数列方法总结

时间:2024.3.23

<1>在等差数列

(这里即中,当项数为偶数);时,

。 ;项数为奇数时,,如(2)若等差数列、的前和分别为、,且,则.如设{}与

{}是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么___________(答:)

<2>“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前项是关于的二次函

数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

能求一般数列中的最大或最小项吗

如(1)等差数列(2)若

中,,。上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:前13项和最大,最大值为169);,

成立的最大正整数n是 (答:4006) 是等差数列,首项,则使前n项和

<3> 若是等比数列,则、、成等比数列;若成等比数列,则、

成等比数列;若

时,数列

如①已

是等比数列,且公比

,则数列

,?也是等比数列。当,且为偶数 ,?是常数数列0,它不是等比数列。 且,设数

列满

足,

且,

. (答:

则的值为______(答:40)

<4>

如设等比数列的公比为,前。 项和为);②在等比数列中,为其前n项和,若,,若成等差数列,则的值为_____(答:-2)

<5>在等比数列中,当项数为偶数时,;项数为奇数时,。

如设数列的前项和为

(),

关于数列

有下列三个命题:①若

,则既是等差数列又是等比数列;②若真命题的序号是 (答:②③)

一.数列的通项的求法:

,则是等差数列;③若,则是等比数列。这些命题中,

⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

如已知数列试写出其一个通项公式:__________(答:) ⑵已知(即)求,用作差法:。

如①已

知的前项和满

足,

求(答

:);②数

列满

足,求(答:) ⑶已知求,用作商法:。

如数列中,对所有的都有,则______(答:) ⑷若求

用累加法:。

如已知数列 满足

,,则=________(答:)

⑸已知 求

,用累乘法:。

如已知数列中,,前项和,若,求(答:) ⑹已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地,

(1)形如再求。 、(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后, 如①已

); ,

求(答

:);②已

知,

求(答

(2)形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知,求(答:);②已知数列满足=1,,求(答:)

二.数列求和的常用方法:

(1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

;;.

如①等比数列的前项和Sn=2-1,则n=_____(答:

表示二进制数,将它转换成十进制形式是);②计算机是将信息转换成,二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”,如

那么将二进制转换成十进制数是_______(答:)

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和。

如求:(答:)

(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法)。

如①求证

:;②已

知,

=______(答:)

(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前

和公式的推导方法)。

如(1)设为等比数列,,已知,,①求数列的首项和公比;②求数列的通项公式.(答:①满足

:,;②);(2

)设函数

,①求证:数

列,数列是等比数列;②

,求函数在点处的导数,并比较与的大小。

(答:①略;②

,当

时,

;当

时,

<

;当

时,

>)

(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

①; ②; ③,; ④ ;⑤; ⑥.

如①求和:9,则n=_____(答:99); (答:);②在数列中,,且Sn=

(6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。

如①求数列1×4,2×5,3×6,?

,,?前项

和= (答

:);②求和

: (答:)


第二篇:排列方法总结


排列方法总结

1、 特殊元素的“优先安排法”:对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊的元素,再考虑其他的元素。

例1:用0、1、2、3、4、这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数的个数有多少?

2、 总体淘汰法:对于含有否定词语的问题,可以从总体中把不符合要求的减去,但是应注意不能多减也不能少减。

例1、

3、 合理分类与准确分步:解含有约束条件的排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

例2:五人从左到右站成一排,其中 甲不站在排头,乙步站在第二个位置,那么不同的站法有多少?

4、 相邻问题用“捆绑法”:对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”在一起,看做一个“大”的元素与其他元素排列,燃烧在对相邻的元素内部进行排列。

例:7人站成一排照相,要求甲乙丙三人相邻,分别有多少种不同的排法?

5、 不相邻问题用“插空法”:对于某些元素不相邻的排列问题,可以现将其他的元素排列好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间以及两端的空隙之间插入即可。 例:7人站成一排照相,要求甲乙丙三人不相邻,分别有多少种不同的排法?

6、 顺序固定问题用“除法”:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总得排列数除以这几个元素的全排列数。 例:5人排队甲在乙的前面的排法有几种?

7、 消序

例:有4个男生,3个女生,高矮互不相等,先将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少中排法?

8、 分排问题用“直排法”:把n个元素排成若干排的问题,若没有其他的特殊要求,课采取统一排成一排的方法来处理。

例:7人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐4人,则有多少种排法?

9、 特征分析:研究有约束条件的排数问题,需要紧扣题目提供的数字特征、结构特征,进行推理、分析求解。

例:由1、2、3、4、5、6六个数可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数?

10、 住店法:解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类元素不能重复。把不能重复的元素看做“客”,能重复的元素看做“店”,再利用乘法原理直接求解。

例:7名学生争夺5项冠军,获得冠军可能的种数有多少?(注:几个学生不能同时夺得同一项冠军,所以冠军是不能重复的)

练习:

1、 四个人各写一张贺卡,放在一起,再各区一张不是自己送出的可卡,有多少种不同的方

法?

2、 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格中,每个方格填一个数,则每个

放个的标号与所填数字均不相同的填法种数有多少?

3、 七名师生站成一排表演节目,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各

有多少种不同的站法?

(1) 两名女生必须相邻而站;

(2) 4名男生互不相邻;

(3) 若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站;

(4) 老师不站在中间,女生不站在两端。

4、 五男五女共十名同学排成一行,

(1) 女生都排在一起,有多少种排法?

(2) 女生男生想间,有几种排法?

(3) 任何两个男生都不相邻,有几种排法?

(4) 5名男生不排在一起,有几种排法?

(5) 男生甲与男生乙中间必须排并且只能排2名女生,女生又不能站在队伍两端,

有几种排法?

5、 用0、1、2、?、9十个数字可组成多少个没有重复数字的五位奇数?多少个没有重复

数字的大于30000的五位偶数?

6、 用1、2、3、4、5、6、这六个数字可组成多少没有重复数字且不能被5整除五位数?

7、 八个人排成一排,其中甲乙丙3个人中,有两人相邻,但这三个人不同是相邻的排列法

有多少种?

8、 七名班委中有A、B、C,有7种不同的职务,现对7名班委进行职务具体分工

(1) 若正副班长两职只能由这三个人中选两人担任,有多少种分工方案?

(2) 若正副班长两职至少要选这三人中的1人担任,有多少种分工方案?

9、 一条铁路原有n个车站,为适应客运需求,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加

了62种,问原有多少个车站?现有多少个车站?

10、 5张1元币,4张1角币,1张5分币,2张2分币,可以组成多少种不同的币值

(一张不取,即0元0角0分步记在内)?

11、 自然数2520有多少个正约数?

12、 从1、2、3、4、7、9中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数和真数,能得

到多少个不同的对数值?

13、 “机会均等问题”

例1、 用0、1、2、3、4、5组成的无重复数字的个位数字小于十位数字的五位数有多少个? 例2、 A、B、C、D、E这五个人排成一排,如果B必须在A的右边(A、B可以不相邻),

那么不同的排法有多少种?


第三篇:数列方法总结


<1>在等差数列

(这里即中,当项数为偶数);时,

。 ;项数为奇数时,,如(2)若等差数列、的前和分别为、,且,则.如设{}与

{}是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么___________(答:)

<2>“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前项是关于的二次函

数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

能求一般数列中的最大或最小项吗

如(1)等差数列(2)若

中,,。上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:前13项和最大,最大值为169);,

成立的最大正整数n是 (答:4006) 是等差数列,首项,则使前n项和

<3> 若是等比数列,则、、成等比数列;若成等比数列,则、

成等比数列;若

时,数列

如①已

是等比数列,且公比

,则数列

,?也是等比数列。当,且为偶数 ,?是常数数列0,它不是等比数列。 且,设数

列满

足,

且,

. (答:

则的值为______(答:40)

<4>

如设等比数列的公比为,前。 项和为);②在等比数列中,为其前n项和,若,,若成等差数列,则的值为_____(答:-2)

<5>在等比数列中,当项数为偶数时,;项数为奇数时,。

如设数列的前项和为

(),

关于数列

有下列三个命题:①若

,则既是等差数列又是等比数列;②若真命题的序号是 (答:②③)

一.数列的通项的求法:

,则是等差数列;③若,则是等比数列。这些命题中,

⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

如已知数列试写出其一个通项公式:__________(答:) ⑵已知(即)求,用作差法:。

如①已

知的前项和满

足,

求(答

:);②数

列满

足,求(答:) ⑶已知求,用作商法:。

如数列中,对所有的都有,则______(答:) ⑷若求

用累加法:。

如已知数列 满足

,,则=________(答:)

⑸已知 求

,用累乘法:。

如已知数列中,,前项和,若,求(答:) ⑹已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地,

(1)形如再求。 、(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后, 如①已

); ,

求(答

:);②已

知,

求(答

(2)形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知,求(答:);②已知数列满足=1,,求(答:)

二.数列求和的常用方法:

(1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

;;.

如①等比数列的前项和Sn=2-1,则n=_____(答:

表示二进制数,将它转换成十进制形式是);②计算机是将信息转换成,二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”,如

那么将二进制转换成十进制数是_______(答:)

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和。

如求:(答:)

(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法)。

如①求证

:;②已

知,

=______(答:)

(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前

和公式的推导方法)。

如(1)设为等比数列,,已知,,①求数列的首项和公比;②求数列的通项公式.(答:①满足

:,;②);(2

)设函数

,①求证:数

列,数列是等比数列;②

,求函数在点处的导数,并比较与的大小。

(答:①略;②

,当

时,

;当

时,

<

;当

时,

>)

(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

①; ②; ③,; ④ ;⑤; ⑥.

如①求和:9,则n=_____(答:99); (答:);②在数列中,,且Sn=

(6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。

如①求数列1×4,2×5,3×6,?

,,?前项

和= (答

:);②求和

: (答:)

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