《相似三角形》知识点归纳

知识点1  有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2  比例线段的相关概念、比例的性质

（1）定义： 在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．

    ② 核心内容：

（2）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即  简记为：

    注：①黄金三角形：顶角是36⁰的等腰三角形   

        ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

（3）合、分比性质：．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．

    

（4）等比性质：如果，

               那么．

知识点3  比例线段的有关定理

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.  

已知AD∥BE∥CF,                       

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相似三角形基本知识

 (一)比例的性质

1.比例的基本性质:  比例式化积、积化比例式.

2.合、分比性质:分子加（减）分母,分母不变.

                       (k=1、2、3…)

应用: 

已知

证明:∵  ∴  ∴  ∴

3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变.

若则.

4.比例中项:若的比例中项.

(二)平行线分线段成比例定理

    1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.    已知l₁∥l₂∥l₃,       

                        A     D   l₁

                       B       E   l₂

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相似三角形经典模型总结

经典模型

【精选例题】

“平行型”

【例1】   如图，，若，

则

【例2】   如图，，若，，,则，

【例3】   已知，为平行四边形对角线，上一点，过点的直线与，，的延长线，的延长线分别相交于点，，，

求证：

【例4】   已知：在中，为中点，为上一点，且,、相交于点，

求的值

【例5】   已知：在中，，延长到,使,连接交于点

求证：① ②

【例6】   已知：，为三角形中、边上的点，连接并延长交的延长线于点，

求证：为等腰三角形

【例7】   如图，已知，若，，，求证：.

【例8】   如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论.

【例9】   如图，四边形中，，是上一点，于点，于点

求证：

【例10】             如图，在中，是边的中点，过作直线交于,交的延长线于

求证：

【例11】             如图，在线段上，取一点，以，为底在同侧作两个顶角相等的等腰三角形和，交于点，交于点,

求证：

【例12】             阅读并解答问题.

在给定的锐角三角形中，求作一个正方形，使，落在边上，，分别落在,边上，作法如下：

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一、知识点回顾：

                             三角形

1、三角形及有关概念

(1)三角形两边之和大于第三边；

(2)三角形两边之差小于第三边；

三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180°;

(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

三角形的分类

按角分类

    三角形 直角三角形

          斜三角形  锐角三角形

                    钝角三角形

按边分类:

三角形 不等边三角形

          等腰三角形  底和腰不等的等腰三角形

                      等边三角形     

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相似三角形基本知识

知识点一：放缩与相似形

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

       ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

       ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

       ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如

4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

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相似三角形经典模型总结

经典模型

【精选例题】

“平行型”

【例1】   如图，，若，

则

【例2】   如图，，若，，,则，

【例3】   已知，为平行四边形对角线，上一点，过点的直线与，，的延长线，的延长线分别相交于点，，，

求证：

【例4】   已知：在中，为中点，为上一点，且,、相交于点，

求的值

【例5】   已知：在中，，延长到,使,连接交于点

求证：① ②

【例6】   已知：，为三角形中、边上的点，连接并延长交的延长线于点，

求证：为等腰三角形

【例7】   如图，已知，若，，，求证：.

【例8】   如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论.

【例9】   如图，四边形中，，是上一点，于点，于点

求证：

【例10】             如图，在中，是边的中点，过作直线交于,交的延长线于

求证：

【例11】             如图，在线段上，取一点，以，为底在同侧作两个顶角相等的等腰三角形和，交于点，交于点,

求证：

【例12】             阅读并解答问题.

在给定的锐角三角形中，求作一个正方形，使，落在边上，，分别落在,边上，作法如下：

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初二数学知识点：相似三角形

 三角形的证明题

·          [ 初二数学]

·         题型:解答题

问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析

考查知识点：

等腰三角形的性质

相似三角形的性质及判定

难度:难

解析过程：

规律方法：

第一问：利用角平分线以及直角三角形中两个锐角的和为直角，最后得到一个等腰三角形，从而证明。

第二问：利用两次内角平分线定理，利用三角形相似从而得到关于CE的一个等式，解方程求出CE。

如图，点C，D在线段AB上

·          [ 初二数学]

·         题型:解答题

如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB。求∠APB的大小。

想要详细的，最好每一步的原因都写出来，便于理解，谢谢老师们了

问题症结：对此题的想法是这样的，但是算出来的结果不正确，请老师分析

考查知识点：

相似三角形的性质及判定

难度:难

解析过程：

解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°

又∵∠PCD为△PCA的一个外角，

∴∠PCD=∠CPA+∠CAP．

若△ACP∽△PDB，那么∠DPB=∠CAP，

即∠DPB+∠CPA=∠PCD=60°，

又∵△PCD为等边三角形

∴∠CPD=60°

∴∠APB=120°

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