第七章   级数练习题

一.   判断题

1．若收敛，则。                                    （      ）

2．若收敛，发散，则发散。                    （     ）

3．级数加括号后不改变其敛散性。                                     （     ）

4．级数收敛的充要条件是前 n项和的构成的数列有界。               （     ）

…… …… 余下全文

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

…… …… 余下全文

第75、76课时：

【教学目标与要求】

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；

2．熟练掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；

2．掌握几何级数收敛与发散的条件。

【教学重点】

1、常数项级数收敛、发散的概念及几何级数；

2、级数的基本性质及收敛的必要条件。

【教学难点】

级数的基本性质及收敛的必要条件。

§12. 1 常数项级数的概念和性质

 一、常数项级数的概念

1．常数项级数的定义

给定一个数列  u₁, u₂, u₃, × × ×, u_n, × × ×, 则由这数列构成的表达式u₁ + u₂ + u₃ + × × ×+ u_n + × × ×叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为, 即

  ,

其中第n项u_n 叫做级数的一般项.

    2．级数的部分和: 作级数的前n项和 

称为级数的部分和.

   3． 级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限s, 即,

则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和,

并写成

                      ;

如果没有极限, 则称无穷级数发散.

    余项: 当级数收敛时, 其部分和s_n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值

        r_n=s-s_n=u_n+1+u_n+2+ × × ×

…… …… 余下全文

点这里，看更多数学资料

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-常数项级数知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。

模块十八 常数项级数

1、用级数的定义判断下列级数的收敛性

?1n?1(1) ? (2)?ln nn?1nn?1n?1?

2、判断下列级数的敛散性

?n??1?(1) ?tan （2）??1?? 3n?n?1n?1??

?111??（3）?ln?1?? (4)?sin nn??n?1nn?1n?

?nn1(5)?n (6)? ,a?023n!n?1an?bn?cn?1?

（7）?n?1??n!?2n22 （8）?

n?1?1??1?2???????2??

nn????n （9）?n?1

???n?1?nn?1n (10) ?npn?1?,0?p?1

(11）a??1?cos??? n?n?1?

3、设?a

n?1?n为正项级数，下列结论中正确的是（ ）

中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料

点这里，看更多数学资料

nan?0，则级数?an收敛. ?A?若limn??n?1?

nan??，则级数?an发散. ?B?若存在非零常数?，使得limn??n?1?

n2an?C?若级数?an收敛，则limn??n?1

???0.

nan??. ?D?若级数?an发散，则存在非零常数?，使得limn??n?1

…… …… 余下全文

Sequences and Series

In this chapter we’ll be taking a look at sequences and (infinite) series. Actually, this chapter will deal almost exclusively with series. However, we also need to understand some of the basics of sequences in order to properly deal with series. We will therefore, spend a little time on sequences as well.

Series is one of those topics that many students don’t find all that useful. To be honest, many students will never see series outside of their calculus class. However, series do play an important role in the field of ordinary differential equations and without series large portions of the field of partial differential equations would not be possible.

In other words, series is an important topic even if you won’t ever see any of the

applications. Most of the applications are beyond the scope of most Calculus courses and tend to occur in classes that many students don’t take. So, as you go through this material keep in mind that these do have applications even if we won’t really be covering many of them in this class.

…… …… 余下全文

第七章 无穷级数

一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：

1、形如的几何级数（等比级数）：当时收敛，当时发散。

2、形如的P级数：当时收敛，当时发散。

3、级数发散；      级数收敛   

4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数，满足条件：

   ?当时，级数收敛；

   ?当时，级数发散（或）；

   ?当时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的次幂）：若正项级数，满足条件：

   ?当时，级数收敛；

   ?当时，级数发散（或）；

   ?当时，无法判断。

注：当时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）

   推论：若与均为正项级数，且（是已知敛散性的级数)

         ?若，则级数与有相同的敛散性；

         ?若且级数收敛，则级数收敛；

         ?若且级数发散，则级数发散。

7、定义判断：若收敛，若无极限发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：

   满足，收敛，其和。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。

   条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：

1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

…… …… 余下全文

第四篇  无穷级数

第七章  无穷级数

无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.

第1节  常数项级数的概念与性质

1.1常数项级数的概念

一般的，给定一个数列

则由这数列构成的表达式

叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为, 即

,

其中第项叫做级数的一般项.

作级数的前项和

称为级数的部分和. 当n依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列

，，，…，

，…

根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

    定义  如果级数的部分和数列有极限, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限叫做这级数的和, 并写成

;

如果没有极限, 则称无穷级数发散.

当级数收敛时, 其部分和是级数的和的近似值, 它们之间的差值

叫做级数的余项.

例1 讨论等比级数（几何级数）(a¹0)的敛散性.

解 如果, 则部分和

.

当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为.

当时, 因为, 所以此时级数发散.

    如果, 则当时,  , 因此级数发散;

当时, 级数成为

,

因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以的极限不存在, 从而这时级数

发散.

    综上所述, 如果, 则级数收敛, 其和为; 如果, 则级数发散.

例2 判别无穷级数的收敛性.

解 由于

,

因此

,

而  ，故该级数发散.

…… …… 余下全文