第一章 复数的运算与复平面上的拓扑
1.复数的定义
一对有序实数(x,y)构成复数,其中.,
X称为复数的实部,y称为复数的虚部。
复数的表示方法
1)模:;
2)幅角:在时,矢量与轴正向的夹角,记为(多值函数);主值是位于中的幅角。
3)与之间的关系如下:
当;
当
4)三角表示:,其中;注:中间一定是“+”
5)指数表示:,其中
2.复数的四则运算
1).加减法:若,则
2).乘除法:
3)若,则
;
。
4)若, 则;
5.无穷远点得扩充与扩充复平面
复平面对内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而N点本身可代表无穷远点, 记作¥.这样的球面称作复球面
这样的球面称作复球面.
扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞
复平面的开集与闭集
复平面中领域,内点,外点,边界点,聚点,闭集等概念
复数序列的极限和复数域的完备性
复数的极限,,柯西收敛定理,魏尔斯特拉斯定理,聚点定理等从实数域里的推广,可以结合实数域中的形式来理解。
第二章 复变量函数
1.复变量函数的定义
1)复变函数的反演变换(了解)
2)复变函数性质
反函数
有界性
周期性,
3)极限与连续性
极限:
连续性
2.复变量函数的形式偏导
1)复初等函数
2)指数函数:,在平面处处可导,处处解析;且。注:是以为周期的周期函数。(注意与实函数不同)
3)对数函数: (多值函数);
主值:。(单值函数)
的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且;
注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)
4)乘幂与幂函数:;
…… …… 余下全文