篇一 :复变函数总结

第一章  复数的运算与复平面上的拓扑

1.复数的定义

一对有序实数(x,y)构成复数,其中.

X称为复数的实部,y称为复数的虚部。

复数的表示方法

1)模:

2)幅角:时,矢量与轴正向的夹角,记为(多值函数);主值是位于中的幅角。

3)之间的关系如下:

   当

   当

4)三角表示,其中;注:中间一定是“+”

5)指数表示,其中

2.复数的四则运算

1).加减法:若,则

2).乘除法

3)若,则

  

4)若, 则

5.无穷远点得扩充与扩充复平面

复平面对内任一点z, 用直线将zN相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
N点本身可代表无穷远点, 记作¥.这样的球面称作复球面
这样的球面称作复球面.

扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞

复平面的开集与闭集

复平面中领域,内点,外点,边界点,聚点,闭集等概念

复数序列的极限和复数域的完备性

复数的极限,,柯西收敛定理,魏尔斯特拉斯定理,聚点定理等从实数域里的推广,可以结合实数域中的形式来理解。

第二章 复变量函数

1.复变量函数的定义

1)复变函数的反演变换(了解)

2)复变函数性质

反函数

有界性

周期性,

3)极限与连续性

极限:

连续性

 

2.复变量函数的形式偏导

1)复初等函数

2)指数函数:平面处处可导,处处解析;且。注:是以为周期的周期函数。(注意与实函数不同)

3)对数函数: (多值函数)

主值。(单值函数)

的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且

注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)

4)乘幂与幂函数:

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篇二 :复变函数总结完整版

第一章      复数

1   =-1            欧拉公式       z=x+iy

   实部Re z                        虚部   Im z

2运算     ①       

         共轭复数

              共轭技巧

运算律       P1页

3代数,几何表示

           z与平面点一一对应,与向量一一对应

辐角 当z≠0时,向量z和x轴正向之间的夹角θ,记作θ=Arg z= k=±1±2±3…

把位于-π<≤π的叫做Arg z辐角主值 记作=

4如何寻找arg z

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篇三 :《复变函数》总结

复变小结

1.幅角(不赞成死记,学会分析)

-∏<arg z≤∏

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2    Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2

2. 求根:

 由z==r(cos+isin)得  ==(cosn+isinn)  

当r=1时,=    (*1)

rgz1-Argz2

  

w=                                     

                                                                        (*2)

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篇四 :复变函数小结

学习复变函数心得 

    在这一学期,我学了复变函数这门课程,使我受益良多,也有挺多的学习心

得感受。所以,接下来,我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。 

我认为,在接触一门新的课程时,不妨先了解其发展历史,这样,对以后的深入学习也有一定的帮助,而且,在学了之后,也不至于连这一学科怎么来的,为何会产生都不清楚。所以,在老师的讲解下及上网看的一些资料后,我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。 

复变函数,又称为复分析,是分析学的一个分支。它产生于十八世纪,其中,欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。而到了十九世纪,这时,可以说是复变函数这门学科的黄金时期,在这段时期,它得到了全面的发展,是当时公认的最丰饶的一个数学分支,也是当时的一个数学享受。其中,Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。到了二十世纪,复变函数继续发展,其研究领域也更加广泛了。而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。 

知道了复变函数这一学科简单的发展历程后,那么接下来,我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。 

复变函数这门课程是将数从实数域拓展到复数域,在一开始书中介绍了什么是复数及其一些简单的四则运算,而这些在中学时就已经有过接触了,所以,在一开始还是挺容易上手的。而接下来,讲的就是复平面及复数的模跟辐角,还有就是复变函数的概念及其极限与连续。需要说一下的是,复变函数的概念跟实变函数概念的不同,实变函数是单值函数,而复变函数可以是单值函数也可以是多值函数,这对以后的深入学习还算比较重要的。 

在学习接下来的第二章,主要讲的是解析函数及初等多值函数。而在学习解析函数时,我觉得,最主要的就是掌握柯西—黎曼方程,它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用,就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的,所以掌握它还是挺重要的。接下来就是初等多值函数,这一部分比较难,但也挺有意思的。在老师讲解下及自己的研究后,对这一部分还是有点收获的。学习这一部分的内容,首先要理解为什么要对平面进行切割,接着,就是要学会寻找支点及切割方法,还有就是那些辐角的变化也要搞清楚,只要将这几点掌握了,

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篇五 :复变函数总结

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篇六 :《复变函数》总结

复变小结

1.幅角(不赞成死记,学会分析)

-∏<arg z≤∏

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2    Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2

2. 求根:

 由z==r(cos+isin)得  ==(cosn+isinn)  

当r=1时,=    (*1)

rgz1-Argz2

  

w=                                     

                                                                        (*2)

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篇七 :复变函数论总结

1

复变函数论总结

摘要:对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结,对这一章也有了深入的认识,通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式,学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开,以及应用留数定理计算实变函数定积分,傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词:复数;导数;解析;积分;柯西公式、定理;幂级数展开;留数;傅立叶积分与傅立叶变换

1 引言

《复变函数论主要内容》

第一章 复变函数 complex function

第二章 复变函数的积分 complex function integral

第三章 幂级数展开 power series expansion

第四章 留数定理 residual theorem

第五章 傅立叶变换 Fourier integral transformation

第一章 复变函数

§1.1 复数及复数的运算

§1.2 复变函数

§1.3导数

§1.4解析函数

§1.1 复数及复数的运算

1. 复数的概念

的数被称为复数,其中。

; ;i为虚数单位,其意义为

当且仅当时,二者相等

复数与平面向量一一对应

虚轴 y z平面 r

. (x,y)

2

x实轴

幅角 (k)

注意:复数“零”(即实部和虚部都等与零的复数)的幅角没有明确意义

2. 复数的表示

代数表示

三角表示

指数表示

一个复数z的共轭复数

注意:在三角表示和指数表示下,两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差

3. 无限远点

在复变函数论中,通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应,而且称这一点为无限远点,我们把无限远点记作,它的模为无限大,幅角则没有明确意义

4. 复数的运算

复数的加法法则:

复数与的和定义是

两个复数的和依然是复数,它的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律,且

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篇八 :复变函数积分方法的思考总结

复变函数积分方法的思考总结

                         钱学森11  陈海琪  2110405004

摘要:函数的积分问题是复变函数轮的主要内容,也是其基础部分,因此有必要总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有:利用柯西积分定理,柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。

关键词:积分,解析,函数,曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分,积分路径C是连接由0到的直线段.

解:为从点0到点的直线方程,于是

              

              

               .

2.利用柯西积分定理求积分

柯西积分定理:设在单连通区域内解析,内任一条周线,则.

柯西积分定理的等价形式:设是一条周线,之内部,在闭域上解析,则.

例2、求,其中为圆周

解:圆周,被积函数的奇点为,在的外部,

于是,在以为边界的闭圆上解析,

故由柯西积分定理的等价形式得.

如果为多连通区域,有如下定理:

是由复周线所构成的有界多连通区域,内解析,在上连续,则.

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