【数学归纳法】

【数学归纳法的基本形式】

1. 第一数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?n0(n0?N)时，P(n)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?n0，命题P(n)成立。

2. 第二数学归纳法（串值归纳法）

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?n0(n0?N)时，P(n)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?n0，命题P(n)成立。

3. 跳跃数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?1,2,...,l时，P(1),P(2),...,P(l)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?l时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?1，命题P(n)成立。

4. 反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① P(n)对无限多个正整数n成立；

② 从命题P(n)成立可以推出命题P(n?1)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

如果命题P(n)对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式：

Ⅰ 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① n?1时命题P(n)正确；

② 假如由P(n)不成立推出P(n?1)不成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

Ⅱ 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① n?1,2,...,r时，命题P(1),P(2),...,P(r)都成立；

② 假若由由P(n)不成立推出P(n?r)不成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

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凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！

外经贸法学考研归纳总结参考教材 外经贸法学考研参考书很多人都不清楚，这里凯程老师给大家整理出来了：

1.《宪法学讨论教学教程》 李卫刚 对外经济贸易大学出版社

2.《民事诉讼法》全国高等学校专业核心课程教材 江伟 高等教育出版社

3.《宪法》 周叶中 高等教育出版社、北京大学出版社

4.《经济法》 杨紫喧 高等教育出版社、北京大学出版社 2006版

5.《民事诉讼法》 江伟 高等教育出版社

6.《国际商法》 沈四宝、王军、焦津洪 对外经济贸易大学出版社

7.《法理学》 张文显 高等教育出版社、北京大学出版社

8.《民法学》 苏号朋 对外经济贸易大学出版社 2007版

9.《刑法学》 高铭喧 高等教育出版社、北京大学出版社

复试参考书目：

以上参考书比较多，实际复习的时候，请按照凯程老师指导的重点进行复习，有些内容是不考的，帮助你减轻复习压力，提高复习效率。

外经贸法学考研难度解析

本文系统介绍外经贸法学考研难度，外经贸法学就业，外经贸法学专业方向，外经贸法学考研参考书，外经贸法学考研专业课五大方面的问题，凯程外经贸法学老师给大家详细讲解。特别申明，以下信息绝对准确，凯程就是王牌的法学考研机构！

一、外经贸法学难度大不大，跨专业的人考上的多不多?

近几年法学考研比较热门，相对于其他院校外经贸法学难度不大，毕竟重点专业是经济方面，但又是名牌院校，所以适合于对于想考名校同时专业基础一般的同学，性价比还是非常高的。

法学考研一般都是法学本科的学生考，每年在凯程辅导班里很多二本三本的考生，都考的不错，而且都是成功录取的学员，主要是看你努力与否。所以记住重要的不是你之前学得如何，而是从决定考研起就要抓紧时间完成自己的计划，下定决心，就全身心投入，要相信付出总会有回报。

二、外经贸法学就业怎么样？

外经贸本身的学术氛围好、人脉资源广，出国机会也不少，在全国的知名度是响当当的，社会认可，自然就业没有问题。近些年，法学硕士专业一直比较热门，薪资令人羡慕。各个公司、企业、政府部门和行业部门需要大量的具有法学背景的人才加盟。外经贸法学的就业率相对较高的，25%四大，35%律师 顾问（外企事务所），10%出国，15%公务员，15%其他。就业方向：在各类企业事业单位、律师事务所、企业法律顾问、法院。

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     数学归纳法的应用

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

 (1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n₀)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n₀)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n₀的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(    )

A.30                                   B.26                     C.36                            D.6

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强化知识体系结构

在复习元素化合物知识应从组成———结构入手，抓住组成和结构决定物质性质这一关键，按类别复习物质的性质、用途及制备等内容。复习过程中要善于将知识点连成线，由线连成片，最后形成知识网。对于重要元素及其化合物的化学性质可以自己编制相互转化和联系的网络图，并清楚实现转换的化学方程式，便于加强记忆。同时善于利用归纳、对比等方法，找出物质性质之间的共同性和差异性，以便记忆准确。

物质的性质是由其组成和结构决定，不同的物质其性质不同。复习中既要掌握结构相似物质性质的变化规律，又要记清不同物质性质的特点。注意规律的适用条件和范围，要将一般与特殊进行区别，既要掌握“一般”，又要记清“特殊”。

比如，(1)卤族元素在化合物中既可显负价，又可显正价；但氟元素在化合物中只能显负价。(2)硅和二氧化硅一般不溶于酸，但可溶于氢氟酸。(3)一般由强酸制弱酸，但氢硫酸与硫酸铜溶液反应可生成硫酸。(4)酸式盐一般可溶于水，但磷酸一氢盐只有钾、钠、铵盐可溶。(5)金属单质与酸反应一般生成氢气，但硝酸、浓硫酸与金属反应不生成氢气。

对于这些基本概念、基本理论知识体系的构建复习，一般采用列表、对比和归纳总结规律要点的复习方法。例如：在原子结构的有关知识复习时，可以对各种量进行小结。其他部分的复习，也可以采用不同

的方法，构建其知识体系和网络，落实知识要点。

-不同学生各有侧重

化学水平基础比较好的同学可以先拿一些题目自我检测，找出问题，然后进行知识的梳理，这样上课的时候，可以做到有的放矢，等到一个章节结束，进行总结和提高。

基础比较薄弱的同学，可以先对知识进行回忆，这样上课的时候，可以跟上步伐，复习结束的时候可以弥补漏洞，使知识得到巩固。这部分要提高水平，切忌急躁，做题要有针对性，可以先找一些基础题目进行练习，等到比较基础的题目能够掌握的时候再逐步提高，上来就做难题，不仅对信心有影响，而且无法得到实际的提高。先对学科知识进行梳理和归纳，使知识系统化，同时配以单元训练，提高应用能力。

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理科数学归纳法知识总结

一基本概念

1.运用数学归纳法证明命题要分两步,

第一步是归纳奠基(或递推基础),

第二步是归纳递推(或归纳假设),

两步缺一不可

二 易错点

1.归纳起点易错

（1）n未必是从n=1开始

例 用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为

点拔：本题的归纳起点n=3

（2） n=1时的表达式

例 用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）

A. 1         B.      C.     D.

点拨  n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B

2.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法

例1 用数学归纳法证明：

错证：

（1）当n=1时，左=右=1，等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，

则当n=k+1时，

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设

3 从n=k到n=k+1增加项错误

例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立          B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立        D. n=2（k+2）时命题成立

点拨：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选

例2 用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是          

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中财会计硕士考研复习经验归纳总结

善于总结借鉴别人的好的学习方法与经验可以使自己的复习更加有效。考研是一个长期坚持的过程，一方面需要我们具有认真，坚持的精神，另一方面也需要我们有一个好的学习方法。那么中财会计硕士考研复习经验有哪些呢？下面就由凯程老师为您做出专业的总结,祝您在考研中取得优异成绩。

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一、中财会计硕士管理类联考综合复习建议

1、联考数学：注重做题方法，积累做题技巧，训练速度

联考数学是很讲求做题技巧的，需要很好的思维能力。思维能力从哪里来？凯程老师总结：真题！真题做的多了，就能找到不同题目之间的相同点，从而增强思维能力。凯程考研提供联考数学辅导讲义，并配有名师指导讲解，包括每一部分的重要知识点和常见题型。

凯程老师提醒广大考生需要注意的是做题速度，平时通过题量训练速度。联考考试三个小时，时间对每个人都很紧。能够在保证正确率的基础上最大限度的提高速度是得到高分的必要条件。

2、联考逻辑：揣摩出题人的意图。

总的还说逻辑这个东西是入门难，但是掌握方法后就简单多了，凯程老师提醒考生注意知识积累，通过真题训练掌握那些逻辑题目需要什么技巧。

凯程考研辅导老师要求学生把历年真题做透，包括历年联考和在职MBA的题目，近几年的题目一定要做的很熟练，要明白每一道或每一种题目所用的知识点在哪里，并通过做一些模拟题得到检验。随着练习的增多，到最后，在思维中已经形成做题惯性，即当题面读完，便知道正确选项应该是什么样子的。当然，每道题目的知识点可能会有多个，很多情况下的答案也往往难以让人信服（因为逻辑考的是人的思考问题的方式，每个人都有所不同），所以凯程老师建议大家和一起考研的人讨论，把自己的思考说出来，大家一起找出其中的问题所在，这有利于减少固有思维定势，更好地拥有做题时需要的思考模式。

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20xx年选调生考试数学运算百日百题058：总结归纳法

【例1】（北京20xx-77）某突击队150名工人准备选一名代表上台领奖，选择的方法是：让150名工人排成一排，由第一名开始报数，报奇数的人落选退出队列，报偶数的站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。小李非常想去，他在第一次排队时应在队列的什么位置上才能被选中？（ ）

A.64

B.128

C.148

D.150

【例2】（四川20xx-56）假期里，汪老师有一个紧急通知要用电话通知到50位同学，假如每通知一位同学需要1分钟，同学接到电话后可以相互通知，要使所有同学都接到通知至少需要几分钟？（ ）

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

【例3】有9颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃糖的方式？（ ）

国家公务员| 事业单位 | 村官 | 选调生 | 教师招聘 | 银行招聘 | 信用社 | 乡镇公务员| 各省公务员|

A.256

B.512

C.1024

D.2048

每日一题型，公考伴你行；

相约明书轩，秒杀弹指间。

【例1】答案为B

［解析］枚举中找规律，第一次剩余：2、4、6、8、…、100，都是2的倍数；第二次剩余：4、8、12、…、100，都是4的倍数；第三次剩余：8、16、

24、…、96，都是8的倍数。依此类推：第四次剩余16的倍数；第五次剩余32的倍数；第六次剩余64的倍数；第七次剩余128的倍数—只剩下128，选择B。

［点睛］很明显，这样的题目是要求找到150以内最大的2的幂次数。

【例2】答案为B

［解析］最开始的时候，只有1个人知道这个通知；1分钟之后，有2个人知道；2分钟之后，有4个人知道；3分钟之后，有8个人知道……所以n分钟之后，一共有2^n个人知道，除了老师之后，相当于可以通知2^n-1个人。所以6分钟可以通知2^6-1=63个人，选择B。

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