1． （3分） 若,则

2. （3分） 曲面在点处的法线方程为

3. （3分） 微分方程的通解为

4. （3分）设是以为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表达式为    

1. （4分）级数为(    ).

(A)发散  (B)条件收敛  (C)绝对收敛   (D)收敛性不确定

2. （4分）设曲面与所围成的空间立体的体积为若该立体在第一卦限部分的体积是则（    ）.

(A)  (B)   (C)  (D)  

3. （4分）二重积分在极坐标系下的面积元素为（    ）.

(A)  (B) (C)   (D) 

4. （4分）若可微函数在点处取得极小值，,则下列结论中正确的是(    ).

(A)在处的导数大于零     (B)在处的导数等于零

(C) 在处的导数小于零    (D) 在处的导数不存在

1.   （6分）设求

2.   （6分）设由方程所确定，求

1.（6分）计算二重积分其中是由直线及所围成的闭区域.

2.（6分）将函数展开为麦克劳林级数.

3.（6分）在斜边边长为定数的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.

1. （6分）计算曲线积分其中为及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

2.（6分）求曲面积分其中为锥面的下侧.

1.（6分）计算曲线积分其中是由直线所围成的三角形的正向边界.

2. （6分）判别级数的敛散性.

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高数（下）小结

一、微分方程复习要点

    解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法

求出其通解.

                          一阶微分方程的解法小结：

                  

二阶微分方程的解法小结：

齐次方程的通解为：

非齐次方程的特解的形式为：

主要:

一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法

在求时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.

 2、复合函数的偏导数的求法

设，，，则

，

几种特殊情况：

1），，，则

2），，则，

3），则，

3、隐函数求偏导数的求法

1）一个方程的情况

设是由方程唯一确定的隐函数，则

    ，   

或者视，由方程两边同时对求导解出.

2）方程组的情况

由方程组两边同时对求导解出即可.

二、全微分的求法

方法1：利用公式

方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

              

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高数（下）小结

一、微分方程复习要点

    解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法

求出其通解.

                           一阶微分方程的解法小结：

                  

二阶微分方程的解法小结：

齐次方程的通解为：

非齐次方程的特解的形式为：

主要:

一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法

在求时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.

 2、复合函数的偏导数的求法

设，，，则

，

几种特殊情况：

1），，，则

2），，则，

3），则，

3、隐函数求偏导数的求法

1）一个方程的情况

设是由方程唯一确定的隐函数，则

    ，   

或者视，由方程两边同时对求导解出.

2）方程组的情况

由方程组两边同时对求导解出即可.

二、全微分的求法

方法1：利用公式

方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

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第八章 向量与解析几何

第十章 重积分

第十一章曲线积分与曲面积分

所有类型的积分：

1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；

3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章 级数

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第八章 向量与解析几何

第九章 多元函数微分法及其应用

第十章 重积分

第十一章曲线积分与曲面积分

所有类型的积分：

1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；

3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章 级数

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高等数学下册公式总结

1、N维空间中两点之间的距离公式：的距离

2、多元函数求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如，表示对x求偏导，计算时把y 当作常量，只对x求导就可以了。

3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。

4、多元函数的全微分公式： 。

5、复合函数，其导数公式：。

6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： ，其中分别表示对x,y求偏导数。

   方程组的情形：：

，，，。

7、曲线的参数方程是：，则该曲线过点的法平面方程是：

切线方程是：。

8、曲面方程＝0在点处的法线方程是： ，

切平面方程是：。

9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：

第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值

第二步：求出

第三步：判断AC-B²的符号，若AC-B²大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值；若AC-B²小于零则无极值；若AC-B²等于零则无法判断

10、双重积分的性质：

（1）

（2）

(3)

(4)若，则

（5），其中s为积分区域D的面积

（6），则

（7）积分中值定理：，其中是区域D中的点

11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式），有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定

12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法

13、曲线、曲面积分：

（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，，则

（2）格林公式：

14、向量的加法与数乘运算：，则有，  ，若，则

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积分方法大盘点

现把我们学了的积分方法做个大总结。

1、二重积分

1.1 X型区域上二重积分（必须的基本方法）

（1）后x先y积分，D往x轴上的投影得区间[a,b]；

（2）"x [a,b]，X=x截D得截线y1(x)＃yy2(x)（小y边界y=y1(x)大y边界y=y2(x)）；

（3）by(x)蝌f(x,y)dxdy=蝌dx2f(x,y)dyay

D1(x)

1.2 Y型区域上二重积分（必须的基本方法）

（1）后y先x积分，D往y轴上的投影得区间[c,d]；

（2）"y [c,d]，Y=y截D得截线x1(y)＃xx2(y)（小x边界x=x1(y)大x边界x=x2(y)）；

（3）dx蝌f(x,y)dxdy=蝌dy2(y)f(x,y)dxcx

D1(y)

1.2 极坐标二重积分（为简单的方法）

（1）总是后q先r积分；

（2）br蝌f(x,y)ds=蝌dq2(q)f(rcosq,rsinq)rdr

ar(q)

D1

其中，在D上a是最小的q，b是最大的q；"q [a,b]，射线Q=q截D得截线r1(q)＃rr2(q)（小r边界r=r1(q)大r边界r=r2(q)）。用坐标关系x=rcosq，y=rsinq和面积元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一个因子r）。

当积分区域D的边界有圆弧，或被积函数有x2+y2时，用极坐标计算二重积分特别简单。

离 散

数 学 2、三重积分 2.1 二套一方法（必须的基本方法） （1）几何准备 (i) 将积分区域W投影到xOy面，得投影区域Dxy； (ii) 以Dxy的边界曲线为准线，作一个母线平行于z轴的柱面．柱面将闭区域W的边界曲面分割为上、下两片曲面S2:z=z2(x,y（)大z边界）；S1:z=z1(x,y（)小z边界）（"(x,y) Dxy，过(x,y)点平行于z轴的直线截W得截线z1(x,y)＃zz2(x,y)）； （2）z蝌蝌f(x,y,z)dxdydz=蝌dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。 WD1(x,y)xy还有两种（W往xOz或yOz面投影）类似的二套一方法（举一反三）。 2.2 一套二方法（为简单的方法） （1）几何准备 (i)把W往z投影得轾犏臌c,d； (ii)任意给定z?轾犏臌c,d，用平面Z=z截W得截面（与z有关）Dz； （2）d蝌蝌f(x,y,z)dxdydz=dzf(x,y,z)dxdy， c蝌WDz还有两种（W往x或y轴投影）类似的一套二方法（举一反三）。 2.3 柱面坐标计算三重积分（为简单的方法） （1）把积分写成二套一zx,y)蝌蝌f(x,y,z)dxdydz=蝌dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)WD1(xxy（2）用极坐标计算外层的二重积分 z蝌蝌f(x,y,z)dv=蝌dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzzWD1(x,y)xybr2(q)zrcosq,rsinq) =蝌dqrdrf(rcosq,rsinq,z)dzar 2(1(q)z1(rcosq,rsinq)（注意：里层的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（当用极坐标计算外层二重积分简单时。）

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