和对比温度，又统称为气体的对比参数，三个量的量纲均为1。各种不同的气体，只要有两个对比参数相同，则第三个对比参数必定（大致）相同，这就是对应状态原理。

第二章    热力学第一定律

一、       热力学基本概念

1.     状态函数

状态函数，是指状态所持有的、描述系统状态的宏观物理量，也称为状态性质或状态变量。系统有确定的状态，状态函数就有定值；系统始、终态确定后，状态函数的改变为定值；系统恢复原来状态，状态函数亦恢复到原值。

2.     热力学平衡态

在指定外界条件下，无论系统与环境是否完全隔离，系统各个相的宏观性质均不随时间发生变化，则称系统处于热力学平衡态。热力学平衡须同时满足平衡（△T=0）、力平衡（△p=0）、相平衡（△μ=0）和化学平衡（△G=0）4个条件。

二、热力学第一定律的数学表达式

1.△U=Q+W

或dU=ΔQ+δW=δQ-p_ambdV+δW`

规定系统吸热为正，放热为负。系统得功为正，对环境做功为负。式中p_amb为环境的压力，W`为非体积功。上式适用于封闭系统的一切过程。

2．体积功的定义和计算

系统体积的变化而引起的系统和环境交换的功称为体积功。其定义式为：

δW=-p_ambdV

（1）      气体向真空膨胀时体积功所的计算

W=0

（2）      恒外压过程体积功

W=p_amb（V₁-V₂）=-p_amb△V

对于理想气体恒压变温过程

W=-p△V=-nR△T

（3）      可逆过程体积功

W_r=

(4)理想气体恒温可逆过程体积功

W_r==-nRTln(V₁/V₂)=-nRTln(p₁/p₂)

(5)可逆相变体积功

W=-pdV

三、恒热容、恒压热，焓

1.焓的定义式

HU + p V

2．焓变

（1）△H=△U+△(pV)

 式中△(pV)为p V乘积的增量，只有在恒压下△(pV)=p(V₂-V₁)在数值上等于体积功。

（2）△H=

此式适用于理想气体单纯p VT变化的一切过程，或真实气体的恒压变温过程，或纯的液、固态物质压力变化不大的变温过程。

3.     内能变

(1)△U=Qv

式中Qv为恒热容。此式适用于封闭系统，W`=0、dV=0的过程。

△   U==

式中为摩尔定容热容。此式适用于n、C_V,m恒定，理想气体单纯p、V、T变化的一切过程。

4.     热容

（1）      定义

当一系统由于加给一微小的热容量δQ而温度升高dT时，δQ/dT这个量即热容。

（2）      摩尔定容热容C_V，m

C_V，m=C_V/n=()_V  (封闭系统，恒容，W_非=0)

(3)摩尔定压热容C_p,m

C_p,m= （封闭系统，恒压，W_非=0）

(4) C_{p, m}与 C_V，m的关系

系统为理想气体，则有C_{p, m}—C_V，m=R

系统为凝聚物质，则有C_{p, m}—C_V，m≈0

（5）热容与温度的关系，通常可以表示成如下的经验式

C_{p, m}=a+bT+cT²

或C_{p, m}=a+b`T+c`T^-2

式中a、b、c、b`及c`对指定气体皆为常数，使用这些公式时，要注意所适用的温度范围。

（6）平均摩尔定压热容_p,m

_p,m=(T₂-T₁)

四、理想气体可逆绝热过程方程

=1

=1

=1

上式γ=/,称为热容比（以前称为绝热指数），以上三式适用于为常数，理想气体可逆绝热过程，p,V,T的计算。

五、反应进度

ξ=△n_B/v_B

上式适用于反应开始时的反应进度为零的情况，△n_B=n_B-n_B，0，n_B，0为反应前B的物质的量。

ν_B为B的反应计算数，其量纲为1。ξ的单位为mol。

六、热效应的计算

1.不做非体积功的恒压过程

Q_p=△H=

2.不做非体积功的恒容过程

Q_v=△U=

3.化学反应恒压热效应与恒容热效应关系

Q_p- Q_v=(△n)RT

4.由标准摩尔生成焓求标准摩尔反应焓变

=

5由标准摩尔燃烧焓求标准摩尔反应焓变

=—

6. 与温度的关系

基希霍夫方程的积分形式

(T₂)= (T₁)+

基希霍夫方程的微分形式

d=△_rdT=

七、节流膨胀系数的定义式

μ_J-T=（аT/аp）_H

μ_J-T又称为焦耳—汤姆逊系数

第三章    热力学第二定律

一、       卡诺循环

1． 热机效率

η=-W/Q₁=(Q₁+Q₂)/Q₁=(T₁-T₂)/T₁

式中Q₁和Q₂分别为工质在循环过程中从高温热源T₁吸收热量和向低温热源T₂放出热量这两个过程的可逆热。此式适用于在两个不同的温度之间工作的热机所进行的一切可逆循环。

2．卡诺循环

所有工作于两个确定温度之间的热机，以可逆热机效率最大。

η_1rη_r

即是Q₁/T₁+Q₂/T₂ ≤0

式中T₁、T₂为高低温热源的温度。可逆时等于系统的温度。

二、热力学第二定律

1.克劳修斯说法

“不可能把热从低温物体传到高温物体而不产生其他影响。”

2.开尔文说法

“不可能从单一热源吸取热量使之完全转变为功而不产生其他影响。”

三、熵

1.熵的定义

d SδQ _r/T

式中Q _r为系统与环境交换的可逆热，T为可逆热δQ _r时系统的温度。

2.克劳修斯不等式

dS

3.熵判据

△S_iso=△S_sys+△S_amb

式中iso、sys和amb分别代表隔离系统、系统和环境。在隔离系统中，不可逆过程即自发过程。可逆，即系统内部及系统与环境之间处于平衡态。在隔离系统中，一切自动进行的过程都是向熵增大的方向进行，这称为熵增原理。此式只适用于隔离系统。

四、熵变的计算

1.单纯的PVT变化

过程中无相变化和化学变化，W`=0，可逆。

△S===

理想气体系统

△S=nC_V,mln+nRln= nC_p,mln- nRln= n C_{p ,m} l n+ n C_{V ,m} ln

恒温（T₁=T₂）△S= nRln=- nRln

恒压（p₁=p₂）△S= nC_p,mln= n C_{p ,m} l n

恒容（V₁=V₂）△S= nC_V,mln= n C_{V ,m} ln

凝聚相系统

△S=

恒容△S =

恒压△S=

恒温△S=δQ _r/T

2.相变化

可逆变化S=H/T

不可逆相变，通常设计一条要包括可逆相变步骤在内的可逆途径，此可逆途径的热温熵才是该不可逆过程的熵变。

3.环境熵差及隔离系统熵差的计算

△S_amb== Q_amb/ T_amb=- Q_sys / T_amb

△S_iso=△S_amb+△S_sys

4.化学反应的标准反应熵

=—

若在温度区间T₁~T₂内，所有反应物及产物均不发生相变化，则

（T₂）=（T₁）+

五、热力学第三定律

 (完美晶体，T)=0

或 （完美晶体，0K）=0

上式中符号*代表纯物质。上述两式只适用于完美晶体。

六、亥姆霍兹函数

1. 亥姆霍兹函数定义式

AU-TS

式中A为系统的亥姆霍兹函数，U为系统的内能；TS为系统温度与规定熵的乘积。

2. 亥姆霍兹函数判据

dA_T,V≤0

在恒温恒容且不涉及非体积功时，才能用△A判断过程的方向性。若△_T,VA<0,则表明在指定的始终态（T,V相等）之间有自动进行的可能性；若△_T,VA>0,则表明在指定的始末态之间处于平衡态。

3.

恒温可逆过程，系统的亥姆霍兹函数变化等于此过程的可逆功W_r。

七、吉布斯（Gibbs）函数

1.吉布斯（Gibbs）函数的定义式

GH-TS

H、A及G皆为组合函数，它们皆是系统具有广延性质的状态，而且皆具有能量的单位。状态一定，它们皆应有确定的数值，但它们的绝对值既无法测定，也无法求算。

2. 吉布斯（Gibbs）函数数据

dG_T,P≤0

在恒温恒压且不涉及非体积功时，才可用△G来判断过程的方向性，在此条件下过程的方向性，在此条件下过程只能向吉布斯函数G减少的方向进行。

3. △G_T,P=W`_r

在恒温恒压下，过程的吉布斯函数等于始末状态间过程的可逆非体积功。在恒温恒压可逆的条件下，此等式才成立。

八、热力学基本方程

d U=T d S-p d V

d A=-S d T-p d V

d H=T d S-V d p

d G=-S d T+V d p

热力学基本公式的适用条件为封闭的热力学平衡系统的可逆方程。不仅适用于一定量的单相纯物质，或组成恒定的多组分系统发生单纯p、V、T变化的可逆过程，也可适用于相平衡或化学平衡的系统由一平衡状态变为另一平衡状态的可逆方程。

九、克拉佩龙方程

1. 克拉佩龙方程

dp/dT=/（T）

此方程适用于纯物质的α相和β相的两相平衡。

2.克劳修斯-克拉佩龙方程

dln(p/[p])=( △_vapH_m/RT²)dT

ln(p₂/p₁)=( △_vapH_m /R)(1/T₁=1/T₂)

此式适用于气-液（或气-固）两相平衡；气体可视为理想气体；（l）与（g）相比较可忽略不计；在T₁~T₂的温度范围内摩尔蒸发焓可视为常数。

对于气-固平衡，上式的△_vapH_m则应改为固体的摩尔升华焓。

十、吉布斯-亥姆霍兹方程

=-U/T₂

=-H/T₂

这两个方程分别表示了A/T在恒容下随T的变化及G/T在恒压下随T的变化。

十一、麦克斯韦关系式

-（/）_S=（/）_V

(/)_S=(/)_p

- (/)_p=(/)_T

(/)_V=(/)_T

这4个偏微分方程称为麦克斯韦关系式。物质的量恒定的单相纯物质，只有pVT变化的一切过程，上述4式皆可适用。对于混合系统，则要求系统的组成恒定，式中V及S分别为系统总体积及总的规定熵。

第四章    多组分系统热力学

一、       偏摩尔量

X_B

其中X为广度量，如V,U,S

全微分式

dX=dT+dp+

总和X=

2.吉布斯—杜亥姆方程

在T、p一定条件下，=0

或=0

此处，x_B指B的摩尔分数，X_B指B的偏摩尔量。

3.偏摩尔量间的关系

=V==V_B

=-S=-S_B

二、化学式

1、定义式

混合物（或溶液）中组分B的偏摩尔吉布斯函数G_B又称B的化学势。

μ_BG_B=

由热力学的4个基本方程可以得：

μ_B====

2.化学势判据

≤0（dT=0，dV=0，Δw`=0）

≤0（dT=0，dp=0，Δw`=0）

其中，μ_B（α）指α相内的B物质。

三、气体组分的化学势

1. 理想气体化学势

（1）纯理想气体的化学势为

μ^*（pg）=+RTln(p/)

μ^*（pg）表示纯理想气体在温度T、压力p时的化学势。是纯理想气体在标准压力=100kPa下的化学势，即标准化学势。

（2）混合理想气体中任一组分B的化学势为

μ_B（pg）=+RTln

其中，p_B=y_B为B的分压。

2.真实气体化学势

（1）纯真实气体的化学势为

μ^*（g）=+RTln+dp

其中，为该温度下纯真实气体的摩尔体积。低压下，真实气体近似认为是理想气体，故积分项为0。

（3）      真实气体混合物中任一组分B的化学势为

μ_B（g）=+RTln+dp

其中，V_B（g）为真实气体混合物中组分B温度T及总压p_总 下的偏摩尔体积。

四、拉乌尔定律与亨利定律

1.拉乌尔定律

p_A=x_A

式中p_A为溶液A的蒸汽压；为纯溶剂在同样温度下的饱和蒸汽压。x_A为溶液中A的摩尔分数。

.拉乌尔定律只适用于理想液态混合物或理想稀溶液中的溶剂。

2．亨利定律

p_B=k_x,Bx_B

式中k_x,B为亨利系数，其值与溶质、溶剂的性质及温度有关。也可用其他浓度，如c_B、b_B来表示亨利定律，但这时亨利系数的大小及单位皆应相应改变。

  此式只适用于理想稀溶液中的溶质。当挥发性溶液的浓度较大时，应以活度代替浓度，并要求溶质在气相中的分子形态与液相相同。

五、理想液态混合物

定义：其任一组分在全部组成范围内都符合拉乌尔定律的液态混合物。

p_B=x_B

其中，0≤x_B≤1,B为任一组分。

2．理想液态混合物中任一组分B的化学势

μ_B（l）=+RTln(x_B)

其中，为纯液体B在温度T、压力p的化学势。

若纯液体B在温度T、压力下的标准化学势为，则有

=+≈

其中，为纯液态B在温度T下的摩尔体积。

3. 理想液态混合物的混合性质

（1）△_mix V=0

（2）△_mix H=0

（3）△_mix S=-R

（4）△_min G=—T△_mix S

六、理想稀溶液

1.溶剂的化学势

μ_A（l）=+RTln(x_A)

=+ RTln(x_A)+ 

当P与相差不大时，积分项可忽略，则A的化学势为=+ RTln(x_A)。稀溶液溶剂服从拉乌尔定律，溶质服从亨利定律，故稀溶液的溶剂化学势的表示与理想溶液中任一组分的化学势表达式一样。

2.溶质的化学势

溶质服从亨利定律，故

μ_{B（溶质）}=μ_B（g）=+ RTln=+ RTln（）

       = + RTln（）+ RTln（）

又因为+ RTln（）=+

μ_{B（溶质）}=+ RTln（）+

其中，在p与相差不大时，可忽略积分项。

3.分配定律

在一定温度、压力下，当溶质在共存的两不互溶溶液间平衡时，若形成理想稀溶液，则溶质在两液相中的质量摩尔浓度之比为一常数：

K=b_B(α)/b_B(β)

其中K为分配系数，b_B(α)、b_B(β)为溶质B在α、β两相中的质量摩尔浓度。

七、稀溶液的依数性

溶剂蒸气压下降：△p_A=x_B

凝固点降低（条件：溶质不与溶剂形成固态溶液，仅溶剂以纯固体析出）：

△T_f=K_fb_B

K_f=

沸点升高（条件：溶质不挥发）：

△T_b=K_bb_B

K_b=

渗透压：ⅡV=n_BRT

八、逸度与逸度因子

1.逸度及逸度因子

气体B的逸度p_B,是在温度T、总压力p_总下，满足关系式

μ_B（g）=+ RTln

的物理量，它具有压力单位。其计算式为

 p_B exp

逸度因子(即逸度系数)为气体B的逸度与其分压之比

Φ_B= /p_B

理想气体逸度因子恒等于1。

2. 逸度因子的计算与普通化逸度因子图

lnΦ_B=

对纯真实气体，式中V_B(g)即为该气体在T、p下的摩尔体积，用=ZRT/p代替V_B（g）得lnΦ=

不同气体，在相同对比温度Tr、对比压力p_r下，有大致相同的压缩因子Z，因而有大致相同的逸度因子Φ。

3.路易斯—兰德尔逸度规则

混合气体组分B的逸度因子等于该组分B在混合气体温度及总压下单独存在时的逸度因子。

=Φ_B p_B=Φ_B p_总y_总=p_总，y_总=y_B

适用条件：由几种纯真实气体在恒温恒压下形成混合物时，系统总体积不变，即体积有加和性。

九、活度与活度因子

对真实液态混合物中的溶剂：

μ_B（l）+RTln(a_B)= +RTlnx_Bf_B

其中a_B为组分B的活度，f_B为组分B的活度因子。

若B挥发，而在与溶液的气相中B的分压P_B，则有

a_B= p_B/

且f_B==

第五章    化学平衡

一、化学反应的等温方程

1.化学反应亲和势的定义

A=—△_rG_m

A代表在恒温、恒压和非体积功W=0的条件下反应的推动力，A>0反应能组分进行;A=0处于平衡态；A<0反应不能自发进行，反而是其逆反应会自发进行。

2.摩尔反应吉布斯函数与反应进度的关系

（аG/аξ）_{T, p}==△_rG_m

式中的（аG/аξ）_{T, p}表示在T、p及组成一定条件下，反应系统的吉布斯函数随反应进度的变化率，称为摩尔反应吉布斯函数。

3.等温方程

△_rG_m=△_r+RTlnJ_p

式中△_r为标准摩尔反应吉布斯函数；Jp=(p_B/)^vB。此式适用于理想气体或低压气体在恒温、恒压及恒组成的条件下，按化学反应计量式进行单位反应的吉布斯函数变的计算。

二、标准平衡常数

1.定义式

△_r=— RTln

式中称为标准平衡常数；=J_p（平衡）。此式适用于理想气体或低压下气体的温度T下，按化学反应计量式进行 单位反应时，反应的△_r与的相互换算。

二、理想气体反应系统的标准平衡常数

=(/)^vB

式中为化学反应中任一组分B的平衡分压。

3.有纯凝聚态物质参加的理想气体反应系统的标准平衡常数

=(（g）/)^vB(g)

三、温度对标准平衡常数的影响

化学反应的等压方程—范特霍夫方程

微分式  dln/dT=/RT²

积分式  ln=(T₂-T₁)/( RT₂T₁)

不定积分式ln=—/（RT）+C

对于理想气体反应，为定值，积分式或不定积分式只适用于为常数的理想气体恒压反应。若是T的函数，应将其函数关系式代入微分式后再积分，即可得到ln与T的函数关系式。

四、压力、惰性组分、反应物配比对理想气体化学平衡的影响

1.压力对平衡转化率的影响

===×

增高压力，反应向有利于体积减小的方向进行。

2.惰性组分对平衡转化率的影响

==×

v_B为参加化学反应各组分的化学计量数，和分别为对反应组分（不包括惰性组分）的物质的量、化学计量数求和。当 =0时，恒压下加入惰性组分对转化率无影响；当>0，恒压下加入惰性组分，平衡向生成产物的方向移动；若<0,则正好相反。

3.反应物的摩尔配比对平衡转化率的影响

对于气相化学反应aA+bB=yY+zZ

当摩尔配比r=n_B/n_A=b/a时，产物在混合气体中的含量为最大。

五、真实气体反应的化学平衡

=(/)^vB =(/)^vB

上式中、、分别为气体在B化学反应达平衡时的分压力、逸度和逸度系数。则为用逸度表示的标准常数，有些书上用表示。

上式中=。

六、混合物和溶液中的化学平衡

1.常压下液态混合物中

==×

2.常压下液态溶液中的化学平衡

==×

第六章    相平衡

一、相率

F=C-P+2

其中，C=S-R- R`

式中F为系统的独立变量数，即自由度：C为组分数；R为独立的平衡反应数；R`为独立的限制条件数，即除了任一相中=1，同一物质在各平衡相中的浓度受化学势相等的限制以及R个独立化学反应的平衡常数对浓度的限制之外其它的浓度（或分压）限制条件皆包含于R`之中。S为系统的化学物质，P为相数。公式中的“2”代表T和p两个条件。此式只适用于只受温度、压力影响的平恒系统。

二、杠杆规则

杠杆规则在相平衡中是用来计算系统分成平衡两相（或两部分）时，两相（或两部分）的相对量。如图6-1所示，设在温度T下，系统中共存在的两相分别为α相与β相。图中M、α、β分别表示系统点与两相的相点；、、分别代表整个系统、α相和β相的组成（以B的摩尔分数表示）；n、和则分别为系统点、α相与β相的物质的量。由质量   得

 n^α(-)=n^α(-)

或=

上式称为杠杆规则，它表示为α、β两相的物质的量的相对大小。如式中的组成由摩尔分数、、换成质量分数、、时，两相的量相应由物质的量n^α与n^α换成两相的质量m^α与m^α。

三、单组分系统相图

参考图6-2，单组分体系C=1，单相时，P=1则F=2，温度和压力均可变，称为双变量体系；汽化、凝固和升华时两相平衡（三条线上），P=2，则F=1，温度和压力只有一个可变，称为单变量体系；而其三相点（O点）外，P=3，则F=0，状态确定，温度、压力和组成都是定值，没有变量。

四、二组分图

1.气-液平衡相图

二组分体系C=2，若在恒温条件下，可作压力-组分图；若在恒压条件下，可作温度-组分图。此时自由度F=2-P+1=3-P。定压下，单项区F=2；二相区F=1；最高、最低恒沸点的混合物F=0。

参看图6-3，图（a）、（b）完全共溶系统气-液平衡的压力-组分相同。图（a）是A、B两种物质形成理想液态混合物的相图。图（b）是A、B两种物质形成真实液态混合物的相图，两图的差别很明显，图（a）的液相线为直线。图（c）是二组分理想液态混合物的气-液平衡温度-组成相图。图（d）是部分互溶系统的温度-组成相图，具有最低恒沸点的完全互溶体系与部分互溶体系的组合。图（e）是完全不互溶系统的温度-组成相图。由相图可以得出，共沸点低于每一种纯液体的沸点。

2.固-液相图

固相完全不互溶的固液平衡温度-组成图：图（a）是简单低共熔混合物；图（b）是形成稳定化合物；图（c）是形成不稳定化合物。

固相部分互溶的固液平衡温度-组成图：图（d）是体系具有低共熔点；图（e）是体系有转熔温度。

图6-4所示的二组分固-液相图具有以下共同特征：1）图中的水平线均是三相线；2）图中垂线都表示化合物。

五、三组分系统

利用相率研究体系中相和自由度的变化C=3，F=C-P+2=5-P,自由度最小为0，则相数最多是5；相数最少为1，自由度最多是4。

采用固定温度和压力，利用正三角形的三边表现三组分的摩尔分量，得到体系中各相得平衡曲线。此时条件自由度F*=3-P。

1.相图类型

相图类型（如图6-5所示）分为两大类：

（1）部分互溶的三液体系

有一对部分互溶的三液体体系（a）

有二对部分互溶的三液体体系（b）

有三对部分互溶的三液体体系（c）

（2）二固-液的水盐体系

无水合盐和复盐形成的体系；

有水合盐形成的体系（d）

有复盐形成的体系（e）

利用二固-液的水盐体系采用逐步循环法进行盐类的提纯和分离。

2.三组分体系相图的共同特征

（1）扇形区为固液平衡二相区。

（2）三角形区为三相区，各相成分和状态由三角形的顶端描述。

（3）杠杆规则适用于两相区，三相区接连适用两次杠杆规则同样可以确定各相的量，三组分相图用于材料特性（例如反磁性、超导性等）的研究。

第七章    电化学

一、法拉第定律

Q=Zfξ

通过电极的电量正比于电极反应的反应进度与电极反应电荷数的乘积。其中F=L_e，为法拉第常数，一般取F=96485C·mol  近似数为965000C·mol。

二、离子迁移数及电迁移率

电解质溶液导电是依靠电解质溶液中正、负离子的定向运动而导电，即正、负离子分别承担导电的任务。但是，溶液中正、负离子导电的能力是不同的。为此，采用正（负）离子所迁移的电量占通过电解质溶液总电量的分数来表示正（负）离子导电能力，并称之为迁移数，用t₊ ( t_-) 表示，即

   正离子迁移数

t₊=Q₊/(Q₊+Q-)=v₊/(v₊+v-)=u₊/(u₊+u_-)

   负离子迁移数

t_{_}=Q_-/(Q₊+Q-)=v_-/(v₊+v-)=u_-/(u₊+u_-)

上述两式适用于温度及外电场一定而且只含有一种正离子和一种负离子的电解质溶液。式子表明，正（负）离子迁移电量与在同一电场下正、负离子运动速率v₊ 与 v-有关。式中的u₊ 与u_- 称为电迁移率，它表示在一定溶液中，当电势梯度为1V·m^-1 时正、负离子的运动速率。

其电解质溶液中含有两种以上正（负）离子时，则其中某一种离子B的迁移数计算式为

t_Bz+=

三、电导、电导率、摩尔电导率 

1.电导

电阻的倒数称为电导，单位为S（西门子）。

G=1/R

2.电导率

电极面积为1 ，电极间距为1 时溶液的电导，称为电导率，单位为

G=1/R=/l

3.摩尔电导率

在相距为单位长度的两平行电极之间，放置有1 电解质溶液时的电导，称为摩尔电导率，单位是S·m²·mol^-1。

=

4摩尔电导率与电解质溶液浓度的关系式

（1）柯尔劳施（Kohlrausch）公式

=—A

式中 是在无限稀释条件下溶质的摩尔电导率；c是电解质的体积摩尔浓度。在一定温度下对于指定的溶液，式中A和皆为常数。此式中适用与强电解质的稀溶液。

（2）柯尔劳施离子独立运动定律

=v₊+v_-

式v₊ 及v_-  分别为正、负离子的计量系数；及分别为在无限稀释条件下正、负离子的摩尔电导率。此式适用与一定温度下的指定溶剂中，强电解质或弱电解质在无限稀释时摩尔电导率的计算。

四、电解质的平均离子活度、平均离子活度因子及德拜—休克尔极限公式

1.平均离子活度

±()

2.平均离子活度因子

(

3．平均离子质量摩尔浓度

b±(bb)^1/v

4．离子活度

a=a=aa=(b_±/b)

5.离子强度与德拜—休克尔极限公式

 离子强度的定义式为

I=1/2

式中 b_B 与 z_B 分别代表溶液中某离子B的质量摩尔浓度和该离子的电荷数。I的单位为 mol·kg^-1 。I值的大小反应了电解质溶液中离子的电荷所形成静电场强度的强弱。I的定义式用于强电解质溶液。若溶液中有强、弱电解质时，则计算I值时，需要将弱电解质解离部分离子计算在内。

德拜—休克尔极限公式为

lg=—Az₊｜z-｜

上式是德拜-休克尔从理论上导出的计算的式子，它只适用于强电解质极稀浓度的溶液。A为常数，在25℃的水溶液中A=0.509（mol^-1·kg^-1）^-1/2。

五、可逆电池及其电动势

1.可逆电池热力学

(1) △_rG_m=W_r,m=-zFE

式中z是电池反应中电子转移数；F为法拉第常数；E是电动势。当△_rG_m<0 时,E>0 ，说明自发的化学反应恒温压下在原电池中可逆进行。

（2）△_rS_m=- =zF

式中  称为原电池电动势的温度系数，表示恒温下电动势随温度的变化率，单位为

（3）△_r H _m=-z F E+zFT

（4）Q_r,m= zFT

2.电动势的计算

（1）能斯特方程

化学反应为=0

E=-ln

或E=-ln

当电池反应达平衡时，△_rG_m=0,E=0，则

=ln

（2）电极的能斯特公式

E(电极)= —ln

      =+lnn

（3）任何可逆电池的电动势

E=E_(右)-E_（左）=E_（阴）-E_（阳）

=-

（4）液体接界电势

E_(液界)=（t₊-t_-）ln

六、电极的种类

1.第一类电极

这类电极一般是将某金属或吸附了某种气体的惰性金属置于含有该元素离子的溶液中构成的，包括金属电极、氢电极、氧电极和卤素电极等。

2．第二类电极

第二类电极包括金属—难溶盐电极和金属—难溶氧化物电极。

3.氧化还原电极

任何电极均可发生氧化还原反应。这里所说的氧化还原电极专指如下一类电极：电极极板  只起输送电子的任务，参加电极反应的物质都在溶液中。如电极Fe³⁺,  Fe²⁺ ;,Mn²⁺,H⁺,H₂O｜Pt。

七、极化电极电势

阳极：E_(阳)=E_(阳，平)+η_（阳）η_（阴）

阴极：E_(阴)=E_(阴，平)+η_（阴）

式中 E_(阳，平) 及 E_(阴，平) 分别为阳极及阴极的平衡电板电势；η_（阴）及η_（阴）分别为阴、阳极的超电势。上述二式既适用与原电池，也适用于电解池个别电极的极化电极电势的计算。

第八章    量子力学基础

一、量子力学的基本假设

量子力学的4个基本假设是对3个问题的回答：一是运动状态如何描述；二是可观测的力学量如何表达；三是状态变化的规律。

1.波函数

由N个粒子组成的微观系统，其状态可由N个粒子的坐标（或动量）的函数（t,q₁,q₂,…… ）      来表示， 被称为波函数。波函数是单值、连续的。

2.薛定谔方程

系统状态 (t,) (代表所有坐标) 随时间的变化遵循薛定谔方程

-=

其中 为哈密顿算符，=+V(t,)

当势能与时间无关时，系统的波函数

(t,)=e^-iEt/h()

3．系统所有可观测物理量的算符表示

量子力学中与力量学O对应的算符的构造方法：

（1）写出以时间、坐标和动量为坐标的力学量O的经典表达式

O(t;q₁,q₂,···；p₁,p₂,···)

式中 q₁,q₂,···表示动量 ； p₁,p₂,···表示坐标

（2）将时间t与坐标q₁,q₂,···看做数乘算符，而将动量p_j 用算符代替，则与力学量O对应的算符 为

(t,q_1,q₂···；，，，，···)

4.测量原理

在一个系统中对力学量  进行测量的本征值 λ_n ：

_n=λ_nn

其有两层含义：

（1）如果系统所处的状态为 的本征态_n ，则对 的测量结果一定为λ_n 。

（2）如果系统所处的状态 不是 的本征态，则对 的测量将使系统跃迁到 的某一本征态_k ，其测量结果为该本征态对应的本征值λ_k 。

可将用 的本征态展开，即

=

则测量结果为λ_k 的概率为 ｜a_k｜²。     一般来说，对处于状态 的系统进行测量，力学量 的平均值为

<> =

二、 一维势箱中离子的薛定谔方程

-=E

波函数(x)=sin  (n=1,2,3···)

能及公式E=   (n=1,2,3···)

三、一维谐振子

哈密顿算符

=-+1/2kx²

能级E_v=(1/2+v)hv₀

其中 v=0,1,2,3,··· 为振动量子数，v₀=  为谐振子经典基数。

波函数

_v=N_vH_v(ξ)exp(-ξ/2)

其中

ξ=x=x

N_v=

 H_v(ξ)  为 阶厄米多项式

H_v(ξ)=（-1）^v exp(ξ²)()

四、二体刚性转子

1.拉普拉斯算符在球级坐标中的表示

=

2.球谐函数

Y_J,m()=

如设ξ=cosθ，则其中

（ξ）=   (J )

3二体刚性转子

若r 及V(r)均为常数，二体问题即成为二体刚性转子问题。若μ= m₁m₂/(m₁+m₂) ，则

E_J=  （J=0,1,2,···）

其中I=μd² 为转动惯量，波函数即为球谐函数Y_{J, m}(θ，)

五、类氢离子及多电子原子的结构

1.类氢离子

V(r)=-

E_n=-

a₀=0.5292×10^-10m  (n=1,2,3,······)

=R_n,J(r)·Y_{J, m}(θ，)

其中：R_n,J(r)=—

式中：= ，而=

2.多电子原子

（1）多电子原子的哈密顿算符

=—

其中=  为第i个电子的拉普拉斯算符，r_i 为它与核的距离，r_ij为电子i与电子j的距离，m为电子质量。

（2）多电子原子电子波函数

①中心立场近似法

将除电子i以外的其余Z-1个电子看做是球形对称分布的，电子i的势能为V_i=—=—   ，对不同电子σ_i 值不同。

=

_n,J,m=R`(r)Y_J,m(θ，)

En=—13.6

②自洽场方法

多原子的电子波函数为各个电子的波函数乘积：

(1,2···，Z)=

电子i与所有其他电子j的相互作用即为

V_ij=e²

单电子哈密顿算符

=—

通过求解单电子薛定谔方程

(i)=

即可得到多电子薛定谔方程的解。可通过迭带过程求解。先假设一组单电子波函数。

3.斯莱特行列式

  ，不满足费米子对波函数的反对称性的要求，斯莱特提出构造反对称波函数的一般方法。对N个电子的系统，若归一化的空间-自旋轨道组为{_j ,j=1,2,3···} ，则反对称波函数表示为

(1,2···，N)=

六、分子轨道理论简介

1.玻恩-奥本海默近似

分子系统中核的运动与电子的运动可以分离。

2.类氢分子离子的Schrodinger 方程的解

哈密顿算符

=———

定义椭球坐标为

ξ=,=

（1）Schrodinger 方程的解

_el(ξ, ,)=  （m=0,±1，±2，···）

（2）                                  表8-1

对于坐标反演 (ξ, ,)  (ξ, ,—+π) 波函数不变的用g表述，改变符号的用u表示。

（3）电子能级E_el（R）为核间距的函数，当核间距R时趋于氢原子能级，核间距R 0时趋于氦正离子He⁺能级。

（4）U（R）= E_el（R）+e³/R 为势能曲线，对基态，在 R=R_e=1.06×10^-10m时有极小值—16.40eV。所以，该轨道为成键轨道。

第九章    统计热力学初步

一、离子各运动形式的能级及能级的简并度

1.三维平动子

ε_t=   (n_x，n_y，n_z=0，1，2···)

当a=b=c时有简并， （n_x+n_y+n_z）相等的能级为简并的。

2.刚性转子（双原子分子）

ε_r =J(J+1)   (J=0，1，2，···)

式中，I=μ  ，μ= 简并度为g_r,J=2J+1。

3.一维谐振子

εv=(v=1/2)hv   (v=0,1,2···)

式中，v=， k 为常数，μ为折合质量。能级为非简并的，即g_v,v=1。

4.电子及原子核

系统中全部离子的电子运动及核运动均处于基态。电子运动及核运动基态的简并度为常数。分子能级是各种独立运动能级之和，为

ε=ε_t+ε_r+ε_v+ε_e+ε_n

二、能级分布微态数及系统总微态数

1.定域子系统

W_D=N!

2.离域子系统

温度不太低时（即g _i >>n _i）W_D=

一般情况下W_D=

3．系统总微态数=

三、最概然分布与平衡分布

1.等概率定律

在N、U、V确定的情况下，假设系统各微态出现的概率相等。这个假设称为等概率定律。

P=

分布D出现的概率是

P_D=

2.最概然分布和平衡分布

在N、U、V确定的条件下，微态数量大的分布称为最概然分布。而当N很大时，出现的分布方式几乎可以用最概然方式来代表。

N、U、V确定的系统平衡时，粒子的分布方式几乎不随时间而变化的分布，称为平衡分布。

四、玻耳兹曼分布

n_i=

符合上式的分布称为玻耳兹曼分布。其中q为离子的配分函数。

q  =

任两个能级上分布n _i  , n _k之比为

=

任一能级i上分布的粒子数 n_i 与系统的总粒子数N之比为

=

五、粒子配分函数的计算

1.配分函数的析因子性质

q = q_t q _r q _v q _e q _n

2.能量零点的选择对配分函数的影响

若基态能级能量值为，以基态为能量零点时，能量值

q = ==q⁰

即q⁰ =q

常温下，平动及转动配分函数与能量零点选择几乎无关，但振动配分函数与能量零点选择有关，即 

       

因为   _v,0 =hv/2   

所以   =q_vexp(e⁵q_v

电子运动与核运动的配分函数与能量零点选择也无关。

3．配分函数的计算

（1）平动

= V

（2）转动（对线性刚性转子）

=  

其中 =

若设  =  则当 T >>  时

其中为绕通过质心，垂直于分子的旋转轴一周出现的不可分辨的几何位置的次数，即分子对称数。对线性刚性转子转动自由度为2。

（3）振动

₌=e^-hv/2kT

若设 =  ，x=  ，当 T<<时（常温），振动运动量子化效应突出，不能用积分代替加和；

₌₌

=

（4）电子运动

因为电子运动全部处于基态，电子运动能级完全没有开放，求和项中自第二项起均可忽略。所以

==Const

（5）核运动

==Const

六、系统的热力学能与配分函数的关系

U _i=NkT²

此处U _i 可代表：

总热力学能。

零点为时的热力学能U⁰ = U — N

平动能，表示相应的配分函数。

当U _i 代表转动能、振动能、电子能、核能时，与V无关，偏微商可以写作全微商。

 U _i 与  的关系：只有 = ，其余：

七、系统的摩尔定容热容与配分函数的关系

==

，与T无关， 与零点能选择无关。

=++

八、系统熵与配分函数的关系

1.玻耳兹曼熵定定理

S=kln

k为玻耳兹曼常数。

当N无限大时，最概然分布微态微  时，用  代替 ，则 S= ，这种近似方法称为摘取量大项原理。

2.熵与配分函数的关系

离域子系统：

S== +

定域子系统：

S=+=+

3.统计熵

通常把由统计热力学方法计算出系统的S_t 、S_r及S_v之和称为统计熵

S=S_t +S_r+S_v

S_m,t=R (理想气体)

S_m,r=Rln

S_m,r=Rln(1- )

九、其他热力学函数与配分函数的关系

1.A、G、H与配分函数的关系

（1）A=-kTlnQ

   Q= ,  A=—kT         （离子域子系统）

   Q=  ,  A=—kT         （定域子系统）

（2）G=—kT+ NkTV （离域子系统）

     G=—kT+ NkTV （定域子系统）

（3）H= NkT²+ NkTV

2.理想气体的标准摩尔吉布斯函数

—RT=—RT

3. 理想气体的标准摩尔吉布斯自由能函数

=—R

4.理想气体的标准摩尔焓函数

=—RT+R

十、理想气体反应的标准平衡常数

—=+

       = —

以平衡系统中各组分的粒子数 表示的平衡常数为

K_N=

其中，=

以平衡系统中各组分单位体积中的粒子数 表示的平衡常数为

K_C=

其中，分子浓度 C_B  N_B/V

第十章    界面现象

一、表面功、表面吉布斯函数和表面张力

在温度、压力和组成不变的条件下，可逆地使表面积增加dA_S  时，环境对体系所做的非体积功δ 称为表面功，表示为

δ=γdA_S

恒温、恒压下，可逆非体积功等于系统的吉布斯函数的增加，即

dG_T，p=δ=γdA_S

该式表明，若 dA_S<0 ，则 dG_T，p<0 ，即表面积减小的变化时自发的。

上式又可写作

γ=

  γ表示在单位面积上，表面层的分子比相同数量的内部分子多余的吉布斯函数，称表面吉布斯函数，其单位为J·m^-2     。

   γ又表示沿着液（或固）体表面并垂直作用在单位长度上的表面收缩力，称为表面张力，其单位为N·m^-1  。

一、       弯曲液面的附加压力和蒸气压

1.     弯曲液面的附加压力

弯曲液面下的液体或气体均受到一个附加压力  的作用，该  的大小可由拉普拉斯方程计算，该方程为

式中：  为弯曲液面内外的压力差；γ  为表面张力；r为弯曲液面的曲率半径。

注意：（1）计算 时，无论凸液面还是凹液面，曲率半径r一律取正数，并规定弯曲液面的凹面一侧压力为p_内，凸面一侧为p_内 ，一定是p_内  减p_外 ， 即

=p_内 —p_外

（2）附加压力的方向总指向曲率半径中心。

（3）对于在气相中悬浮的气泡，因液膜两侧有两个气液表面，所以气泡内气体所承受的附加压力为

=4γ/r

2.     弯曲液面附加压力引起的毛细现象

当液体润湿毛细管管壁时，则液体沿内管上升，其上升高度可按下式计算

h=2γcosθ/rg

式中：r 为液体表面张力； 为液体密度；g为重力加速度； 为接触角；r为毛细管内径。

注意：当液体不湿润毛细管时，则液体沿内管降低。

3.     微小液滴的饱和蒸气压——开尔文公式

RTln(p_r/p)= 2γM/r

式中： p_r 为液滴的曲率半径为r时的饱和蒸气压；p为平液面的饱和蒸气压； 、M 和γ分别为液体的密度、摩尔质量和表面张力。上式只用于计算在一定温度下，凸液面（如微小液滴）的饱和蒸气压随球形半径的变化。当计算毛细管凹液面（如过热液体中亚稳蒸气泡）的饱和蒸气压随曲率半径变化时，则上式的等式左边项要改写为RTln(p/ p_r)。无论凸液面还是凹液面，计算时曲率半径均取正数。

一、       固体吸附

固体表面的分子由于受力不均而具有剩余力场，对气体分子产生吸引力，使气体在固体表面聚焦，从而降低固体的表面自由能，这种现象称为吸附。按吸附剂与吸附质作用本质的不同，吸附可分为物理吸附和化学吸附。

用单位质量吸附剂所吸附气体的物质的量n或其在标准状况下所占有的体积V来表示吸附量

n^a=n/m或V^a=V/m

单位分别为mol·kg^-1 或m³·kg^-1。  

1.朗缪尔单分子层吸附等温式

朗缪尔从吸附动态平衡的基本观点出发，提出了在均匀固体表面、吸附分子间无相互作用，只发生单分子层吸附情况下的吸附理论，推导出朗缪尔吸附等温式

θ=

式中θ为覆盖率，θ=V^a/ ，表示固体表面被覆盖的分数；b为吸附平衡常数，又称吸附系数，b值越大，则表示吸附能力越强；p为平衡时的气相压力。朗缪尔吸附等温式也可以表示为

V^a=

式中  表示吸附搭饱和时的吸附量；V^a则表示覆盖为θ时的平衡吸附量。当压力很低或吸附较弱时，bp《1 ，则上式可简化为 V^a=bp；当压力足够高时或吸附较强时，bp》1   

则上式可简化为 V^a=。

2.吸附热力学

吸附式一个自发过程，是吉布斯函数下降的过程，= —T<0 。因吸附过程中，气体分子由三维空间被吸附到二维表面，自由度减小，<0 ，则 <0 。吸附通常为放热过程。

p₁和 p₂ 分别是在 T₁ 和 T₂ 下达到某一个相同吸附量时的平衡压力。温度升高时，要想维持同样的吸附量，必然要增大气体的压力，即若T₂>T₁ ，必然 p₂>p₁。

四、液—固体面

1.接触角与杨氏方程

当一液滴在固体表面上不完全展开时，在气、液、固三相汇合点，液—固界面的水平线与气—液界面切线之间通过液体内部的夹角 ，称为接触角。其角度大小取决于同时作用于O处的液体分子之上的固体表面张力γ^s 、液体界面张力γ^ls以及液体表面张力γ^l 。当平衡时，存在以下关系：

γ^s=γ^ls+γ^lcosθ

以上公式只使用于光滑的表面。

2.湿润与铺展

湿润是固体表面上的气体被液体取代的过程。按湿润程度的不同，分为沾湿、浸湿和铺展3种。θ<90^。的情形称为湿润；θ>90^。的称为不湿润；θ=0^。或不存在时称为完全湿润；θ=180^。    时称为完全不湿润。

铺展是少量液体在固体表面上自动展开，形成一种薄膜的过程。用铺展系数S作为衡量液体在固体表面能否铺展的判据。

S=—=γ^s-γ^ls-γ^l

S≧0时，可发生铺展，S越大，铺展性能越好；S﹤0，则不能铺展。

五、溶液表面的吸附

1.     溶液表面的吸附现象

溶液的表面张力随溶质的性质及浓度而变化，所以溶液会自动调节表面层的浓度而尽量降低表面自由能，导致溶液表面层的组成与本体溶液的组成不同，称这种现象为溶液表面的吸附作用。若溶质在表面层的浓度大于它在本体溶液中的浓度，则为正吸附，反之为负吸附。

2．吉布斯吸附等温式

吉布斯吸附公式描述了描述了溶质的表面吸附量  与溶质的活度和表面张力随溶质活度变化率之间的关系：

=—

对于稀溶液，可用溶质的浓度代替活度，并可略去下角标，表示为

=—

若<0得>0，表明凡增加浓度使表面张力降低的溶质在表面层发生正吸附；

若>0得<0，表明凡增加浓度使表面张力增大的溶质在表面层发生负吸附。

3.表面活性剂

凡融入某液体后能使某液体的表面张力显著降低，在液体表面产生正吸附的物质称为表面

活性剂。

按化学结构来分类，大体上可分为离子型和非离子型两大类。

表面活性剂物质的基本性质包括外表面定向排列和内部形成胶束，它们都能降低表面张力。

表面活性剂物质在溶液中开始形成胶束的最低浓度为临界胶束浓度。

第十一章    化学动力学

一、化学反应速率及速率方程

1.反应速率

单位时间单位体积内化学反应的反应进度为反应速率。

v(1/v_BV)(dn_B/dt)

反应速率的单位为mol·m^-3·s^-1。其与用来表示速率的物质B的选择无关，与化学计量式的写法有关。

对于恒容反

对于化学计量反应—······++

经常指定反应物A的消耗速率  = — 或某指定产物Z的生成速率 = 来表示反应进行的速率，则

==···=

各不同物质的消耗速率或生成速率与各自的化学计量数的绝对值成正比。

对于恒温恒容气相反应，= （恒容）

=vRT

2.     基元反应的质量作用定律

对基元反应 aA + bBP

其质量作用定律表示为 r=k

该式表示基元反应的速率与所用反应物浓度（带相应指数）的乘积成正比，其中浓度指数恰是反应式中各相应物质计量系数的绝对值。其中，比例系数k为基元反应的速率常数。

3.     反应速率方程

表示化学体系中反应速率与反应物的浓度间函数关系的方程式称为反应速率方程。由实验数据得出的经验速率方程一般可表示为

=—=k···

式中n_A 、n_B 等分别称为反应组分的反应分级数；n= n_A +n_B +···为反应的总级数。反应级数的大小表示浓度对反应速率影响的程度，级数越大，则反应速率受浓度的影响越大。

二、具有简单级数反应的速率方程及特点

                            

三、速率方程的确定

确定反应级数的三种常用方法：微分法、尝试法和半衰期法，后两种属于积分法。

1.     微分法

 —=k  是速率方程的微分式，应用此式求反应级数的方法即为微分法。

2.     尝试法

试差法又称为尝试法。就是看某一化学反应的c_A与t间的关系适合于哪一级数的动力学积分式，从而确定该反应的反应级数。

3.     半衰期法

半衰期法确定反应级数的依据是化学反应的半衰期和反应物初始浓度之间的关系与反应级数有关。

四、反应速率与温度的关系

阿伦尼乌斯公式

指数式 k=A·e

式中为活化能；A为指前因子（GB3102—93称“指前参量”）。

对数式 lnk=+lnA

微分式=

定积分式 =

五、典型复合反应

1.     对行反应

如以正、逆反应均为一级反应。

          AB

t=0            0 

t=t                 _—

t=           _—

      —=- （-）

      —=-（-）=0

     K_c=/=（-）/

     —d(-)/dt =(+)(-)

当 K_c 很大，即 》 ，  时

—=

2.     平行反应

当两个反应都是一级反应，则

=k₁

=k₂

若反应开始时，==0，则 ++= ，所以

—=(+  )

积分得ln(/)=(+  ) t

平行反应的特点：当组成平行反应每一个反应级数均相同时，则各个反应物的浓度比等于各反应的速率常数之比，而与反应物的起始浓度及时间无关。

3.     连串反应

假设由两个一级反应组成的连串反应。

              ABC

t=0                0       0   

t=t                       

      —=

      —=-

因为++=，则c_C=

六、复合反应速率的近似处理法

1.     选取控制步骤法

连串反应的总速率等于最慢一步的速率。最慢的一步称为反应速率的控制步骤。控制步骤的反应速率常数越小，其他各串联步骤的速率常数越大，则此规律就越准确。这时，要想使反应加速进行，关键就在于提高控制步骤的速率。

2.     平衡态近似法

对于反应处理

A  +  B    C    (快速平衡)

Ck₂D                  （慢）

若最后一步为慢步骤，因而前面的对行反应能随时近似维持平衡。从化学动力学角度考虑，上面的快速平衡时正向、逆向反应速率近似视为相等。

3.     稳态近似法

在连串反应中

ABC

若中间物B很活泼，极易继续反应，则必k₂》k₁ 。就是说第二步反应比第一步反应快的多，B一旦生成，就立即经第二步反应掉，所以反应系统中B基本上没什么积累，c_B 很小。这时B的浓度使处于稳态或定态。所以稳态或定态就是指某中间物的生成速率与消耗速率相等以致其浓度不随时间变化的状态。

七、基元反应速率理论

1.简单碰撞理论

（1）双分子气体反应的碰撞数  （碰撞频率）

同种分子

异种分子

（2）双分子气体反应速率

同种分子

异种分子

其中  为  能。

2.过渡状态理论（活化络合物理论）

（1）浓度  为标准时的速率常数

其中  为玻耳兹曼常量，h为普朗克常量，n为所用反应物系数之和。

（2）对气相反应，以  为标准态时的速率常数

（3）溶液中离子反应速率的原盐效应

其中z_A 、z_B  为离子A、B的电荷；I为离子强度；k₀为各种离子和活化络合物的活度系数均为1时的速率常数；25℃ 的水溶液A=0.509。

八、量子效率与量子产率

量子效率

量子产率

第十二章    胶体化学

一、胶体系统特点

分散相粒子在某方向上在1-1000mm范围的高分散系统称为胶体。可分溶胶、高分子溶液、缔合胶体3类。具有可透明或不透明性，但均可发生光散射，胶体粒扩散速率慢，不能透过半透膜，具有较高的渗透压的特点，其主要特征是高度分散的多相性和热力学不稳定性。

二、光学性质

当将点光源发出的一束可见光照射到胶体系统时，在垂直于入射光的方向上可观察到一个发亮的光锥，此现象称为丁铎尔现象。丁铎尔现象产生的原因是胶体粒子大小小于可见光的波长，而发生光的散射的结果。散射光的强度I可由瑞利公式计算：

I=(1+cos²α)I₀

式中：I₀及λ表示入射光的强度与波长；n及n₀ 分别为分散相及分散介质的折射率；α为散射角，即观测方向与入射光之间的夹角；V为单个分散相粒子的体积；C为分散相的数密度；l 为观测者与散射中心的距离。此式适用于粒子尺寸小于入射光波长，粒子看成点光源，而且不导电，还有不考虑粒子的散射光相互发生干涉。

三、胶体系统的动力性质

1.布朗运动

胶体粒子由于受到分散介质分子的不平衡撞击而不断地做不规则的运动，称此运动为布朗运动。其平衡位移可按下列爱因斯坦-布朗位移公式计算

=(RTt/3Lπrη)

式中：t为时间，r为粒子半径， η为介质的粘度。

2.扩散、沉降及沉降平衡

扩散：指当有浓度梯度存在时，特质粒子（包括胶体粒子）因热运动而发生宏观上的定向迁移现象。

沉降：指胶体粒子因受重力作用而发生下沉的现象。

沉降现象：当胶体粒子的沉降速率与其扩散速率相等时，胶体粒子在介质的浓度随高度形成一定分布并且不随时间而变，这一状态称为胶体粒子处在沉降平衡。其数密度C与高度h的关系为

Ln(C₂/C₁) =—（Mg/RT）[{1-}(h₂-h₁)]

式中：  及  分别为粒子及介质的密度，M为粒子的摩尔质量，g为重力加速度。此式适用于单级分散粒子在重力场中的沉降平衡。

四、胶体的电学性质

胶粒表面电荷来源于电离作用、吸附作用和摩擦带电荷等。

施特恩（Stern）双层模型表示为图12-1所示。若固体表面带正电荷，则双电层的溶液一侧由两层组成，第一层是吸附在固体表面的反离子（与固体表面所带电荷相反），称为紧密层，第二层为扩散层。固体表面与溶液本体之间的电势差  称为热力学电势；紧密层与扩散层的分界处同溶液本体之间的电势差 称为施特恩电势；滑动面与溶液本体之间的电势差称为电势（亦称电动电势）。

1.电动现象

在外电场的作用下，胶体粒子在分散介质中定向移动的现象，称为电泳。

若在多孔膜（或毛细管）的两端施加一定电压，分散介质将通过多孔膜而定向流动，称为电渗。

在外力的作用下，迫使分散介质通过多孔隔膜（或毛细管）定向流动，多孔隔膜两端所产生的电势差（它是电渗的逆现象）称为流动电势。

分散相粒子在重力场或离心力场的作用下迅速移动时，在移动方向的两端所产生的电势差（它是电泳的逆现象）称为沉降电势。

2.胶团的结构

胶团的结构（以KI过量的AgI溶胶为例）可表示为：

胶核一般选择吸附与胶核同组分的离子或能与胶核表面反应生成难溶物的物质。

五、溶胶的稳定与聚沉

溶胶稳定的原因有3个：胶体粒子带电、溶剂化作用和布朗运动。

聚沉：是指溶胶中胶粒互相聚集结成大颗粒，直到最后发生沉淀的现象。导致溶胶聚沉的因素很多，但电解质加入进溶胶发生沉淀的作用是显著的，为比较不同电解质对溶胶聚沉作用的大小而引进聚沉值，聚沉值是指令溶胶发生明显的聚沉所需的电解质最小浓度。聚沉值的倒数值称为聚沉力。

应指出：起聚沉作用的主要是与胶粒带相反电荷的离子（即反离子），反离子价数越高则聚沉值越小。离子价数及个数均相同的不同反离子，其聚沉能力亦不相同，如

H²>Cs⁺>Rb⁺>>K⁺>Na⁺>Li⁺

F^—>Cl^—>Br^—> NO₃^—> I^—> SCN^—> OH^—