泛函分析课程总结

数学与计算科学学院     09数本5班    符翠艳   2009224524    序号：26

一．知识总结

第七章                     度量空间和赋范线性空间

1.      度量空间的定义：设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之相对应，而且满足

则称为上的一个度量函数，（）为度量空间，为两点间的度量。

2.      度量空间的例子

①离散的度量空间

设是任意的非空集合，对中任意两点,令

②序列空间S

令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点，令

③有界函数空间B（A）

 设A是一给定的集合，令B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点，定义

④可测函数空间m(X)

设m(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体，m为L测度，若，对任意两个可测函数，令

⑤空间

令表示闭区间上实值（或复值）连续函数的全体，对中任意两点，定义

⑥空间

记，设，，定义

注：度量空间中距离的定义是关键。

3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间

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泛函分析知识点小结及应用

    §1  度量空间的进一步例子

    设是任一非空集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足

1．非负性：，=0;

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对，都有+，  则称(，)为度量空间，中的元素称为点。

    欧氏空间  对中任意两点和，规定距离为   =.

    空间  表示闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.

    （空间  记=.

设，，定义  =.

例1 序列空间

令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令

=. 

例2 有界函数空间

设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.

例3 可测函数空间

设为上实值(或复值)的可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令   =.

§2 度量空间中的极限

    设是中点列，若，s.t.

                                        ()

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泛函分析知识点小结及应用

第七章  度量空间

    §1  度量空间的进一步例子

    一    度量空间的定义

    设是任一非空集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足

1．非负性：，=0;

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对，都有+，  则称(，)为度量空间，中的元素称为点。

    欧氏空间  对中任意两点和，规定距离为   =.

    空间  表示闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.

    （空间  记=.

设，，定义  =.

    二    度量空间的进一步例子

例1 序列空间

令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令 =. 

例2 有界函数空间

设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.

例3 可测函数空间

设为上实值(或复值)的可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令   

=.

§2 度量空间中的极限

    设是中点列，若，s.t.

                                        ()

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泛函分析知识总结与举例、应用

学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、   度量空间和赋范线性空间

（一）度量空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是维欧氏空间（有限维空间）的推

广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0   （非负性）

2°d(x,y)= d(y,x)    （对称性）

3°对z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)   （三点不等式）

则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴ 定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上若有两个不同的度量函数和，则我们认为(X, )和(X, )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若，则称为“X中的点” 。

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泛函分析课程论文

泛函分析课程的知识体系总结各个知识点之间的区别和联系

（一）、度量空间和赋范线性空间

第一节  度量空间的进一步例子

1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得x,y,zX,下列距离公理成立：

（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0x=y;

（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);

则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）

2.几类空间

例1          离散的度量空间

例2          序列空间S

例3          有界函数空间B(A)

例4          可测函数空M(X)

例5          C[a,b]空间 即连续函数空间

例6          l²

第二节          度量空间中的极限，稠密集，可分空间

1.       开球

定义  设（X,d）为度量空间，d是距离，定义

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泛函分析课程论文

数学与计算科学学院  09数本2班  黄丽萍  2009224725

大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。首先，理解下“泛函分析”这个概念。

泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。

第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。

§1 度量空间

§1.1 定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有

（1）当且仅当；

（2）；

（3），

则称为上的度量，称为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式）

其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子

例：1、离散的度量空间，设是一个非空集合，，当。

2、序列空间 ，是度量空间

3、有界函数全体 ，是度量空间

4、连续函数，是度量空间

5、空间，是度量空间

§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间

§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果是中点列，如果，使，则称点列是中的收敛点列，x是点列的极限。

同样的类似于，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。

§1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。

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《泛函分析》复习与总结

(20##年6月26日星期四 10:20---11:50)

第一部分空间及其性质

泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间

（1）距离空间 （集合+距离）

！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于

(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；

(ii) 【对称性】；

(iii) 【三角不等式】。

       距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

       （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）

！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立

(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；

(ii) 【齐次性】；

(iii) 【三角不等式】。

赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间（）、空间（）、空间、空间、Banach空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间 （线性空间 + 内积）

！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立

(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；

(ii) 【第一变元可加性】；

(iii) 【第一变元齐次性】；

(iv) 【共轭对称性】。

内积空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间、空间。

注.        1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系:

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