勾股定理知识总结

一：勾股定理

　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a²+b²＝c²）

　　要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

二：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c²与a²+b²是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

四：互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错　 　　误。

…… …… 余下全文

　　　            勾股定理知识总结

一．基础知识点：

1：勾股定理

　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a²+b²＝c²）

　　要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c²与a²+b²是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

…… …… 余下全文

勾股定理全章知识点及典型题归类

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在?ABC中，?C?90?

，

则c?

，b?

，a?

）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2

，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。 （定理中a，b，c及a2?b2?c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2?c2?b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

…… …… 余下全文

勾股定理知识总结

一．基础知识点：

1：勾股定理

　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a²+b²＝c²）

　　要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c²与a²+b²是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

…… …… 余下全文

别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30

人教版八年级下册勾股定理全章

类题总结

类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。 （1）求AB的长；

（2）求CD的长。

B

千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M

B

求出总费用是多少？

L

类型二：面积问题

【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,

2

则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。

【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高

ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从

点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。 （2）求∠ADC的度数。

【练习2】如图，四边形ABCD是正方形，

【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处

AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影

部分的面积是______.

【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194

25

B

169

牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，

他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

类型四：判断三角形的形状

【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

类型三：距离最短问题

【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分

22

【练习1】已知△ABC的三边分别为m－n,2mn,

…… …… 余下全文

第18章  勾股定理复习

一．知识归纳

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　

大正方形面积为

所以

方法三：，，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在中，，则，，

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

５.勾股定理的逆定理

　如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；

…… …… 余下全文

勾股定理做题方法总结

一、求边长类题目。

1、牢记勾股定理公式，并记住几组够股数，知道够股数同时乘以或者除以一个数，够股数仍然成立，填空选择题可以直接通过这个定理写出答案。

2、当遇到跟“底、高”有关的题目时，联想到三角形面积公式：（低×高）÷2

3、选题题、填空题要求求第三条边时，一定要看清楚已知的两条边是不是直角边，若题目中没有说明，一定要考虑多种可能性。

4、学会画简图，并且能够准确的在图上标出已知数据。

5、做辅助线的时候，切记不要将已知的直角分割，尽量保留已知角。

6、题目中出现30度、60度角时马上联想到30度角对应的直角边等于斜边的一半。

7、遇到45度角的时候，马上想到两条直角边相等

二、求面积、周长类题目。

1、知道两条直角边相乘再÷2就可以求出RT三角形的面积。

2、牢记圆的面积公式和周长公式。

3、在做比较难的题目时，一定要将题目中所有已知数据的关系式列出来（经常用到勾股定理公式、面积公式、周长公式……）

4、了解等边三角形、等腰三角形的一些特性，比如角平分线同时也是高，同时也是底边中线。

5、要学会设x，因为x除了表示自身外还要用来表示其他边，所以x设的越简练越容易计算越好。

6、看到正方形对角线，就要想到对角线把正方形分割成两个等腰三角形，从而获得两个相同的直角边。

三、判断类题目。

1、考虑周全每一种情况。

2、必要的时候可以带入具体数字尝试计算验证。

3、一定要自己读题，判断类题目很喜欢玩文字游戏。

4、判断类题目实际上就是求边长、求面积、应用题还有一些公式、理论的综合应用问题。

四、应用类题目。

1、学会分析题目，多思考，学会画出草图并且标出已知量。

2、牢记一些常见题目的草图应该怎么画，比如航海方向问题，比如数断裂问题，比如梯子（杆子）斜靠在墙上的问题等等。

…… …… 余下全文