第八章圆锥曲线图表总结

针对于焦点在x轴上的曲线来说 第二定义

注：圆的方程为：，设，叫做离心角，则参数方程为（为参数），如图：。       

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椭圆的定义：

直线与椭圆相交于A与B两点，且AB过其中一个焦点，则

的周长        

双曲线的定义：

等轴双曲线：

1、抛物线顶点坐标：           ，

2、抛物线的离心率为             ，

3、抛物线焦点所在的轴与         一致。

4、直线与抛物线相交于A与B两点，且AB过焦点F，则=         。

5、直线与圆锥曲线相交于A与B两点，弦长公式：                    

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圆锥曲线知识点回顾

 1．椭圆的性质

e越大椭圆越扁；e越小椭圆越圆。

 2．双曲线的性质

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

(2) 等轴双曲线：

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

e越大,双曲线开口越宽；e越小,双曲线开口越窄。

 3．抛物线中的常用结论

 (4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．

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高中数学圆锥曲线选知识点总结

一、椭圆

1、定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．

即：|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

二、双曲线

1、定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于

F1F2）的点的轨迹称为双曲线．即：||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质：

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线

1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 2、抛物线的几何性质：

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于?、?两点的线段??，称为抛物线的“通径”，即???2p． 4B(x2,y2)，直线AB设AB为过抛物线y2?2px(p?0)焦点的弦，A(x1,y1)、

的倾斜角为?，则

p22p

⑴x1x2?,y1y2??p2;⑵AB?; 2

4sin?

⑶以AB为直径的圆与准线相切； ⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为⑸

?

2

；

112??. |FA||FB|P

四、直线与圆锥曲线的位置关系

??几何角度(主要适用于直线与圆的位置关系)直线与圆锥曲线的位置关系????代数角度（适用于所有直线与圆锥曲线位置关系）

1.直线与圆锥曲线?

?直线与圆锥曲线相交的弦长问题?利用一般弦长公式（容易）

??

?利用两点间距离公式（繁琐）?

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

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圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

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椭圆 必背的经典结论

1.         点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角.

2.         PT平分△PF₁F₂在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7.         椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

8.         椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

,( , ).

9.         设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

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