一元二次不等式：

一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示）

例1、已知关于x的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．

例2．关于x的不等式
对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

例3、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______________；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______________。（-4,0）,

                                 几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）一正、二定、三相等.

 （当仅当a=b=c时取等号）

 （当仅当a=b时取等号）

 

（7）

                               常用不等式

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1．不等式的解法

（1）同解不等式（(1)与同解；

（2）与同解，与同解；

（3）与同解）；

2．一元一次不等式

情况分别解之。

3．一元二次不等式

或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。

4．分式不等式

分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。

5．简单的绝对值不等式

解绝对值不等式常用以下等价变形：

|x|<ax²<a²－a<x<a(a>0)，   |x|>ax²>a²x>a或x<－a(a>0)。

一般地有：

|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

6．指数不等式；

；

7．对数不等式（1）当时，；（2）当时，。

8．线性规划

（1）平面区域

一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念

引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。

由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。

由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，

当直线经过点时，对应的最小，所以，，。

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必修五：不等式

知识点一：不等式关系与不等式

【习题训练】

1. 下列命题中正确命题的个数是（    ）

①若，则；②，，，则；

③若，则；④若，则．

A．                             B．                   C．                                 D．

2.用“”“”号填空：如果，那么________．

3．已知，则2a+3b的取值范围是（    ）

A     B    C      D  

二、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离

2、解含有绝对值不等式的主要方法：

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                                   一元二次不等式：

一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示）

例1、已知关于x的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．

例2．关于x的不等式
对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

例3、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______________；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______________。（-4,0）,

                                 几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）一正、二定、三相等.

 （当仅当a=b=c时取等号）

 （当仅当a=b时取等号）

 

（7）

                               常用不等式

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不等式知识点总结

1．不等式的基本性质：

对称性：a>bb<a；  传递性：若a>b，b>c，则a>c；

可加性：a>ba+c>b+c；  可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc

2．不等式运算性质：

同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d； 异向相减：，

正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd； 乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；

开方法则：若a>b>0，n∈N+，则；     倒数法则：若ab>0，a>b，则

3．基本不等式（或均值不等式）：

利用完全平方式的性质，可得a ²+b ²≥2ab（a，b∈R），

该不等式可推广为a ²+b ²≥2|ab|；或变形为|ab|≤；

当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.

4．不等式的证明：

不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；

不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系

求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集。

对于一元二次方程，设，它的解按照可分三种情况.相应二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，列表如下:

5．线性规划问题的解题方法和步骤:解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

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第三章：不等式

1、不等式的基本性质

①（对称性） ②（传递性） ③（可加性）

（同向可加性） （异向可减性）

④（可积性）       

⑤（同向正数可乘性）      （异向正数可除性）

⑥（平方法则）   ⑦（开方法则）

⑧（倒数法则）

2、几个重要不等式

①,（当且仅当时取号）.   变形公式：

②（基本不等式）   ,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：     用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.

④（当且仅当时取到等号）.

⑤（当且仅当时取到等号）.

⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）

⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧   

⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

 变形公式： 

②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式当且仅当时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：

设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设为两组实数.是的任一排列，则

（反序和乱序和顺序和）

当且仅当或时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.

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高中数学第六章-不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解不等式的性质及其证明．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）掌握简单不等式的解法．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 

§06. 不 等 式  知识要点

1.  不等式的基本概念

（1）   不等（等）号的定义：

（2）   不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3）   同向不等式与异向不等式.

（4）   同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）（对称性）

（2）（传递性）

（3）（加法单调性）

（4）（同向不等式相加）

（5）（异向不等式相减）

（6）

（7）（乘法单调性）

（8）（同向不等式相乘）

（异向不等式相除）

（倒数关系）

（11）（平方法则）

（12）（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）

极值定理：若则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.

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